2020年山西省晋中市平遥职业中学高三数学文联考试卷含解析

2020年山西省晋中市平遥职业中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则的大小关系是( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
2. 设均为实数，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
C
3. 对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+3）=f（x），则f（1）+f（2）+f（3）=（）A．0 B．﹣1 C．3 D．2
参考答案：
A
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数的性质可得f（0）=0，f（2）=﹣f（1），代入计算可得．
【解答】解：由f（x+3）=f（x）可得函数的周期为3，
又函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，
∴f（3）=（0+3）=f（0）=0，
∴f（2）=f（﹣1+3）=f（﹣1）=﹣f（1），
∴f（1）+f（2）+f（3）=f（1）﹣f（1）+0=0
故选：A
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，属基础题．
4. 若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于( )A．﹣B．C．D．
参考答案：
C
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），
∴2+=（3，3）
=（0，3）
则（2+）?（）=9
|2|=，||=3
∴cosθ==
∴θ=
故选C
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握．
5.
已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+b与- b垂直，则的值为
A. B. C.
D.2
参考答案：
答案:A
6. 已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
参考答案：
C
考点：等差数列的前n项和；等差数列．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的前n项和的公式，写出求和等于100时的公式，整理出关于n的方程，写出n 的值．
解答：解：∵等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），
S n=100，
∵100=，
∴n=10
故选C．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式，是一个基础题，题目的解决关键是看出数列中所给的两项恰好是前n项和的两项．
7. 如果，那么（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
8. 一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如右图），则这个几何体的表面积为
A.12+
B.7
C. D.
参考答案：
C
9. 我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学
生成绩的平均数是86，若正实数满足成等差数列且成等比数列，则的最小值为（）
A. B. C. D.9
参考答案：
C
10.
2008北京奥运会的第一批志愿者在7月初正式上岗, 现随机安排该批志愿者到三个比赛场地服务, 则其中来自内蒙古自治区的3名志愿者恰被安排在两个不同场地服务的概率为
A. B. C. D.
参考答案：
答案：A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知复数满足
,则
=。

参考答案：
答案：
12. 函数的反函数为
参考答案：
本题考查反函数的求解，难度较小.由得，所以反函数
.
13. 若
，则
参考答案：
2
14. （
+3）（
﹣）5的展开式中的常数项为 ．
参考答案：
40
【考点】二项式定理的应用． 【分析】把（﹣）5按照二项式定理展开，可得（+3）（﹣）5的展开式中的常数项． 【解答】解：（+3）（
﹣）5 =（
+3）（
﹣
?2x+
?4
﹣
?8x ﹣2+
?16
﹣
?32x ﹣5
），
故展开式中的常数项为 ?4=40，
故答案为：40．
15. 在等差数列{a n }中，a 2=10，a 4=18，则此等差数列的公差d= ．
参考答案：
4
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由等差数列的通项公式代入已知数据，计算可得．
【解答】解：∵在等差数列{a n }中a 2=10，a 4=18，
∴公差d===4
故答案为：4
【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．
16. 已知圆O 1和圆O 2都经过点A （0，1），若两圆与直线4x ﹣3y+5=0及y+1=0均相切，则|O 1O 2|= ．
参考答案：
【考点】JA ：圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】由题意画出图形，可得两圆中一个圆的圆心在坐标原点，由已知列式求出另一圆心坐标，则答案可求．
【解答】解：如图，∵原点O 到直线4x ﹣3y+5=0的距离d=
，到直线y=﹣1的距离为
1，且到（0，1）的距离为1，
∴圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1， 设O 2（a ，b ），则由题意：
，解得
．
∴．
故答案为：
．
17. 已知集合A={x|2x﹣1＞1}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=．
参考答案：
{x|1＜x＜2}．
【考点】交集及其运算．
【分析】解指数不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：由2x﹣1＞1=20，解得x＞1，即A={x|x＞1}，
B={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，
则A∩B={x|1＜x＜2}，
故答案为：{x|1＜x＜2}．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长
度单位，已知曲线的参数方程为，（为参数，且），曲线的极坐标方程为．
（）求的极坐标方程与的直角坐标方程．
（）若是上任意一点，过点的直线交于点，，求的取值范围．
参考答案：
见解析．
解：（）消去参数可得，由，则，，
∴曲线是在轴上方的部分，
∴曲线的极坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为．（）设，则，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为：
（为参数），
代入的直角坐标方程得，
由直线参数方程中的几何意义可知，
因为，
∴．
19. （本小题满分13分）已知（）的部分图象如图所示．
写出的最小正周期及，的值；
求在上的取值范围．
参考答案：
20. （2015?上海模拟）（文）已知函数f（x）=
（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；
（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．
参考答案：
【考点】：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．
【专题】：计算题；证明题；函数的性质及应用．
【分析】：（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；
（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．
解：（1）由题意知，≥3x；
化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，
解得，﹣1≤3x≤；
故x≤﹣1；
（2）由题意，f（0）==0，
故a=1；
再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；
经验证f（x）=是奇函数，
（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），
∵x1＜x2，∴＞0；
故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，
当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，
当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．
【点评】：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．
21. 已知函数.
(1)若,曲线在点处的切线在两坐标轴上的截距之和为,求的值；
(2)若对于任意的及任意的,总有
成立,求的取值范围.
参考答案：
:(1)因为,
所以,.
又因为切点坐标为,所以切线方程为.
令,得；令，得.
由，化简得，
解得或,又,所以.
(2)不妨设,由(1)知, ,,
所以为增函数,从而.
所以等价于，
即，所以.
设,则,所以在上为单调递增函数，
因此,对于恒成立，
所以,即对于恒成立.
设，则，
所以在上单调递增, ，
因此, ,即.
22. 已知函数，，若存在实数使成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
试题分析：先将问题“ 存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.
试题解析：
存在实数使成立，等价于的最大值大于，
因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“”，
故常数的取值范围是．
考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.。