人教A版高中数学选修导数在研究函数中的应用同步练习新(3)

导数及其应用高考题
第1题. 2007海南、宁夏文)设函数2
()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，的最大值和最小值．
答案：解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，
． （Ⅰ）224622(21)(1)
()2232323
x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -
<<-时，()0f x '>；当1
12
x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间3
12
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
，12
⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，单调增加，在区间112⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，的最小值为11
ln 224f ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
．
又31397131149ln ln ln 1ln 442162167229f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-
-=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，的最大值为11
7ln 416
2f ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭． 第2题. （2002海南、宁夏理）曲线1
2
e x y =在点2
(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的
面积为（ ） Ａ．
29e 2
Ｂ．2
4e
Ｃ．2
2e
Ｄ．2
e
答案：Ｄ
第3题. （2007海南、宁夏理）设函数2
()ln()f x x a x =++．
（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2
． 答案：解： （Ⅰ）1
()2f x x x a
'=
++，
依题意有(1)0f '-=，故32
a =
． 从而2231(21)(1)
()3322
x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，
．当312x -<<-时，()0f x '>； 当1
12
x -<<-时，()0f x '<； 当1
2
x >-
时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3112
2
⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，
单调增加，在区间112⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+∞，，2221
()x ax f x x a
++'=
+． 方程2
2210x ax ++=的判别式2
48a ∆=-． （ⅰ）若0∆<
，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 无极值．
（ⅱ）若0∆=
，则a =
a =
若a =
()x ∈+∞
，()f x '=．
当2x =-
时，()0f x '=，
当22x ⎛⎫⎛⎫∈--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 时，()0f x '>，所以()f x 无极值．
若a =
)x ∈+∞
，2
()0f x '=>，()f x 也无极值．
（ⅲ）若0∆>
，即a >
a <22210x ax ++=有两个不同的实根
12a x -=
，22
a x -=．
当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '在()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值．
当a >
1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，
由极值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．
综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞． ()f x 的极值之和为
22
21211221e ()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22
f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．
第4题. （2007湖南理）函数3
()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ． 答案：16-
第5题. (2007湖南文)已知函数32
11()32
f x x ax bx =++在区间[11)
-，，(13]，内各有一个极值点．
（I ）求2
4a b -的最大值；
（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 答案：解：（I ）因为函数32
11()32
f x x ax bx =
++在区间[11)
-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2
()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，
设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=，且2104x x <-≤．于是
04<，20416a b <-≤，且当11x =-，
23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故2
4a b -的最大值是16．
（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32
y a b x a =++--，
因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象， 所以21
()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-
-在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121
(1)3232
x ax bx a b x a =
++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．
若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-．又由2
48a b -=，得1b =-．故32
1()3
f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-
- 2133
(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号．于是存在12m m ，（121m m <<）．
当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设2
33()1222a a h x x x ⎛
⎫⎛
⎫=++
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102
a
h '=⨯++=． 所以2a =-．又由2
48a b -=，得1b =-，故32
1()3
f x x x x =
-- 第6题. (2007江苏)已知函数3
()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为
M ，m ，则M m -=_____． 答案：32
第7题. (2007江西理)设2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，
:5q m -≥，则p 是q 的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：B
第8题. （全国卷I 理）设函数()e e x x
f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围答案：解： （Ⅰ）()f x 的导数()e e x
x
f x -'=+．
由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x
x
g x a a -'=+->-≥，
故()g x 在(0)+，∞上为增函数，
所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，
此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． 第9题. (2007全国I 文)曲线313y x x =+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．
1
9
Ｂ．
29
Ｃ．
13
Ｄ．
23
答案：A
第10题. (2007全国I 文)设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 答案：（Ⅰ）2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3
2
()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立，
所以 2
98c c +<， 解得 1c <-或9c >，
因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，． 第11题. (2007全国II 理)已知函数3
()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 答案：解：（1）求函数()f x 的导数：2
()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，
即
23(31)2y t x t =--．
（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使
23(31)2b t a t =--．
于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程
32230t at a b -++=
有三个相异的实数根． 记 3
2
()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；
当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a
