高中数学 第1章 相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评 新人教B版选修4-1(2021年整理)

2016-2017学年高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版选修4-1
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第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版选修4—1
（时间120分钟满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1。

若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边长度为21cm，则其余两边的长度之和为（）
A.24cm
B.21cm
C.19cm D。

9cm
【解析】设其余两边的长度分别为x cm，y cm,则错误!＝错误!＝错误!，解得x＝15cm，y ＝9cm。

故x＋y＝24cm。

【答案】A
2。

如图1所示，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，错误!＝错误!，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为( )
图1
A。

1
3
B。

错误!
C.错误!
D.错误!
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE∶S△ABC＝(AE∶AC）2＝4∶9。

则△ADE与四边形DBCE的面积的比为4∶（9－4)＝4∶5。

【答案】C
3.如图2所示,梯形ABCD的对角线交于点O,则下列四个结论：
图2
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△ACB；
③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；
④S△AOD＝S△BOC。

其中正确的个数为( ）
A.1 B。

2 C。

3 D。

4
【解析】∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD,①正确。

由①知，错误!＝错误!。

S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA ＝CD∶AB，③正确.
∵S△ADC＝S△BCD，
∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，
∴S△AOD＝S△BOC,④正确。

故①③④正确。

【答案】C
4.如图3所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0。

5m时,长臂端点升高( ) 【导学号：61650022】
图3
A.11.25m
B。

6.6m
C.8m
D.10.5m
【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1m，OB＝16m,高CE＝0.5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝8m.
【答案】C
5.如图4，⊙O经过⊙O1的圆心,∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是（）
图4 A。

β＝α
B。

β＝180°－2α
C.β＝错误!(90°－α)
D.β＝1
2
（180°－α）
【解析】如右图所示，分别连接AO1，BO1。

根据圆内接四边形的性质定理，可得
∠AO1B＋∠ADB＝180°，
∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.
∵∠ACB＝1
2
∠AO1B,
∴β＝错误!（180°－α),故选D.
【答案】D
6。

已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD),若CD＝6，则AD的长为( ）
A。

8 B。

9 C。

10 D。

11
【解析】如图，连接AC，CB.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°。

设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·DB.
即62＝x（13－x）,∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD>BD，∴AD＝9.
【答案】B
7。

如图5所示，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA交⊙O于D，PB交⊙O于C，连结
BD、AC交于E，下列关系式中不成立的是（）
图5
A。

∠ADB＝∠ACB＝90°
B.∠AED＝∠P
C.∠P＝错误!∠AEB
D。

∠PAC＝∠DBP
【解析】由直径AB所对的圆周角是直角和A正确。

由P，D，E，C四点共圆知B正确.又易知∠PAC＝∠DBP＝90°－∠P，∴D正确.
【答案】C
8。

如图6,△ABC内接于⊙O，AB＝AC,直线MN切⊙O于点C,BE∥MN交AC于点E,若AB＝6，BC＝4，则AE＝( ）
图6
A。

错误! B.错误!
C。

1 D。

错误!
【解析】∵MN为⊙O的切线，
∴∠BCM＝∠A.
∵MN∥BE,∴∠BCM＝∠EBC，
∴∠A＝∠EBC。

又∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC。

∴错误!＝错误!.
∵AB＝AC，∴BE＝BC.∴错误!＝错误!.
∴EC＝8
3
，∴AE＝6－错误!＝错误!.
【答案】A
9。

如图7，AB、AC为⊙O的切线,B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD.如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（）
图7
A。

70° B.64°
C。

62°D。

51°
【解析】∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠CAO＝∠BAO，又∵OB＝BD，
∴∠OAB＝∠DAB，∵∠DAC＝78°，
∴∠OAD＝错误!×78°＝52°，∴∠ADO＝64°.
【答案】B
10。

如图8，已知AT切⊙O于T。

若AT＝6，AE＝3,AD＝4，DE＝2,则BC＝( )
图8
A.3
B.4
C。

6 D.8
【解析】∵AT为⊙O的切线，
∴AT2＝AD·AC,
∵AT＝6,AD＝4,∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
即错误!＝错误!，∴BC＝错误!＝错误!＝6。

【答案】C
11.在Rt△ABC中，∠A＝90°,点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、
F,若AB＝a,AC＝b,则⊙O的半径为（)
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
【解析】如图所示,分别连接OE、OF，则四边形OEAF是正方形，不妨设⊙O的半径为r，则
由切线长定理，可得AE＝AF＝r，
∵BE＝AB－AE，CF＝AC－AF,
∴BE＝a－r，CF＝b－r，
∵△BEO与△OFC相似,∴错误!＝错误!,
∴错误!＝错误!，解得r＝错误!。

【答案】C
12.如图9所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点D，已知CD＝2,AD＝3，BD＝4，那么PB＝（)
图9
A。

