2018-2019数学苏教版必修2 第2章 平面解析几何初步 单元测试

2018-2019数学苏教版必修2 第2章平面解析几何初步单元测试
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是________．
解析：直线AB 的斜率为33－3－1－1＝－3，则直线AB 的倾斜角是120°.
答案：120°
2．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：ax ＋6y ＝5间的距离为________．
解析：由l 1∥l 2得a 3＝64，a ＝92
，所以l 2的方程为3x ＋4y －103＝0.l 1、l 2间的距离d ＝|－2＋103|5＝415
. 答案：415
3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，得m ≠1. 答案：m ≠1
4．直线l 经过l 1：x ＋y －2＝0与l 2：x －y －4＝0的交点P ，且过线段AB 的中点Q ，其中A (－1,3)，
答案：(0,2－2]
6．对于任意实数λ，直线(λ＋2)x－(1＋λ)y－2＝0与点(－2，－2)的距离为d，则d的取值范围为________．
解析：无论λ取何值，直线都过定点(2,2)，而点(2,2)与点(－2，－2)的距离为42，又点(－2，－2)不在已知直线上，故d＞0，所以0＜d≤4 2. 答案：0＜d≤4 2
7．圆x2＋y2－2x－3＝0与直线y＝ax＋1交点的个数为________．
解析：直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，而02＋12－2×0－3＜0，即点在圆内，所以直线与圆相交，有两个交点．
答案：2
8．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．
解析：由题意知A、B两点在圆上，
∴直线AB的垂直平分线x＝3过圆心．
又圆C与直线y＝x－1相切于点B(2,1)，∴k BC ＝－1.
∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.
y ＝－x ＋3与x ＝3联立得圆心C 的坐标为(3,0)， ∴r ＝BC ＝(3－2)2＋(0－1)2＝ 2.
∴圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.
答案：(x －3)2＋y 2＝2
9．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A 、C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标是________．
解析：设B (x ，y )，根据题意可得⎩⎨⎧ k AC ·k BC ＝－1BC ＝AC
， 即⎩
⎪⎨⎪⎧ 3－43－0·y －3x －3
＝－1(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2. 解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎨⎧
x ＝4y ＝6
， ∴B (2,0)或B (4,6)．
答案：(2,0)或(4,6)
10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x ＝4－y 2
与直线x ＝m 有且只有一个公共点，则实数m 等于________．
解析：∵曲线x ＝4－y 2，即为x 2＋y 2＝4(x ≥0)．其图形是如图所示的半圆．
∴直线x ＝m 与半圆有且只有一个公共点时m ＝2.
答案：2
11．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是________．
解析：∵两平行直线间的距离即为圆的直径．
∴2R ＝|1＋12|2
＝324， ∴R ＝328
， ∴S 圆＝πR 2＝932
π. 答案：932
π 12．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________． 解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x
－5. 设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32
， 解得x ＝1或x ＝277
. 即点P 的坐标是
(1，－4)或(277，－87)． 答案：(1，－4)或(277，－87
) 13．若圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，则半径R 的取值范围是________．
解析：圆心到直线的距离为2，又圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，结合图形可知，半径R 的取值范围是1＜R ＜3.
答案：(1,3)
14．函数f (x )＝(x －2 012)(x ＋2 013)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个交点，则此圆与坐标轴的另一交点坐标是________．
解析：依题意得，函数f (x )＝(x －2 012)(x ＋2 013)
的图象与x轴、y轴的交点分别是A(－2 013,0)、B(2 012，0)、C(0，－2 012×2 013)．设过A、B、C三点的圆与y轴的另一交点为D(0，y0)，圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，此方程的两根即为A、B两点的横坐标，
∴F＝－2 013×2 012.
又令x＝0，得y2＋Ey－2 013×2 012＝0，此方程的二根就是C、D两点的纵坐标，
∴y0×(－2 012×2 013)＝－2 013×2 012，所以y0＝1，即经过A、B、C三点的圆与y轴的另一个交点D的坐标是(0,1)．
答案：(0,1)
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2019·绍兴检测)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．解：(1)∵k＝tan 135°＝－1，
∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.
