2020届高三数学9月月考试题文201912120118

2020届高三数学9月月考试题 文
第I 卷（选择题)
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．设全集U R =，集合{|3},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B ⋂= （ ） A ．{|03}x x << B ．{|03}x x ≤≤ C ．{|03}x x <≤
D ．{|03}x x ≤<
2．若命题:,1x p x Z e ∃∈<，则p ⌝为（ ） A ．,1x x Z e ∀∈< B ．,1x x Z e ∀∈≥
C ．,1x x Z e ∀∉<
D ．,1x x Z e ∀∉≥
3．已知(3,1)AB =，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A ．(7,4)--
B ．(7,4)
C ．(1,2)--
D ．(1,2)
4．已知命题:p “[0,1],x
x a e ∀∈≥”，命题:q “2
,40x R x x a ∃∈++=”，若命题“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)+∞
B ．[1,4]
C ．(,1]-∞
D ．[,4]e
5．若tan 2α=，3,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，则cos α=( )
A B ．C ． D 6．在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．45 B ．162
C ．
135
2
D ．81
7．函数sin ()ln(2)
x
f x x =
+的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若双曲线122
2
=-b
y x 的一个焦点F 到其一条渐近线的距离为3则双曲线的离心率为（ ）
A B C ．2 D 9．某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.
甲说：我在1日和3日都有值班 乙说：我在8日和9日都有值班
丙说：我们三人各自值班日期之和相等。

据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A ．10日和12日 B ．2日和7日
C ．4日和5日
D ．6日和11日
10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，0)()3(=-+x f x f ，且3,02
x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，
2()log (31)f x x =-+，则(2020)f =( )
A ．4
B ．2log 7
C ．2
D ．2-
11．已知函数x a e x f x ln 3)(-= 在1
[,3]2
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A ．)
3
9,e ⎡+∞⎣ B ．(
3
,9e ⎤-∞⎦
C ．)
2
4,e ⎡+∞⎣
D ．(
2
,4e ⎤-∞⎦
12．当102
x <≤
时, 4log x
a x <,则a 的取值范围是( )
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎫
⎪⎪⎝⎭
C ．(
D ．
)
2
第II 卷（非选择题)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．直线1:3210l x y --=与2:3210l x y -+=间的距离为________ 。