t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；
当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．
综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，
则0()0a b b f a +>⎧⎨
-<⎩
，
．
即 ()a b f a -<<．
第12题. (2007陕西理)设函数2e ()x f x x ax a
=++，其中a 为实数．
（I ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （II ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间．
答案：解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，2
0x ax a ∴++≠恒成立，2
40a a ∴∆=-<，
04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．
（Ⅱ）22
(2)e ()()
x
x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤． 由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a <<Q ，
02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；
当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<， 即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，．
第13题. (2007浙江理)设3
()3
x f x =，对任意实数t ，记2
32()3t g x t x t =-．
（I ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；
（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立．
答案：（I ）解：316
433
x y x =-+． 由2
40y x '=-=，得
2x =±．
因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>，
故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：
令2332
()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 2
2
3
()h x x t '=-，
当0t >时，由()0h x '=，得13
x t =． 当13
(0)x x ∈，时，()0h x '<，
当13
()x x ∈+∞，
时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13
()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：
对任意固定的0x >，令232
()()(0)3
t h t g x t x t t ==-
>，则 1
13
32()()3
h t t x t -'=-，
由()0h t '=，得3
t x =． 当3
0t x <<时，()0h t '>． 当3
t x >时，()0h t '<，
所以当3
t x =时，()h t 取得最大值3
3
1()3
h x x =
． 因此当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． （ii ）方法一：
88
(2)(2)3
f g =
=． 由（i ）得，8(2)(2)t g g ≥对任意正实数t 成立．
即存在正实数02x =，使得8(2)(2)t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，
300()3x f x =，80016
()43g x x =-，
由（i ）得，30016
433
x x >-，
再取3
0t x =，得30
3
00()3
x x g x =，
所以30
3
0800016()4()33
x x g x x g x =-
<=， 即02x ≠时，不满足800()()t g x g x ≥对任意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数02x =，
使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，80016
()43
g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是3
013
x ，所以要使800()()t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：
3
00161433
x x -
≥， 即2
00(2)(4)0x x -+≤，
①
又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =， 所以有且仅有一个正实数02x =，
使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立．
第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的
切线相同．
（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．
答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．
()2f x x a '=+∵，2
3()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．
即2
20002
00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，由200
32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-． 令22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是
当(13ln )0t t ->，即13
0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13
t e >时，()0h t '<．
故()h t 在1
30e ⎛⎫
⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12333
2
h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．
（Ⅱ）设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->， 则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x
-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，
于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥ 第15题. (2007安徽文)设函数2
32()cos 4sin cos 43422
x x
f x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()
g t ． （I ）求()g t 的表达式；
（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值． 答案：解：（I ）我们有
232()cos 4sin cos 43422
x x
f x x t t t t =--++-+
2
2
2
sin 12sin 434x t t t t =--++-+
2
2
3
sin 2sin 433x t x t t t =-++-+
23
(sin )433x t t t =-+-+．
由于2
(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即
3()433g t t t =-+．
（II ）我们有2
()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，
． 列表如下：
由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，单调减小，极小值为
122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． 第16题. 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．
（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1
x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+ 答案： （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，， 列表如下：
)故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值
(2)22ln 22F a =-+．
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
第17题. (2007天津理)已知函数22
21
()()1
ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 答案：（Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =
+，4
(2)5
f =， 又222222
2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6
(2)25
f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46
(2)525
y x -=--， 即62320x y +-=．
（Ⅱ）解：222222
2(1)2(21)2()(1)()(1)(1)
a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11
x a
=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变
)
所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，内为增函数．
函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
， 函数()f x 在21
x a
=
处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121
x a x a
==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化
⎫⎪⎭所以()f x 在区间()a -，∞，1a
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，
内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a =-
处取得极小值1f a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
． 第18题. (2007天津理)已知函数22
21
()()1
ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 答案：（Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =
+，4
(2)5
f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6
(2)25
f '=-．
所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46
(2)525
y x -=--， 即62320x y +-=．
（Ⅱ）解：2222
22
2(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11
x a
=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变
)
所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，内为增函数．
函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
， 函数()f x 在21
x a
=
处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121
x a x a
==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化
情况如下表：
⎫⎪⎭所以()f x 在区间()a -，∞，1a
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，
内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a =-
处取得极小值1f a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
． 第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2
(12)x -万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ． 答案： 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．
（Ⅱ）2
()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----
(12)(1823)x a x =-+-．
令0L '=得2
63
x a =+
或12x =（不合题意，舍去）
． 35a Q ≤≤，228
8633
a ∴+≤≤．
在2
63
x a =+两侧L '的值由正变负．
所以（1）当28693a +<≤即9
32
a <≤时，
2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．
（2）当2289633a +
≤≤即9
52
a ≤≤时， 2
3
max
2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦，
所以3
99(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭
⎩， ≤，， ≤≤ 答：若9
32
a <
≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）
；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值3
1()433Q a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（万元）．
第20题. (2007广东文)函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是
．
答案：1e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
第21题. (2007广东文)已知函数2
()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根
()αβ>，()f x '是()f x 的导数．设11a =，1()
(12)()
n n n n f a a a n f a +=-
='L ，，．
（1）求αβ，的值；
（2）已知对任意的正整数n 有n a α>，记ln (12)n n n a b n a β
α
-==-L ，，．求数列{}n b 的前n 项和n S ．
答案：解：(1) 由 2
10x x +-=
得x =
12α-+∴=
12
β-= (2) ()21f x x '=+ 22
111
2121
n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=
++
(
22112
2
11n n n n n n n n
n a a a a a a a a βαβα+++++++
-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪
-⎝⎭
∴ 12n n b b +=
又
1111ln
4ln
2a b a βα-===- ∴数列{}
n b 是一个首项为 4ln
公比为2的等比数列；
∴
)()1212421ln 122
n n n S -+=
=-- 第22题. (2007山东理)设函数2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当1
2
b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111
ln 1n n n
⎛⎫+>-
⎪⎝⎭都成立．
答案：解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211
b x x b f x x x x ++'=+
=++ 设2
()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1
(1)2
x =-
∈-+∞，， max 11()22g x g b ⎛⎫
∴=-=-+ ⎪⎝⎭
．
当12b >
时，max 1
()02
g x b =-+>， 即2
()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，
∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当1
2
b >
时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当1
2
b >时，函数()f x 无极值点．
②12
b =时，3
122()01x f x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭'=
=+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛
⎫∈-- ⎪⎝⎭Q ，时，()0f x '>，
12x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '>，
1
2
b ∴=
时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当1
2
b <
时，()0f x '=
有两个不同解，112x --=
，212x -=，
0b <Q
时，1112x -=
<-
，2102
x --=>，
即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．
0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点1x =
当1
02
b <<
时，11x =
>-， 12(1)x x ∴∈-+∞，，
此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
)
由此表可知：1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值1x =和一个极小值点
2x =
；
综上所述：
0b <时，()f x 有惟一最小值点x =
；
1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点x =和一个极小值点x =；
1
2
b ≥时，()f x 无极值点．
（Ⅲ）当1b =-时，函数2
()ln(1)f x x x =-+， 令函数2
2
2()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，
则22
2
13(1)()3211
x x h x x x x x +-'=-+=++．
∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，
又(0)0h =．
(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立．
故当(0)x ∈+∞，时，有2
3
ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111
ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．
第23题. (2007四川理)设函数1()1(1)x
f x x n x n ⎛⎫
=+∈>∈ ⎪⎝⎭N R ，且，
（Ⅰ）当6x =时，求11x
n ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x ，证明
(2)(2)
()2
f x f f x +'>（()f x '是()f x 的导函数）
； （Ⅲ）是否存在a ∈N ，使得111(1)k
n
k an a n k =⎛⎫
<+<+ ⎪⎝
⎭∑恒成立？若存在，试证明你的结
论并求出a 的值；若不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是3
35
6
3120
1C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（Ⅱ）证法一：因()()22
112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫
+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥11211n
