高二数学下学期第三次阶段检测试题(I卷)(2021年整理)

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S ←0
For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S
第5题图
频率组距
速度（km/h ）
90
807060500.040.030.020.01
第6题图
参考公式：1
3
V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高)．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 设全集{}1234U =，
，，，集合{}13A =，，{}23B =，,则U
B A ＝ ▲ ．
2． 命题“若6απ=
，则1
sin 2
α="的否命题是 ▲ ． 3． 已知数列{}n a 是等比数列,则“12a a <"是“数列{}n a 为递增数列"的 ▲ ． 4． 已知复数13i
3i
z +=
-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数,则z z ⋅＝ ▲ ． 5． 运行如图所示的伪代码,其结果为 ▲ ．
6． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，
得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．
7． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天,则甲不在第一天且乙不在第二
天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．
8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线
28x y =的焦点重合,则该双曲线的方程为 ▲ ．
9． 已知(42)x
x
=，
a ，22
(1)2
x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ． 10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V ，底面边长为2310棱锥的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是 ▲ ． 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比1q ≠，若
323
2
S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ．
A
B
C
D
E F
M
O
第16题
12．函数()2
12
log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．
13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的
中点，则直线l 的斜率是 ▲ ．
14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点,则BM CN
的取值范围是
▲ ．
二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图,在四边形ABEF 中,AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面
ABEF ．
（1）求证：AF ⊥平面CBF ;
（2）设FC 的中点为M ,求证:OM //平面DAF ．
16．（本小题满分14分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ， 已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1)求cos C 的值；
(2）若c ＝1，tan B ＝错误!，求a 的值．
17．（本小题满分14分）
第17题
如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：
①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC =
(rad ），将y 表示成的函数关系式．
（2)选择一个函数关系式,求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b
+=>>的左右焦点，且
椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程;
（2)点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值;
（3)过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =,若12MF BF ⊥,求直线
l 的斜率．
19．（本小题满分16分）
设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．
（1)当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程;
（2）求证:1
()0f a
≤;
（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值．
20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立．
（1）若21,2n A n b ==，求n B ; （2)若对任意n *∈N ，都有n n a B =及
3124122334
11
3
n n n b b b b a a a a a a a a ++++++
<成立，求正实数1b 的取值范围;
（3）若12,a =2n n b =,是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使
11,,s t
s t
A A A
B B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．
数学试卷（Ⅰ)参考答案
参考公式:1
3
V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．
二、 填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分． 1． 设全集{}1234U =，
，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则U
B A ＝ ▲ ．{}2
2． 命题“若6απ=,则1sin 2α="的否命题是 ▲ ．若6απ≠，则1sin 2
α≠
S ←0
For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S
第5题图
）
第6题图
3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <"是“数列{}n a 为递增数列"的 ▲ ．
必要不充分条件 4． 已知复数13i
3i
z +=
-,i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ．1 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．16
6． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，
得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．75 7． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二
天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．13