10 B。

20
C。

5 D.85
【解析】根据相交弦定理，可得
AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA,∴PT2＝x·(x＋7），在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝（x＋4）2，∴36＋x(x＋7）＝（x＋4)2，解得x＝20.
【答案】B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13。

如图10，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点,AN，CM交于点O,那么△MON与△AOC 面积的比是________.
图10
【解析】∵MN是△ABC的中位线，
∴△MON∽△COA，且错误!＝错误!,
∴S△MON∶S△COA＝（错误!)2＝错误!.
【答案】1∶4
14.D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，且AD∶DB＝1∶2，AE＝1.5，AC＝4.5，若AM 交DE于N，交BC于M,则AN∶NM＝________。

【解析】如图,∵错误!＝错误!,
∴错误!＝错误!。

又错误!＝错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!。

又∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
∴AN
AM
＝错误!＝错误!，错误!＝错误!，
化简得错误!＝错误!。

【答案】错误!
15.（湖南高考)如图11，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4,AD⊥BC，垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为________。

图11
【解析】如图，连AE,易知AE∥BD，
∴错误!＝错误!，
3。

易知△ABO是等边三角形，可得BD＝1,AD＝AF＋FD＝
∴AF＝错误!。

【答案】错误!
16。

如图12，P是圆O外的一点，PD为切线,D为切点，割线PEF经过圆心O,PF＝6,PD＝2错误!，则∠DFP＝________。

图12
【解析】如图，连接OD.
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，PD2＝PE·PF，
∴PE＝2。

∴OP＝4，
∴sin∠POD＝错误!＝错误!。

∴∠POD＝60°，∴∠DFP＝30°。

【答案】30°
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分10分)已知如图13，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB ＝1∶3，PQ⊥PC,试求PQ的长。

图13
【解】∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP.
∴Rt△APQ∽Rt△BCP，
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3,∴PB＝3，AP＝1,∴错误!＝错误!,
即AQ＝错误!＝错误!＝错误!.
∴PQ＝错误!＝错误!＝错误!。

18.（本小题满分12分）(全国卷Ⅰ)如图14，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
图14
(1）证明:∠D＝∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.
证明（1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
（2）如图,设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上。

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点,故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE。

又∠CBE＝∠E,故∠A＝∠E，
由(1)知，∠D＝∠E，
所以△ADE为等边三角形。

19.(本小题满分12分)如图15所示,在△ABC中,D为BC边上的中点，延长AD到点E,使AD＝2DE，延长AB交CE的延长线于点P.求证：AP＝3AB。

图15
【证明】如图所示，过点E作EF∥BC交AP于点F，则
△ABD∽△AFE。

∵AD＝2DE，
∴AD∶AE＝2∶3。

∴AB∶AF＝BD∶EF＝AD∶AE＝2∶3。

∵BD＝DC，∴BC∶EF＝4∶3.
∵EF∥BC，∴△PEF∽△PCB。

∴PF∶PB＝EF∶BC＝3∶4.
∴PF ∶FB ＝3∶1,∵AB ∶AF ＝2∶3，
∴AB ∶BF ＝2∶1.
∴PF ∶FB ∶AB ＝3∶1∶2.
∴AP ∶AB ＝6∶2＝3∶1。

即AP ＝3AB .
20.（本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)如图16,⊙O 中AB ︵
的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点。

图16
(1）若∠PFB ＝2∠PCD ,求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD 。

【导学号：61650023】
解：(1）连接PB ，BC ，
则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD 。

因为错误!＝错误!，所以∠PBA ＝∠PCB 。

又∠BPD ＝∠BCD ，
所以∠BFD ＝∠PCD .
又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，
∠PFB ＝2∠PCD ,
所以3∠PCD ＝180°,因此∠PCD ＝60°。

（2)证明:因为∠PCD ＝∠BFD ,所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ,D ，F ,E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ,F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .
21。

（本小题满分12分）如图17所示，PA 为⊙O 的切点，PBC 是过点O 的割线,PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ,求AD ·AE 的值.
图17
【解】如图所示，连接CE。

∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB·PC.
又PA＝10,PB＝5，∴PC＝20，BC＝15。

∵PA切⊙O于A,∴∠PAB＝∠ACP。

又∠P为公共角,△PAB∽△PCA，
∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，
∴AC2＋AB2＝BC2＝225。

∴AC＝65，AB＝3错误!，
又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB。

∴△ACE∽△ADB,∴错误!＝错误!，
∴AD·AE＝AB·AC＝90.
22。

(本小题满分12分)(辽宁高考）如图18，A，B，C,D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC＝ED。

(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F,延长DC到G，使得EF＝EG，证明:A，B，G，F四点共圆.
图18
【证明】（1)因为EC＝ED,
所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C,D四点在同一圆上,
所以∠EDC＝∠EBA.
故∠ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
（2)由(1）知,AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC。

连接AF，BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆。