人教版高中数学必修二新教材培优辅导6.2.2 向量的减法运算(解析版)

第六章平面向量及其应用
6.2.2向量的减法运算
一、基础巩固
1．设非零向量，
a b满足|a＋b|＝|a－b|,则（）
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
【正确答案】A
【详细解析】
利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中,设AB＝a,AD＝b,
=,如图所示.
由|a＋b|＝|a－b|知AC DB
从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,
故a⊥b.
.
2．在五边形ABCDE中（如图）,AB BC DC
+-=（）
A．AC B．AD C．BD D．BE
【正确答案】B 【详细解析】
AB BC DC AB BC CD AD +-=++=.
3．如图,,E F 分别为正方形ABCD 的边,DC BC 的中点,设,AB a AD b ==,则EF =（ ）
A ．
1122a b + B ．
13
22a b C ．3344
a b -
D ．1122
a b -
【正确答案】D 【详细解析】
EF =AF AE -AB BF AD DE =+--
=11
22
AB AD AD AB +
-- 11
22
AB AD =
- 11
22
a b =
-。

4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,给出下列式
子:①AB CD BC DA +=+,②AC BD BC AD +=+,③AC BD DC AB -=+．其中正确的有（ ）． A ．3个 B ．2个
C ．1个
D ．0个
【正确答案】B
详细解析:①式的等价式是AB DA -=BC -CD ,左边=AB +AD ,右边=BC +DC ,不一定相等; ②AC BD BC AD +=+的等价式是:AC -AD =BC -BD ,左边=右边=DC ,故正确; ③AC BD DC AB -=+的等价式是:AC AB -=BD +DC ,左边=右边=BC ,故正确;
5．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,则AO OB AD +-等于（ ）
A ．A
B B ．BC
C ．CD
D ．DB
【正确答案】D 【详细解析】 数形结合可知:
AO OB AD +-AB AD DB =-=.
6．如图,在空间四边形OABC 中, OA a =, OB b =, OC c =．点M 在OA 上,且2OM MA =,N 是BC 的中点,则MN =（ ）
A ．
121
232a b c -+ B ．211
322a b c -
++ C ．112223
a b c +-
D ．221332
a b c +-
【正确答案】B 【详细解析】
由题,在空间四边形OAB , OA a =, OB b =, OC c =． 点M 在OA 上,且2OM MA =, N 是BC 的中点,则11
22
ON c b =+ ． 所以211
322
MN ON MO a b c =+=-
++ 7．在平行四边形ABCD 中,AB AD AB AD +=-,则必有（ ）. A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．ABCD 是矩形
D ．ABCD 是正方形
【正确答案】C 【详细解析】
在平行四边形ABCD 中, 因为AB AD AB AD +=-, 所以AC DB =,即对角线相等, 因为对角线相等的平行四边形是矩形, 所以ABCD 是矩形.
8．在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN ＝12NC ,P 是BN 上的一点,若AP ＝m AB ＋2
9
AC ,则实数m 的值为( ) A ．
1
9
B ．
13
C ．1
D ．3
【正确答案】B 【详细解析】 设NP NB λ= ,
AP AN NP =+13AC NB λ=
+=1()3AC NA AB λ++ 11
()33
AC AB λλ=-+ 所以112,339λ-= 所以1.3
λ=
9．（多选）下列命题不正确的是（ ） A ．单位向量都相等
B ．若a 与b 是共线向量,b 与c ⃗是共线向量,则a 与c 是共线向量
C ．a b a b +=-,则a ⊥b
D ．若a 与b 单位向量,则|a |=|b | 【正确答案】AB 【详细解析】
长度为1的所有向量都称之为单位向量,方向可能不同,故A 错误; 因为零向量与任何向量都共线,当0b =,a 与c 可以为任意向量,故B 错误;
a b a b +=-,设a 与b 起点相同,利用平行四边形法则做出a b a b +-，,如图所示,根据向量加法和减法
的几何意义可知此平行四边形对角线相等,故为矩形,所以邻边垂直,即a ⊥b
若a 与b 单位向量,则1
1a b ==，,|a ∴ |=|b | 10.（多选）下列命题不正确的是（ ） A ．单位向量都相等
B ．若a 与b 是共线向量,b 与c 是共线向量,则a 与c 是共线向量
C ．a b a b +=-,则a b ⊥
D ．若a 与b 是单位向量,则a b = 【正确答案】AB. 【详细解析】
解:对A,D 由单位向量的定义知:单位向量的模为1,方向是任意的,故A 错误,D 正确; 对B,当0b =时,a 与c 可以不共线,故B 错误;
对D,a b a b +=-,即对角线相等,此时四边形为矩形,邻边垂直,故D 正确. 11．（多选）下列各式中,结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-
【正确答案】BD 【详细解析】
对于选项A :AB MB BO OM AB +++=,选项A 不正确; 对于选项B : 0AB BC CA AC CA ++=+=,选项B 正确; 对于选项C :OA OC BO CO BA +++=,选项C 不正确;
对于选项D :()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.
12．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,则下列结论中正确的有（ ） A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11
OA OD -是一对相反向量 C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【正确答案】ACD 【详细解析】
∵O 为正方体的中心,∴1OA OC =-,1OD OB =-,故()
11OA OD OB OC +=-+, 同理可得()
11OB OC OA OD +=-+,
故()
1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++,∴A 、C 正确; ∵OB OC CB -=,11
11OA O A D D =-, ∴OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量,∴B 不正确; ∵11OA OA AA =-,111OC OC C C AA -==-, ∴()
11OA OA OC OC -=--,∴D 正确. 二、拓展提升
13．作图验证:()a b a b -+=--． 【正确答案】见详细解析 【详细解析】
当,a b 中至少有一个为0时,()a b a b --=-+显然成立（图略）; 当,a b 不共线时,作图如图（1）,显然()OB OB a b a b '--+=-==-; 当,a b 共线时,同理可作图如图（2）所示．
14．如图,在ABC 中,4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,点D ,E 分别在边,AB AC 上,且
2,3AB AD AC AE ==.
（1）若11
24
BF AB AC =-
+,试用AD ,AE 线性表示AF ; （2）在（1）的条件下,求AD AF ⋅的值. 【正确答案】（1）34
AF AD AE =+;（2）11
2.
【详细解析】 解:（1）∵1124BF AB AC =-
+,∴11
24
AF BF BA AB AC =-=+, 又2,3AB AD AC AE ==,∴3
4AF AD AE =+
. （2）由（1）可得34AD AF AD AD AE ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝
⎭
, ∵2,3AB AD AC AE ==,
∴31
144
8AD AF AD AD AE AB AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅ ⎪
⎝⎭ 1111
1646cos60482
︒=
⨯+⨯⨯⨯=. 15．如图,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD ,E ,F ,G 分别是BC ,CD ,DB 的中点,请化简以下式子,
并在图中标出化简结果.
（1）AB BC DC +-; （2）AB DG CE --.
【正确答案】（1）AB BC DC AD +-=;作图见详细解析;（2）AB DG CE AF --=;作图见详细解析.
【详细解析】
（1）AB BC DC AB BC CD AC CD AD +-=++=+=,如图中向量AD . （2）AB DG CE AB GD EC AB BG EC AG GF AF --=++=++=+=, 如图中向量AF .。