8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线
28x y =的焦点重合,则该双曲线的方程为 ▲ ．222y x -
=
9． 已知(42
)x
x
=，
a ，22
(1)2
x x -=，b ,x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．2 10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V ，底面边长为棱锥的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是 ▲ ．2π 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠,若
323
2
S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 1(1)
(1)2
--+∞，，
12．函数()2
12
log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．2-
13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的
中点，则直线l 的斜率是 ▲ ．15
±
14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =,点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN
的取值范围是
▲ ．()
7148，
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分）
如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面
ABEF ．
（1）求证:AF ⊥平面CBF ；
（2)设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．
证明：（1）因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面
ABCD 平面ABEF =AB ，所以CB ⊥平面ABEF ， （2分） 又AF ⊂平面ABEF ，则AF CB ⊥， （4分） 又AF BF ⊥，且BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，所以AF ⊥平面
CBF ． （7分）
(2）设DF 的中点为N ，则CD MN 2
1
//， （9分）
A
B
C
D
E F
M
O
又CD AO 2
1
//，则AO MN //，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ．（12分）
又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ， 所以//OM 平面DAF ． （14分) 16．(本小题满分14分）
在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值;
（2）若c ＝1,tan B ＝错误!，求a 的值．
解（1）由01)cos(102cos 3=-+-B A C ，得02cos 5cos 32=-+C C ，(3分）
即0)1cos 3)(2(cos =-+C C ，解得3
1
cos =
C 或2cos -=C （舍去) ． (6分） (2)由1cos 3
C =，0C <<π，有2sin 1cos C C =-22=．
因为sin tan cos B B B
=，所以22
22
sin 1cos 2cos cos B B B B
-==，解得2cos B 13
=． 又tan 20B =>，02
B π<<，于是3cos B =,6sin tan cos B B B ==．(10分）
sin sin()A B C =+sin cos cos sin B C B C =+63221+3=⨯⨯6=．（12分) 由正弦定理得2
3
sin sin ==
C A c a ． （14分）
17．（本小题满分14分）
如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． (1)按下列要求写出函数关系式：
①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC =
(rad ），将y 表示成的函数关系式．
（2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．
解 以直径AB 所在的直线为x 轴,线段AB 中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系,过点C 作CE 垂
直于x 轴于点E ．
(1）①CD =2x ，OE =x （0＜x ＜1），21CE x =-，
所以1()2
y AB CD CE =+⋅21(22)12
x x =+-2(1)1(01)x x x =+-<<．
……………………………………………………………………………………………4分
②(0)2
BOC θθπ
∠=<<,OE =cos ，CE =sin ，
1()2y AB CD CE =+⋅1(22cos )sin 2θθ=+(1cos )sin θθ=+(0)2
θπ<<．
……………………………………………………………………………………………8分 (2）（方法1）由①可知2(1)1y x x =+-22(1)(1)x x =+-43221x x x =--++
设43221t x x x =--++，所以3224622(1)(21)t x x x x '=--+=-+-，
令t '=0，解得12
x =，或1x =-（舍）．………………………………………………10分
当102
x <<时，t '＞0,则函数t 在1(0)2
，
上单调递增, 当112
x <<时，t '＜0，则函数在1(1)2
，上单调递减， 当12
x =时，t 有最大值2716
,y max =33．
答 梯形部份ABCD 面积y 的最大值为334
平方米．…………………………………14分
（方法2）由②可知,
y ’=[(sin +sin
cos )]'=（sin ）'+(sin ·cos )’=cos +cos
2
﹣
sin
2
=2cos
2
+cos ﹣1,
令y’=0，2cos
2
+cos
﹣1=0,解得1cos 2
θ=，或cos 1θ=-（舍)． (10)
分
当3
θπ0<<时，y ’＞0，则函数y 在(0)3
π，
上单调递增， 当3
2
θππ<<时,y '＜0，则函数y 在()32
ππ，上单调递减， 当3
θπ=时，y max 33,
答 梯形部份ABCD 33平方米．…………………………………14分
18．(本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b
+=>>的左右焦点,且
椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，,其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；
(2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值;
（3)过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ,点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直
线l 的斜率．
解 （1）因为椭圆E 经过点(20)A ，和(13)e ，，所以22222291144a c b b c a ⎧=⎪⎪
+=⎨⎪⎪+=⎩，，
，
解得2a =，3b =,1c =． 所以椭圆E 的方程22143y x +=．…………………………………………………4分
(2)设点P 的坐标为()x y ，,于是2
2
+PA PO =()2
2
2
2
2x y x y ++-+．P 在椭圆E 上，22143
y x +=，
所以22+PA PO =214102
