人教A版(2019)必修第二册《第9章 统计》单元测试卷(2)

人教A版（2019）必修第二册《第9章统计》单元测试卷（2）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中()
A. 每个个体被抽到的可能性相同
B. 把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取
C. 将总体分成几层，按比例分层抽取
D. 都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取
2.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：，90，89，90，95，93，94，9
3.去掉
一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()
A. 92，2
B. 92，2.8
C. 93，2
D. 93，2.8
3.能反映样本数据的离散程度大小的数字特征是()
A. 众数
B. 平均数
C. 中位数
D. 标准差
4.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为()
A. 31
B. 15
C. 32
D. 16
5.某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名
男生、6名女生，则下列命题正确的是()
A. 这次抽样可能采用的是简单随机抽样
B. 这次抽样一定没有采用系统抽样
C. 这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D. 这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
6.已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数
为b，则样本数据的平均数为()
A. a+b
2B. 3a+7b
10
C. 7a+3b
10
D. a+b
10
7.随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，这50个学生午餐费的平均值和方差分别是()
A. 4，0.6
B. 4，√0.6
C. 4.2，0.56
D. 4.2，√0.56
8.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()
A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
9.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280.采用分层抽样的方法抽取50人，参
加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是()
A. 20
B. 16
C. 15
D. 14
10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：()
甲表：
环数45678
频数11111
乙表：
环数569
频数311
A. 甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
B. 甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数
C. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
11.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，
[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
12.若1，2，3，4，m(m∈R)这五个数的平均数等于其中位数，则m=()
A. 0或5
B. 0或5
2C. 5或5
2
D. 0或5或5
2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知样本数据x 1，x 2，…，x n的均值x=5，则样本数据2x 1+1，2x 2+1，…，2x n+1的均值
为________．
14.某校共有2500名学生，其中男生1300名，女生1200名，用分层抽样法抽取一个容量为200的
样本，则男生应抽取__________名．
15.某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据x1, x2, ⋯, x100的方差为8，
则数据2x1−1, 2x2−1, ⋯, 2x100−1的方差为_____________．
16.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差
为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.从高一抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．
试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数．
(2)这50名学生的平均成绩．
18.某班同学利用国庆节假期进行社会实践，在[25,55]年龄段的人群中随机抽取n人进行了一次生
活习惯是否符合低碳观念的调查，生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
组别分组
低碳族的
人数低碳族的人数占本组的频率
第1组[25,30)1200.6
第2组[30,35)195p
第3组[35,40)1000.5
第4组[40,45)a0.4
第5组[45,50)300.3
第6组[50,55]150.3
(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；
(2)从[40,50)年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人，求从[45,50)年龄段的“低碳族”中应抽取的人数．
19.从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，
绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1:3:6:4:2，最右边一组的频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：
(1)样本的容量是多少？
(2)列出频率分布表；
(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求出该小组的频数，频率；
(4)估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．
20.某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超
出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80％以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，
w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均
水费．
21.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对
“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了120人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求抽取的120人的年龄的中位数(结果四舍五入保留整数)；
(2)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取5人，
35人，30人，20人，10人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90．
(i)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
(ii)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．
22.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，
可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n=19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
本题考查简单随机抽样、分层抽样，属于基础题．
根据简单随机抽样、分层抽样的特点，对各选项逐一分析，即可得到答案．
解：A.简单随机抽样、分层抽样中，每个个体被抽到的可能性相同，是共同点；
B.把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取，这是分层抽样的特点，并不符合简单随机抽样的定义；
C.将总体分成几层，按比例分层抽取，这是分层抽样的特点，并不符合简单随机抽样定义；
D.都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取，不符合简单随机抽样和分层抽样定义；
故选A．
