2020版数学新攻略大一轮浙江高考专用：9.3 圆的方程

D 2
2

+
y

E 2
2
=
D2

E2 4

4F
.
故有:
(1)当④
D2+E2-4F>0
时,方程表示以⑤


D 2
,

E 2

为圆心,⑥
D2 E2 4F
2
为半径的圆;
(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点⑦


D 2
,

E 2

;
(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
2
2
-2|,解得a=1.故圆心坐标为(1,-1),半径r= 2 = 2 ,所以圆C的标准方程为
2
(x-1)2+(y+1)2=2.
(2)设圆心坐标为(x0,y0),圆的半径为r,则r=| 2mx0 (1 m2) y0 4m 4 | = 4m2 (1 m2 )2
| y0m2 (2x0 4)m y0 4 | 为常数,
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1.圆M:x2+y2+2x+2 3 y-5=0的圆心坐标为 ( D ) A.(1, 3 ) B.(1,- 3 ) C.(-1, 3 ) D.(-1,- 3 ) 2.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( C ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
1.圆的标准方程
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为① (a,b) ,半径为r的圆; (2)特别地,以原点为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为② x2+y2=r2
.
2.圆的一般方程
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方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为③

x

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3.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系
(1)若⑧ (2)若⑨ (3)若⑩
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2
,则点P在圆外; ,则点P在圆上; ,则点P在圆内.
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4.求圆的方程的方法和步骤
(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法,一般步骤如下: a.根据题意,选择标准方程或一般方程; b.根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; c.解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. (2)用几何法来求圆的方程,要充分运用圆的几何性质,如“圆心在圆的 任一条弦的垂直平分线上”“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三 角形”等.
(3)常见的圆的方程的设法 圆心在原点,标准方程: x2+y2=r2 ; 一般方程:x2+y2-r2=0. 过原点,标准方程: (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 ; 一般方程:x2+y2+Dx+Ey=0. 圆心在x轴上,标准方程: (x-a)2+y2=r2 ; 一般方程:x2+y2+Dx+F=0. 圆心在y轴上,标准方程: x2+(y-b)2=r2 ;
3.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是 ( A )
A.1+ 2 B.2 C.1+ 2 D.2+2 2 2
解析 圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=
| 1
1 2
2
|
= 2Leabharlann ,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为d+1= 2
+1.
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解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0
上,所以b=2-a. 因为|CA|2=|CB|2, 所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2. 所以a=1,b=1,所以r=2. 所以方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
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圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为 (x-1)2+(y+1)2=2 . (2)已知直线l:2mx+(1-m2)y-4m-4=0(m∈R),若存在一个定圆C,对任意m∈ R,定圆C与直线l相切,则定圆C的方程是 (x-2)2+(y-2)2=4 .
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解析 (1)由题意设圆心坐标为(a,-a),则有| a (a) | =| a (a) 4 | ,即|a|=|a
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4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为
(x-2)2+y2=10
.
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5.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是 (-1,1)
.
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考点突破
圆的方程 典例1 (1)(2016浙江高考冲刺)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,
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1-1 (2016浙江文,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示
圆,则圆心坐标是 (-2,-4)
,半径是 5
.
解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2
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9.3 圆的方程
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教
1.圆的标准方程
材
2.圆的一般方程
研
读
3.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系
4.求圆的方程的方法和步骤
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考
考点一 圆的方程
点
突
考点二 与圆有关的最值问题
破
考点三 与圆有关的轨迹问题
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m2 1
∴
2xy00
4 0, y0 4,
得x0=y0=2,∴r=2,故定圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
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方法指导
求圆的方程的方法 求圆的方程时,应根据条件选用合适的方程形式.一般来说,求圆的方程 有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量;(2)代数 法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
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一般方程:x2+y2+Ey+F=0. 与x轴相切,标准方程: (x-a)2+(y-b)2=b2 ;
一般方程:x2+y2+Dx+Ey+ 1 D2=0.
4
与y轴相切,标准方程: (x-a)2+(y-b)2=a2 ;
一般方程:x2+y2+Dx+Ey+ 1 E2=0.
4
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