龙泉市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

龙泉市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
2． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
3． 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，
设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b <<
D ．a c b << 4． 曲线y=x 3﹣3x 2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A ．y=3x ﹣4
B ．y=﹣3x+2
C ．y=﹣4x+3
D ．y=4x ﹣5
5． 设、是两个非零向量，则“（+）2=||2+||2”是“⊥”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6． 已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）
7． 设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-<
9． 在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线
EF 相交
的是（ ）
A ．直线1AA
B ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11B
C 10．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；
③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ． 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．k ＞7
B ．k ＞6
C ．k ＞5
D ．k ＞4
12．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）
A ．9.6
B ．7.68
C ．6.144
D ．4.9152
二、填空题
13．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都
在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．
14．在数列
中，则实数a= ，b= ．
15．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
16．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 17．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称；
③y=（
）﹣x
是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．
18．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．
三、解答题
19．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1x xe -．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．
20．定义在R 上的增函数y=f （x ）对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），则 （1）求f （0）； （2）证明：f （x ）为奇函数；
（3）若f （k •3x ）+f （3x ﹣9x
﹣2）＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
21．已知函数f （x ）=•，其中=（2cosx ， sin2x ），=（cosx ，1），x ∈R ．
（1）求函数y=f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面
积．
22．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为
（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．
23．已知函数f（x）=alnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞恒成立，求实数k的取值范围．
24．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
龙泉市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣
2y+c=0．
2． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，
∵a 4•a 8=2a 52，∴a 62=2a 52
， ∴q 2
=2，∴q=
，
∵a 2=1，∴a 1==
．
故选：D
3． 【答案】C 【解析】
考点：函数的对称性，导数与单调性．
【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不
可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()f x 满足：
()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，
则其图象关于点(,)m n 对称． 4． 【答案】B
【解析】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y ′=3x 2﹣6x ，
∴y ′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3． ∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x ﹣1），即y=﹣3x+2． 故选B ．
【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．
5． 【答案】C
【解析】解：设a 、b 是两个非零向量，“（a+b ）2=|a|2+|b|2”⇒（a+b ）2=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2
⇒a •b=0，即a ⊥b ；
a ⊥
b ⇒a •b=0即（a+b ）2=|a|2+|b|2所以“（a+b ）2=|a|2+|b|2”是“a ⊥b ”的充要条件． 故选C ．
6． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=﹣log 2x ，
∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0， 满足f （2）f （4）＜0，
∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
7． 【答案】B
【解析】解：A 项定义域为[﹣2，0]，D 项值域不是[0，2]，C 项对任一x 都有两个y 与之对应，都不符．
故选B ．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
8． 【答案】D 9． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线11111,,AA A B A D 都和直线
EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线11B C 和EF 相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断. 10．【答案】 B
【解析】解：∵①若m ∥l ，m ⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l ⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB、BC、BB1两两相交，得：
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，
则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，
得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11．【答案】C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前1 0
第一圈2 2 是
第二圈3 7 是
第三圈4 18 是
第四圈5 41 是
第五圈6 88 否
故退出循环的条件应为k＞5？
故答案选C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
12．【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：如图所示，
连接A1C1，B1D1，相交于点O．
则点O为球心，OA=．
设正方体的边长为x，则A1O=x．
在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：+x2=，
解得x=．
∴正方体ABCD﹣A
B1C1D1的体积V==2．
1
故答案为：2．