2.答案：B
解析：
本题主要考查平均数与方差的计算．
利用平均数与方差的公式，即可得．
=92，
解：根据题意得，x=90+90+93+93+94
5
=2.8，
S2=2(90−92)2+2(93−92)2+(94−92)2
5
故选B．
3.答案：D
解析：
利用众数、平均数、中位数、方差的定义及意义直接求解．本题考查方差的概念，考查基础知识、基本概率，考查基本定义的掌握程度，是基础题．
解：众数代表一组数据的一般水平，
平均数表示一组数据的集合趋势，
中位数可将数值集合划分为相等的上下两部分，
标准差能反映一组数据的离散程度，
综上，能反映一组数据的离散程度的是标准差．
故选D．
4.答案：C
解析：
本题考查了方差的性质与应用问题，是基础题．
根据样本数据x1，x2，x3，…，x n的方差是S2，得出对应数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，…，ax n+b 的方差是a2S2．
解：样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，
所以数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为22×8=32．
故选C．
5.答案：A
解析：解：∵男生20人，女生30人，抽取的4名男生、6名女生，
∴20
30=4
6
，则这次抽样可能采用的是简单随机抽样，
无论采取哪种抽样，每个学生被抽到的概率都是相同的，故C，D不正确．
故选：A．
根据简单抽样的定义，分别进行判断即可得到结论．
本题主要考查简单抽样的理解和应用，比较基础．
6.答案：B
解析：
本题考查平均数的计算，根据平均数的计算公式，先求出样本数据的和，再求平均数．解：x1，x2，x3的平均数为a，则x1，x2，x3的和为3a，
x4，x5，…，x10的平均数为b，则x4，x5，…，x10的和为7b，
则样本数据的和为3a+7b，
样本数据的平均数为3a+7b
10
．
故选B．
7.答案：C
解析：解：根据题意，得
这50个学生午餐费的平均值是 x =150(3×10+4×20+5×20)=4.2，
方差是
s 2=150[10×(3−4.2)2+20×(4−4.2)2+20×(5−4.2)2]=0.56．
故选：C ．
根据题目中的数据，求出它们的平均数和方差即可．
本题考查了计算加权平均数和方差的问题，解题时应根据平均数与方差的公式，进行计算，即可得出正确的答案，是基础题． 8.答案：C
解析：
【分析】本题考查了方差以及中位数的计算，属于基础题．
根据题意直接算出.甲、乙的成绩的平均数、中位数、极差、方差，即可求解．
【解答】解：x 甲=15(4+5+6+7+8)=6，x 乙=15(5×3+6+9)=6，所以x 甲=x 乙．
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，
甲、乙成绩的极差均为4．
甲的成绩的方差s 甲2=15(22+12+02+12+22)=2，
乙的成绩的方差s 乙2=15(12×3+02+32)=2.4， 所以甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差．
故选C ．
9.答案：D
解析：
本题考查了分层抽样方法的应用问题，属于基础题．
先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高三学生中应抽取的人是多少．
解：根据题意，得抽取样本的比例是50400+320+280=120，
∴从高三学生中应抽取的人数为280×120=14．
故选：D ．
10.答案：C
解析：
本题考查了平均数、中位数、方差与极差的计算问题，是基础题．
根据表中数据，求出甲、乙的平均数，中位数，方差与极差，即可得出结论．
解：根据表中数据，得；
甲的平均数是x 甲=
4+5+6+7+85=6， 乙的平均数是x 乙=5×3+6+95=6；
甲的中位数是6，乙的中位数是5；
甲的方差是s 甲2=15×[(−2)2+(−1)2+02+12+22]=2，
乙的方差是s 乙2=15×[3×(−1)2+02+32]=2.4； 甲的极差是8−4=4，乙的极差是9−5=4；
由以上数据分析，符合题意的选项是C ．
故选C ．
11.答案：B
解析：试题分析：因为频率分布直方图中小长方形面积等于频率，所以低于60分的人数频率为20(0.01+0.005)=0.3，所以该班的学生人数是150.3=50.
故选：B ． 12.答案：D
解析：
本题主要考查数据d的中位数及平均数的概念，属于基础题．讨论m的范围确定中位数和平均数，列方程解得即可．
解：这五个数的平均数等于1+2+3+4+m
5=10+m
5
，
当m≤2时，这五个数的中位数为2，则有10+m
5
=2，解得m=0;
当2<m<3时，这五个数的中位数为m，则有10+m
5=m，解得m=5
2
;
当m≥3时，这五个数的中位数为3，则有10+m
5
=3，解得m=5．
综上m=0或5或5
2
．
故选D．
13.答案：11
解析：
利用平均数计算公式求解，
本题考查数据的平均数的求法，是基础题．
解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为均值x=5，
则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的均值为：x′=2x′+1=5×2+1=11；故答案为11．
14.答案：104
解析：
本题考查了分层抽样，是基础题．
根据题意，求解即可．
解：根据题意，可知：分层抽样的抽样比为200
2500=2
25
，
则应抽取的男生人数是1300×2
25
=104人，故答案为104．
15.答案：32
解析：
本题主要考查了方差的性质与应用问题，是基础题，根据方差的性质直接得到答案．
解：样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，所以数据2x1−1，2x2−1，…，2x100−1的方差为22×8=32．故答案为32.
16.答案：0.032
解析：
本题考查方差的定义，属于中档题．
先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2].
则方差s2=1
n
=10，
解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数x=9.7+9.9+10.1+10.2+10.1
5
×[(9.7−10)2+(9.9−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(10.1−10)2]
方差s2=1
5
=1
×[0.09+0.01+0.01+0.04+0.01]=0.032．
5
故答案为：0.032．
17.答案：解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数，在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的
横坐标即为所求，所以众数应为75．
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是，中位数的左右两边频数应相等，
即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等，因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小
矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，
前三个小矩形面积的和为0.3而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，
0.3+0.3>0.5，所以中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，
令0.03x=0.2，得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，
取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可得平均成绩为
45×(0.004×10)+55×0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(003×10)+85×(0.024×10)+95×(0.016×10)=76.2．
解析：本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，要熟练掌握频率分布直方图的性质，理解中位数，众数，平均数的概念和求法．
(1)众数是出现次数最多的数，在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标;中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等，因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的加权平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
18.答案：解：(1)第2组的频率为1−(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以第2组对
=0.06，则频率分布直方图如下：
应的小矩形的高为0.3
5
第1组人数为120
0.6=200，频率为0.04×5=0.2，所以n=200
0.2
=1000.