n n ⎛⎫
⎛⎫=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭121n
n ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭
1121ln 12n
n ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'1121ln 12n
f x n n ⎛⎫⎛⎫
≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
证法二：
因()()22
112211n
f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭≥11211n
n n ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
而()'11221ln 1n
f x n n ⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故只需对11n ⎛⎫+
⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
进行比较。

令()()ln 1g x x x x =-≥，有()'
11
1x g x x x
-=-=
由
1
0x x
-=，得1x = 因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1 故当1x >时，()()11g x g >=，
从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+> 故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫+
>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
恒成立。

所以()()()'
222f x f f x +≥，原不等式成立。

（Ⅲ）对m N ∈，且1m >
有2
012111111m
k
m
k m m m m m m C C C C C m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L
()()()()2
111121111112!!!k
m
m m m m m k m m m k m m m ---+-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L L L
11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=+
-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭L L L L
1111
22!3!!!
k m <+
+++++
L L ()()
1111
2213211k k m m <+
+++++⨯⨯--L L 11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L
1
33m
=-
< 又因()102,3,4,,k
k m
C k m m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭L ，故1213m
m ⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
∵1213m
m ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，从而有11213k
n
k n n k =⎛⎫
<+< ⎪⎝
⎭∑成立，
即存在2a =，使得11213k
n
k n n k =⎛⎫
<+< ⎪⎝
⎭∑恒成立．
第24题. (2007重庆理)已知函数4
4
()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值
3c --，其中a b ，为常数．
（Ⅰ）试确定a b ，的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意0x >，不等式2
()2f x c -≥恒成立，求c 的取值范围． 答案：解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得
3431
()4ln 4f x ax x ax bx x
'=++g
3(4ln 4)x a x a b =++．
由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．
（II ）由（I ）知3
()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =．
当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．
因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．
（III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使
2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．
即2
230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥， 解得3
2
c ≥
或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2
⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
U ，
，．
导数的应用 第1题. 曲线12
e
x y =在点2
(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
29e 2
Ｂ．2
4e
Ｃ．2
2e
Ｄ．2
e
答案：Ｄ
第2题. 设函数2
()ln()f x x a x =++．
（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2
． 答案：解：
每个点落入M 中的概率均为14
p =． 依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． （Ⅰ）1
1000025004
EX =⨯
=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫
-<
⨯-< ⎪⎝
⎭
，
0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫
-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭
2574
1000010000
24260.250.75l
l l l C
-==
⨯⨯∑
25742425100001000010000
100000
0.250.75
0.250.75l
l l
l
l l l l C
C --===⨯⨯-⨯⨯∑∑
0.95700.04230.9147=-=．
第3题. （2007海南、宁夏文）曲线e x
y =在点2
(2e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面
积为（ ）
Ａ．2
9e 4
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
e 2
答案：Ｄ
第4题. （2007湖南理）函数3
()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ． 答案：16-
第5题. (2007江苏)已知函数3
()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为
M ，m ，则M m -=_____． 答案：32
第6题. (2007江西文)设3
2
:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3
q m ≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｃ
第7题. (2007江西文)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）
Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >> Ｃ．324h h h >>
Ｄ．241h h h >>
答案：Ａ 第8题. (2007全国II 文)已知函数3
21()(2)13
f x ax bx b x =
-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；
（2）求2z a b =+的取值范围．
答案：解：求函数()f x 的导数2
()22f x ax bx b '=-+-．
（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．
所以12()()()f x a x x x x '=--
当1x x <时()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．
（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即202204420b a b b a b b ->⎧⎪
-+-<⎨⎪-+->⎩
．
化简得20
3204520b a b a b ->⎧⎪
-+<⎨⎪-+>⎩
．
此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，．
所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，，，
，． z 在这三点的值依次为16
687
，，．
所以z 的取值范围为1687⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
第9题. (2007山东文)设函数2
()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．
证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．
答案：证明：因为2
()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．
()f x '222b ax b
ax x x
+=+=
． 当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；
如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减．
所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．
当0ab <时，
222()b b a x x a a f x x
⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭'=
