巧家县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

巧家县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．
3． 在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ） A ．12 B ．8 C ．6 D ．4
4． 已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ） A ．（﹣7，﹣4）
B ．（7，4）
C ．（﹣1，4）
D ．（1，4）
5． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知F 1、F 2分别是双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行
的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，
）
B ．（
，+∞） C ．（
，2）
D ．（2，+∞）
8． 已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）
A ．﹣12
B ．﹣10
C ．﹣8
D ．﹣6
9． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．
D ． 10．与圆C 1：x 2
+y 2
﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2
+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 11．下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
1x y
a b
+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
12．已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2-
二、填空题
13．在空间直角坐标系中，设)1,3(，m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m .
14．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，
则S 的最小值是 ．
15．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）
A ．（0，）
B ．（
，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=
，则= ．
17．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
18．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线的参数方程是243x t
y t =-+⎧⎨=⎩
（为参数）.
（1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值.
20．（本小题满分12分）求下列函数的定义域： （1）(
)f x =； （2）(
)f x =.
21．已知函数f （x ）=ax 2+bx+c ，满足f （1）=﹣，且3a ＞2c ＞2b ． （1）求证：a ＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点，求|x 1﹣x 2|的取值范围．
22．（本小题满分13分）
设1()1f x x
=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *
+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
23．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为0．
（i）求实数a的值；
（ii）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=f（a n）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[a n]=2．
24．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且有最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（3）在区间[﹣1，3]上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．
巧家县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：0＜a ＜1，实数x ，y 满足，即y=
，故函数y 为偶函数，它的图象关于y 轴对称， 在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A ．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
2． 【答案】C
【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则
sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．
3． 【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=
•（﹣1）r •x 3n ﹣4r ，
则∵二项式（x 3
﹣）n
（n ∈N *
）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6． 故选：B ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
4． 【答案】A
【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量
=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A ．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
5． 【答案】 A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
6．【答案】D
【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=的值．
∵S==1﹣=
故选D．
7．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x 联立，可得交点M （，﹣），
∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF 2|，即有
＞c 2
，
∴b 2＞3a 2，
∴c 2﹣a 2＞3a 2
，即c ＞2a ．
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．
8． 【答案】C
【解析】解：由已知得f ′（x ）=4x 3cosx ﹣x 4
sinx+2mx+1， 令g （x ）=4x 3cosx ﹣x 4
sinx+2mx 是奇函数，
由f ′（x ）的最大值为10知：g （x ）的最大值为9，最小值为﹣9， 从而f ′（x ）的最小值为﹣9+1=﹣8． 故选C ．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为),0(+∞，2'
222()x x a f x x
++=，因为函数2
()2ln 2f x a x x x
=+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数0)('≥x f 在定义域上恒成立，转化为2()222h x x x a =++在),0(+∞恒
成立，1
0,4
a ∴∆≤∴≥，故选A. 1
考点：导数与函数的单调性． 10．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
【解答】解：∵圆C 1：x 2+y 2﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0的方程可化为，
；； ∴圆C 1，C 2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r 1=1，r 2=6．
∴两圆的圆心距
=r 2﹣r 1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线． 故选C ． 11．【答案】B 【解析】
考
点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 12．【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算．
二、填空题
13．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()()22131112
22=-+--+-=
m AB ，解得：1=m ，故填：1.
考点：空间向量的坐标运算
14．【答案】 ．
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则：S==
，（0＜x ＜1）
令3﹣x=t ，t ∈（2，3），
∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成
立；
故答案为：．
15．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
16．【答案】=．
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．
再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，
由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab．
化简可得5ab=3b2，∴=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
17．【答案】75
【解析】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C 64
=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
18．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
三、解答题
19．【答案】（1）参数方程为1cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩，3460x y -+=；（2）14
5.
【解析】
试题分析：（1）先将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得22(1)1x y -+=,利用圆的参数方程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C 上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值. 试题解析：
（1）曲线C 的普通方程为2
2cos ρρθ=，∴2
2
20x y x +-=，
∴2
2
(1)1x y -+=，所以参数方程为1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
，
直线的普通方程为3460x y -+=.
（2）曲线C 上任意一点(1cos ,sin )θθ+到直线的距离为
33cos 4sin 65sin()914555
d θθθϕ+-+++==≤，所以曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值为145.
考点：1.极坐标方程；2.参数方程. 20．【答案】（1）()[),11,-∞-+∞；（2）[)(]1,23,4-．
【解析】
考点：函数的定义域. 1
【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
从而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）．∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根． 故x 1+x 2=﹣，x 1x 2===
从而|x 1﹣x 2|==
=
．
∵﹣3＜＜﹣， ∴
|x 1﹣x 2|
．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x 轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：证明：2
()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴211
2
22
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． ∵1
21111111
1212
222222
21
11111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）
11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设51
m -=
()f m m =． 由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>>
∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=﹣=
．
当a ≤0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞a ；由f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ． 所以f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）． 综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；
a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意； 当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0，
令g （x ）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣1+=
，
由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．
所以g （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g （x ）]max =g （1）=0，即当且仅当x=1时，g （x ）=0． 因此，a=1．
（ⅱ）因为f （x ）=lnx ﹣1+，所以a n+1=f （a n ）+2=1+
+lna n ．
由a 1=1得a 2=2于是a 3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a 3＜．
猜想当n ≥3，n ∈N 时，2＜a n ＜． 下面用数学归纳法进行证明．
①当n=3时，a 3=+ln2，故2＜a 3＜．成立．
②假设当n=k （k ≥3，k ∈N ）时，不等式2＜a k ＜成立． 则当n=k+1时，a k+1=1+
+lna k ，
由（Ⅰ）知函数h （x ）=f （x ）+2=1++lnx 在区间（2，）单调递增，
所以h （2）＜h （a k ）＜h （），又因为h （2）=1++ln2＞2，
h（）=1++ln＜1++1＜．
故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．
综上可得，n＞1时[a n]=2．
【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．
24．【答案】
【解析】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x）
则对称轴x=，
f（x）存在最小值，
则二次项系数a＞0
设f（x）=a（x﹣）2+．
将点（0，4）代入得：
f（0）=，
解得：a=1
∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．
（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x
=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．
当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；
当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；
当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．综上所述：
当t≤0时，最小值4；
当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；
当t≥1时，最小值﹣2t+5．
∴．
（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，
∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，
∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，
∴m＜．。