又第2组的频率为0.3，故第2组人数为1000×0.3=300，所以p=195
300
=0.65.
第4组的频率为0.03×5=0.15，所以第4组人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60.
(2)因为[40,45)年龄段的“低碳族”与[45,50)年龄段的“低碳族”的人数比为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，从[40,45)年龄段的“低碳族”中应抽取4人，从[45,50)年龄段的“低碳族”中应抽取2人．
解析：本题考查频率分布直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．
(1)根据频率分布直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分布直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出n、a、p的值．
(2)由分层抽样按比例抽取求得结果．
19.答案：解：频率分布直方图中，长方形高
之比=面积之比=频数之比=频率之比．
(1)∵最右边一组的频数是6，从左到右各小
组的长方形的高之比为1：3：6：4：2
∴设样本容量为n，
得(1+3+6+4+2)：n=2：6，
∴样本的容量为
(1+3+6+4+2)×6
2
=48(3分)
(2)频率分布表如下：
(3)成绩落在[70.5,80.5)内的人数最多，频数为6×6
2=18，频率为：6
1+3+6+4+2
=3
8
(9分)
×100%=93.75%(12分)
(4)估计成绩高于60分的学生占总人数的3+6+4+2
1+3+6+4+2
解析：(1)根据最右边一组的频数是6，而频率等于该组的面积在整个图形面积中的百分比，因此可得样本容量为48；
(2)(3)根据表格进行分组，求出频数和频率，画出表格，图中矩形面积最大的一组就是人数最多的组，由此找出最高的矩形，在[60,70)这一组，再用公式求出其频数、频率；
(4)用样本估计总体：在样本中算出[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)这四个组占总数的百分比，就可以估计出成绩高于60分的学生占总人数的百分比．
本题考查了频率直方图的有关知识，属于基础题．频率直方图中，各个小长方形的面积等于该组数据的频率，所有长方形的面积之和等于1．
20.答案：解：(1)由频率分布直方图得：
用水量在[0.5,1)的频率为0.1，
用水量在[1,1.5)的频率为0.15，
用水量在[1.5,2)的频率为0.2，
用水量在[2,2.5)的频率为0.25，
用水量在[2.5,3)的频率为0.15，
用水量在[3,3.5)的频率为0.05，
用水量在[3.5,4)的频率为0.05，
用水量在[4,4.5)的频率为0.05，
∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，
∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，
∴w至少定为3立方米．
(2)当w=3时，该市居民的人均水费为：
(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+
0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，
∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．
解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用，求当w=3时，该市居民该月的人均水费的估
计．
(1)由频率分布直方图得：用水量在[0.5,1)的频率为0.1，用水量在[1,1.5)的频率为0.15，用水量在[1.5,2)的频率为0.2，用水量在[2,2.5)的频率为0.25，用水量在[2.5,3)的频率为0.15，用水量在[3,3.5)的频率为0.05，用水量在[3.5,4)的频率为0.05，用水量在[4,4.5)的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．
(2)当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．
21.答案：解：(1)设中位数为a，则0.01×5+0.07×5+(a−30)×0.06=0.5，
≈32，
∴a=95
3
∴中位数为32；
(93+96+97+94+90)=94，
(2)(ⅰ)5个年龄组的平均数x1=1
5
[(−1)2+22+32+02+(−4)2]=6，
方差s12=1
5
(93+98+94+95+90)=94，
5个职业组x2=1
5
[(−1)2+42+02+12+(−4)2]=6.8；
方差s22=1
5
(ⅰ)评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度较好，
感想：通过本活动让我们看到了“一路一带”这项举措正确的，是社会各行业都认可的．
解析：本题考查频率分布直方图的应用，考查中位数、平均数、方差的求法及应用，是基础题．
(1)设中位数为a，则0.01×5+0.07×5+(a−30)×0.06=0.5，由此能求出中位数．
(2)(ⅰ)利用平均数和方差公式能分别求出5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差．
(ⅰ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好．感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可．
22.答案：解：(1)当n=19时，
y={19×200,x≤19,x∈N
19×200+(x−19)×500,x>19,x∈N
={3800,x≤19,x∈N
500x−5700,x>19,x∈N．
(2)由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，
更换的易损零件数为17个频率为0.16，
更换的易损零件数为18个频率为0.24，
更换的易损零件数为19个频率为0.24
又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．
且0.06+0.16+0.24=0.46<0.5 , 0.46+0.24=0.7>0.5,
则n≥19，
∴n的最小值为19件；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，
所须费用平均数为：1
100
(70×19×200+4300×20+4800×10)=4000(元)，
假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，
所须费用平均数为1
100
(90×4000+10×4500)=4050(元)，
∵4000<4050，
∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．
解析：本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，属于中档题．
(1)若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；
(2)由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n 的最小值；
(3)分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．。