x x -+21(4)22
x =-+．
由于22x -≤≤，所以2x =时，22
min +4PA PO ⎡⎤=⎣⎦，此时点(20)P ，
． ………………………………………………………………………………………8分
(3)由（1）知，1(10)F -，
，2(10)F ，． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-．
联立2
214
3(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，
，
消去y 可得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，所以点B 坐标为2
228612()4343
k k k k --++，．…………10分
由OM MA =知，点M 在OA 的中垂线1x =上，又点M 在直线l 上，所以点M 的坐标为(1)k -，．
从而1(2)F M k =-，，2
222
4912()4343
k k F B k k --=++，．………………………………12分
因为12MF BF ⊥，所以120F M F B ⋅=．
12F M F B ⋅=2
22281812
4343k k k k -+++222018043
k k -==+，2910k =， 310k =±．
故直线l 的斜率是31010
±．……………………………………………………16分
19．(本小题满分15分）
设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2)求证：1()0f a
≤；
(3)若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值．
解（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x
=-+，……………2分
所以'(1)1f =-,又(1)0f =,
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分
(2）因为111()ln 1f a a a
=-+,设函数()ln 1g x x x =-+，
则1
1'()1x
g x x
x
-=-=
， …………………………………………………6分 令'()0g x =，得1x =，列表如下:
x
(0,1)
1
(1)+∞
'()g x +
- ()g x
↗
极大值
↘
()g x (1)0g =
所以111()ln 10f a a a
=-+≤．………………………………………………8分
（3）2121
'()2ax ax f x ax a x x
--=-+=-，0x >,
令'()0f x >，得2288a a a a a a x -+++<<，因为280a a a
-+<, 所以()f x 在28(0,
)a a a ++上单调增,在28(,)a a a
+++∞上单调减． 所以28a a a
x ++=时,()f x 取极大值．…………………………………………12分
于是280a a a f ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
，而(1)0f =，
所以
281a a a
++=，解得1a =．…………………………………………14分 设208a a a
x ++=．
若01x ≠，根据函数的单调性，总有0()(1)0f x f >=,即函数()f x 的极大值不为0，与已知矛盾．
因此01x =,所以a 的值为1．…………………………………………………16分
20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立．
（1）若21,2n A n b ==,求n B ； (2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及
3124122334
11
3
n n n b b b b
a a a a a a a a ++++++
<成立,求正实数1b 的取值范围; （3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使
11,,s t
s t
A A A
B B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．
解（1）因为2n A n = ,当2n ≥时, 1n n n a A A -=- ()2
21n n =-- 21n =- ，11a = 也适合上式，所以
21n a n =-． …………………………………………2分
从而111()12
n n n n b b a a ++-=-=，数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以21132(1)1222
n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+． …………………………………………4分
(2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-,即112()n n n b b b ++=-，即
1
2n n
b b +=，
所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12n
n n n a B b b -==⨯=--，
所以11112(21)(21)n
n n n n n b a a b +++=
-⋅- …………………………………………5分 因为
111111112111
()(21)(21)2121
n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅---…………………………………8分 所以
312411122334
11111
()2121
n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++
=---， 所以1111111
(
)21213
n b +-<
--恒成立, 即11
13(1)2
1
n b +>-
-,所以13b ≥． …………………………………………10分 （3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=，
所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+
+-+-+
132********n n n -+=++
+++=-,
当1n =时,上式也成立，
所以2242n n A n +=--，又122n n B +=-，
所以21
24222221
n n n n n A n n
B ++--==---， …………………………………………12分 假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<,使11,,s t
s t
A A A
B B B 成等差数列， 等价于11,,212121s t s t ---成等差数列，即121212121
s t
s t
=+--- ………………13分 即
212121s
t
s t =+--，因为1121t t +>-,所以2121
s s
>-，即221s s <+ …………14分 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->,所以(s)h 递增， 若3s ≥,则(s)h(3)10h ≥=>,不满足221s s <+，所以2s =, 代入
121212121
s t
s t
=+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时,显然不符合要求；
当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增,所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求．
所以,不存在正整数,s t (1)s t <<，使
11,,s t
s t
A A A
B B B 成等差数列．…………………16分。