14．已知对于任意实数x 满足sin sin()x x A x ϕ+=+（其中0A >，[0,2)ϕπ∈），则
有序实数对(,)A ϕ=_________
15．已知函数(()ln f x x =，若实数,a b 满足()(0)2f a f b +-=，则a b +=____.
16．已知函数()()2ln '1f x x x f =-⋅，则()f x =__________________. 三、解答题（共70分）
17．（12分）已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 是等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ．
18．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，
简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染. （I ）求从这7天中随机抽取1天空气质量为优的概率；
（Ⅱ）求从空气质量不为优中随机抽取2天中恰有1天空气质量为轻度污染的概率.
19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，
AD CD ⊥，//AB CD ，2CD AB =.
（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）在侧棱PC 上是否存在点M ，使得//BM
平面PAD ，若存在，确定点M 位置；
若不存在，说明理由．
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段
长(1)求圆心P 的轨迹方程；
(2)若点P 到直线y x =的距离为2
，求圆P 的方程.
21．（12分）已知函数()ln 1f x ax x =-+.
（1）若1x =是函数()f x 的极值点，试求实数a 的值并求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围.
二选一
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将椭圆2
2
14
y x +=上每一点的横坐标保持不变，纵
坐标变为原来的一半，得到曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=．
()1写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
()2已知点(1,2)M ，且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求11
||||MA MB +的值．
23．（10分）()32f x x x =--．
（1）画出()f x 的图象，并由图象写出()0f x >的解集；
（2）若存在x R ∈使不等式()210f x a --≥成立，求实数a 的取值范围．
数学（文科）答案
1．D 2．B 3．A 4．D
5．B 22sin tan 2cos sin cos 1
ααα
αα⎧
==⎪⎨⎪+=⎩
cos α∴= 又3,
2π
απ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭ cos 0α∴<
cos α∴=6．D 由等差中项的性质得345675545a a a a a a ++++==，得59a =， 所以，()195
959929998122
a a a S a +⨯=
===⨯=，故选：D. 7．A sin ()(0)0ln(2)x f x f x =
⇒=+排除BD 1sin
sin 12()()05ln(2)2ln()2
x f x f x =⇒=>+排除C 8．C
9．D 由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和为26， 根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，
10．D 因为函数()f x 满足(3)()f x f x +=，即函数()f x 是以3为周期的周期函数，又函数
()f x 是定义在R 上的奇函数，且3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，2()log (31)f x x =-+，所以
2(2020)(1)(1)log 42f f f ==--=-=-．故选D ．
11．A
03)(≤-
='x
a e x f x 在1[,3]2
上恒成立， 则
x xe
a 3≥在
1
[,3]2
上恒成立， ()g x 在1
[,3]2单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=39e . 故
39a e ≥.
12．由题意，当102
x <≤
时，函数4x
y =的图象，如图所示， 若不等式4log x
a x <恒成立，则函数log a
y x =的图象恒在函数4x y =
的上方，因为函数
log a y x =的图象与函数4x y =的图象交于1
(,2)2
点时，此时a =，根据对数函数的性质
可知函数log a y x =图象对应的底数a
满足12
a <<，故选B.
13
．
13
因为直线1:3210l x y --=与2:3210l x y -+=互相平行，所以根据平行线
间的距离公式d =
d =
=
=
14．(2,)3
π
1sin 2(sin )2(cos sin sin cos )2sin()
2333sin()
x x x x x
x x A x πππ
ϕ+=+=+=+=+
2,.3
A π
ϕ∴==
15．2
对任意x ∈R
，0x x x >+≥，函数()y f x =的定义域为R ，
()()))
ln
ln
ln10f x f x x x -+=+==，则函数()y f x =为奇函数，
当0x ≥时，由于函数y x 为增函数，
所以，函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，由于该函数为奇函数，则函数()y f x =在(),0-∞上也为增函数， 所以，函数()y f x =在R 上为增函数，
由()()20f a f b +-=，得()()()22f a f b f b =--=-，2a b ∴=-，可得出2a b +=. 故答案为：2.
16．2ln x x - 对函数()y f x =求导得()()2
1f x f x
''=
-，()()121f f ''∴=-，解得()11f '=，因此，()2ln f x x x =-，故答案为：2ln x x -. 17．(I)32n a n =-；(Ⅱ)7254S =，或786S =-
(I)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵32243,14a a a a -=+=．∴3d =，12414a d +=， 解得11a =，3d =， ∴()13132n a n n =+-=-．
(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q ，2214b a b q ===，3
46116b a b q ===，联立解得
12b q ==，12b q =-=，∴()77
221
25421
S ⨯-=
=-，或()()77
2128612S ⎡⎤-⨯--⎣⎦==---．
18．（1）
47 （2）2
3
. 19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
（Ⅰ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥． 又因为AD CD ⊥，//AB CD ，所以AD AB ⊥．
又AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面PAD ．可得AB ⊥平面PAD ． 又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （Ⅱ）当点M 是PC 的中点时，//BM
平面PAD ．
证明如下：设PD 的中点为N ，连接MN ，AN ，易得MN 是PCD ∆的中位线， 所以//MN CD ，1
2
MN CD =
． 由题设可得//AB CD ，2CD AB =， 所以//MN AB ，MN AB =．
所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//BM
AN ．
又BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，所以//BM
平面PAD ．
20．(1) 2
2
1y x -= (2) 2
2
(1)3x y +-=或2
2
(1)3x y ++=. (1)设00(,)P x y ，圆P 的半径为r ，
由题设可得2
2
2y r +=，223x r +=，从而2
2
23y x +=+， 故点P 的轨迹方程为2
2
1y x -=. (2)设00(,)P x y
2
=
，即001x y -=， 又P 点在双曲线22
1y x -=上，所以00220
11
x y y x ⎧-=⎨
-=⎩，
由0022
0011x y y x -=⎧⎨
-=⎩，得000
1x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P
的半径r =； 由0022
011y x y x -=⎧⎨
-=⎩，得000
1x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P
的半径r =， 故圆P 的方程为：2
2
(1)3x y +-=或2
2
(1)3x y ++=. 21．（1）函数的定义域为()0,+∞
又()1
f x a x
'=-
，由题意()11f a '=-，1a =， 当1a =时，令()110f x x =-
>'得1x >，令()1
10f x x
=-<'得1x <， 所以函数的单调减区间为()0,1函数的单调增区间为()1,+∞， 此时函数()f x 取极小值故1a =符合题意；
（2）由()0f x >恒成立得ln 10ax x -+>恒成立，又定义域为()0,+∞， 所以ln 1
x a x ->
恒成立即max
ln 1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭， 令()ln 1x g x x -=
则()22ln x g x x -'=，令()2
2ln 0x
g x x
'-=>得2x e <所以函数()g x 在()2
0,e 上单调增，在()2
,e +∞单调减，函数()
()
22
max
1
g x g e e ==
， 所以2
1a e >
. 22．()1将椭圆2
2
14
y x +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线
()2
2214
:x C y +
=．得到圆221x y +=的图象，故曲线C 的普通方程为22
1x y +=；
直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ-=．
故直线l 的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=；
()2直线过点()1,2M 且倾斜角为4π
，故直线l
的参数方程为：12
2x y ⎧
=+
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数）． 代入方程2
2
1x y +=
．化为：240t ++=
，12124t t t t +=-=． 根据t
的几何意义可得：121211·t t MA MB t t ++== 23．
（1）()f x 的图象如图所示：
由图象可得()0f x >的解集为：{}|31x x -<< （2）
()max 3f x =，从而只需()max 21f x a ≥-，即：321a ≥-
解得：12a -≤≤∴实数a 的取值范围为[]1,2-。