14．【答案】a=，b=．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
15．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥ 考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 16．【答案】8
17．【答案】 ②④
【解析】解：①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误； ②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称，故正确； ③y=（
）﹣x
是减函数，故错误；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0，故正确． 故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．
18．【答案】 {x|﹣1＜x ＜1} ．
【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}， ∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x ＜1}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三、解答题
19．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3,21e ⎛⎤-∞-
⎥-⎝⎦
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
12）上无零点，只需要对x ∈（0，1
2
）时f （x ）＞0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，
由f ′（x ）＞0，得x ＞2； 由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．
故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数
上无零点，
只要对任意的，f （x ）＞0恒成立，即对恒成立．
令，则
，
再令，
则
，故m （x ）在
上为减函数，于是
，
从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以
，
故要使
恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f （x ）在10,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2； （3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增； 当x ∈（1，e]时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减． 又因为g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e •e 1﹣e ＞0， 所以，函数g （x ）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
当a ≠2时，f ′（x ）=，x ∈（0，e]
当x=
时，f ′（x ）=0．
由题意得，f （x ）在（0，e]上不单调，故，即
①
又因为，当x →0时，2﹣a ＞0，f （x ）→+∞，
，
所以，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2）， 使得f （x i ）=g （x 0）成立，当且仅当a 满足下列条件：
即
令h （a ）=，
则h
，令h ′（a ）=0，得a=0或a=2，
故当a ∈（﹣∞，0）时，h ′（a ）＞0，函数h （a ）单调递增；
当
时，h ′（a ）＜0，函数h （a ）单调递减．
所以，对任意，有h （a ）≤h （0）=0， 即②对任意恒成立． 由③式解得：
．④
综合①④可知，当a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使f （x i ）=g （x 0）成立．
20．【答案】
【解析】解：（1）在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）中， 令x=y=0可得，f （0）=f （0）+f （0）， 则f （0）=0，
（2）令y=﹣x ，得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ）， 又f （0）=0，则有0=f （x ）+f （﹣x ）， 即可证得f （x ）为奇函数；
（3）因为f （x ）在R 上是增函数，又由（2）知f （x ）是奇函数， f （k •3x ）＜﹣f （3x ﹣9x ﹣2）=f （﹣3x +9x +2），
即有k •3x ＜﹣3x +9x
+2，得
，
又有
，即
有最小值2﹣1，
所以要使f （k •3x
）+f （3x
﹣9x
﹣2）＜0恒成立，只要使即可，
故k 的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．
21．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=•=2cos 2
x+
sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1，
令﹣+2k π≤2x+≤+2k π，
解得﹣
+k π≤x ≤
+k π，
函数y=f （x ）的单调递增区间是[﹣+k π，
+k π]，
（Ⅱ）∵f （A ）=2
∴2sin （2A+
）+1=2，即sin （2A+
）= …．
又∵0＜A ＜π，∴A=．…
∵a=
，
由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2
﹣3bc=7 ①…
∵sinB=2sinC ∴b=2c ②…
由①②得c 2
=．…
∴S △ABC=．…
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为（t 为参数），
消去参数，得
x+y ﹣
=0，
直线l 的直角坐标方程为x+y ﹣
=0，
∵圆C 的极坐标方程为p 2
+2psin （θ+
）+1=r 2
（r ＞0）．
∴（x+
）2
+（y+）2=r 2
（r ＞0）．
∴圆C的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．
（Ⅱ）∵圆心C（﹣，﹣），半径为r，…（5分）
圆心C到直线x+y﹣=0的距离为d==2，
又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，
∴r=3﹣2=1．
【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．23．【答案】
【解析】解：（I）∵函数f（x）=alnx+的导数为
f′（x）=﹣，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），
∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（II）当x＞1时，不等式f（x）＞，即为（x﹣1）lnx+＞（x﹣k）lnx，
即（k﹣1）lnx+＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令g（x）=（k﹣1）lnx+，g′（x）=+1+=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，
①当≤1即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，
则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当＞1即k＜﹣1时，m（x）在上（1，）上单调递减，
且m（1）＜0，故当x∈（1，）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，
所以函数g（x）在（1，）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当x ∈（1，）时，g （x ）＜0与题设矛盾，
综上可得k 的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
24．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2
2
28x y -+=．
【解析】
试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得
矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD 外接圆的方程.
（2）由360
320
x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-,
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,
所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM =
=从而距形ABCD 外接圆的方程为()2
2
28x y -+=.1
考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.
【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.。