(2)设A ′(a ，b )，
则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42
－2＝0，
解得a ＝－2，b ＝－1，
∴A ′的坐标为(－2，－1)．
16．(本小题满分14分)(2019·高安高一检测)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (2,1)引圆的切线，求切线方程．
解：当切线斜率存在时，设切线的方程为y －1＝k (x －2)即：kx －y －2k ＋1＝0，
∵圆心(0,0)到切线的距离是2， ∴|－2k ＋1|1＋k 2＝2，解得k ＝－34， ∴切线方程为－34x －y ＋32
＋1＝0， 即3x ＋4y －10＝0.
当切线斜率不存在时，又x ＝2与圆也相切，
所以所求切线方程为3x＋4y－10＝0和x＝2. 17．(本小题满分14分)已知圆C1：x2＋y2－2mx ＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相切，求实数m的值．解：对于圆C1与圆C2的方程配方，得
圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y －m)2＝4，
则C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，
圆C1与圆C2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切．
(1)当圆C1与圆C2相外切时，有C1C2＝r1＋r2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，
整理，得m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2；
(2)当圆C1与圆C2相内切时，有C1C2＝|r1－r2|，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1，
整理，得m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.
综上所述，当m＝－5或m＝－1或m＝±2时，
圆C 1与圆C 2相切．
18．(本小题满分16分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若直线l ：x ＋2y －4＝0与圆C 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．
解：(1)由x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，故5－m ＞0，即m ＜5.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线OM ，ON 的斜
率显然都存在，由OM ⊥ON ，得y 1x 1·y 2x 2
＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①
由⎩
⎨⎧
x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.又因直线l 与圆C 交于M ，N 两点，所
以Δ＝162－20(m ＋8)＞0，得m ＜245
，且y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85
，所以x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝4m －165.代入①，得m
＝85，满足m ＜245
. 所以m ＝85
. 19．(本小题满分16分)已知圆C 经过两点P (－1，－3)，Q (2,6)，且圆心在直线x ＋2y －4＝0上，直线l 的方程为(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0.
(1)求圆C 的方程；
(2)证明：直线l 与圆C 恒相交；
(3)求直线l 被圆C 截得的最短弦长． 解：(1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋9－D －3E ＋F ＝04＋36＋2D ＋6E ＋F ＝0
(－D 2)＋2×(－E 2
)－4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4E ＝－2
F ＝－20，
∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.
(2)证明：由(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0，得k (x －3)－(x －2y －5)＝0，
令⎩⎨⎧ x －3＝0x －2y －5＝0，得⎩⎨⎧
x ＝3y ＝－1
，即直线l 过定点(3，－1)，
由32＋(－1)2－4×3－2×(－1)－20<0，知点(3，－1)在圆内，
∴直线l 与圆C 恒相交．
(3)圆心C (2,1)，半径为5，由题意知， 直线l 被圆C 截得的最短弦长为
252－[(2－3)2＋(1＋1)2]＝4 5.
20.(本小题满分16分)如图，圆x 2
＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为
过点P 且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB ；
(2)当弦AB 被点P 平分时，求直
线AB 的方程；
(3)设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式．
解：(1)如图所示，过点O 做OG
⊥AB 于G ，连结OA ，当α＝135°
时，直线AB 的斜率为－1，
故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，
∴OG ＝|0＋0－1|2
＝22. 又∵r ＝22，
∴GA ＝ 8－12＝152＝302， ∴AB ＝2GA ＝30.
(2)当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2， ∴AB 的点斜式方程为y －2＝12
(x ＋1)， 即x －2y ＋5＝0.
(3)设AB 的中点为M (x ，y )，当AB 的斜率存在
时，设为k ，OM ⊥AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧
y －2＝k (x ＋1)，y ＝－1k x ，
消去k ，得x 2＋y 2－2y ＋x ＝0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＋x ＝0.。