令()0f x '=，
b
a 2 1 2 4
O
4677A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， (42)C ，
(22)B ，
将1(0)x =+∞，（舍去），2)x =+∞，， 当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：
⎫⎪⎪
⎭
从上表可看出，
函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
．
当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：
⎫⎪⎪
⎭
从上表可看出，
函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，
当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，
若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤
⎛⎫-
-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦．
若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤
⎛⎫-
-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
． 第10题. （2007山东文)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB
为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
答案：解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，
由已知得：31a c a c +=-=，，
2
2
2
213
a c
b a
c ==∴=-=，，
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +
=．
（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，．
联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
，
得 2
2
2
(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则
222222122
21226416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=-+->+->⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
，即，， 又222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．
因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，
1AD BD k k ∴=-，即
1212122
y y
x x =---g ．
1212122()40y y x x x x ∴+-++=．
222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k
--∴+++=+++．
2271640m mk k ∴++=．
解得：12227
k m k m =-=-
，，且均满足22
340k m +->．
当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾；
当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫
⎪⎝⎭
，
． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
．
第11题. 已知32()f x ax bx cx =++在区间[01]，上是增函数，在区间(0)(1)-+，，，∞∞上是减
函数，又13
22
f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）2
()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，
即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032
c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，． 2()33f x ax ax '∴=-，133324
22a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．
（Ⅱ）令()f x x ≤，即3
2
230x x x -+-≤，
(21)(1)0x x x ∴--≥，1
02
x ∴≤≤或1x ≥．
又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，102
m ∴<≤．
第12题. (2007广东文)若函数3
()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ ） A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数
D ．单调递增的奇函数
答案：B
第13题. (2007湖北文)已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是
1
22
y x =
+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿． 答案：3 第14题. (2007四川文)设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-． （Ⅰ）求a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值． 答案：Ⅰ）∵()f x 为奇函数，
∴()()f x f x -=-
即33
ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =
∵2
'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-
又直线670x y --=的斜率为16
因此，'(1)36f a b =+=- ∴2a =，12b =-，0c =． （Ⅱ）3
()212f x x x =-．
2
'()6126(f x x x x =-=，列表如下：
所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞
∵(1)10f -=，f =-(3)18f =
∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-
第15题. (2007天津文)设函数2
()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式2
2
(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意
的x ∈R 恒成立．
答案：（Ⅰ）解：当1a =时，2
3
2
()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且
2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．
所以，曲线2
(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得
580x y +-=．
（Ⅱ）解：2
3
2
2
()()2f x x x a x ax a x =--=-+-
22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．
令()0f x '=，解得3
a
x =
或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
)
因此，函数()f x 在3
a
x =
处取得极小值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且 34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；
函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且
()0f a =．
（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且
()0f a =；
函数()f x 在3a x =处取得极大值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
． （Ⅲ）证明：由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时， cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．
由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22
(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22
cos cos ()k x k x x --∈R ≤
即 22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①
设2
211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2． 要使①式恒成立，必须2
2k k -≥，即2k ≥或1k -≤．
所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．
第16题. (2007重庆文)用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 答案：解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，
高为181234.53(m)042x h x x -⎛⎫==-<< ⎪⎝
⎭． 故长方体的体积为22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ⎛⎫=-=-<<
⎪⎝⎭． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-．
令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．
当01x <<时，()0V x '>；当312
x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．
从而最大体积233(1)91613(m )V V ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ．。