黑龙江省哈尔滨市第七十三中学高三数学文期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第七十三中学高三数学文期末试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题是假命题的是（）
A. 某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人；
B. 用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量
的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大；
C. 已知向量，，则是的必要条件；
D. 若，则点轨迹为抛物线.
参考答案：
D
【分析】
根据分层抽样的概念易得，解出方程即可判断为真；用独立性检验（列联表法）的判定方法即可得出B为真；根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积
的应用，进行判断即可得到C为真；可将原式化为，表示动点到定点和到动直线距离相等的点的轨迹，但是定点在定直线上，故可判断D.
【详解】设一般职员应抽出人，根据分层抽样的概念易得，解得，即一般职员应抽出18人，故A为真；
用独立性检验（列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量
的值越大，说明“与有关系”成立的可能性越大，可知B为真；
若，则，即不成立，若，则，即成立，故是的必要条件，即C为真；
方程即：，
化简得，
即表示动点到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合，
且在直线上，故其不满足抛物线的定义，即D为假，故选D.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的概念，独立性检验在实际中的应用，充分条件、必要条件的判定，抛物线的定义等，属于中档题.
2. 已知偶函数在R上的任一取值都有导数，则且则曲线在处的切线的斜率为（▲）
A. -1
B.-2
C.1
D. 2
参考答案：
A
略
3. 已知，存在，使得
则等于
A．46 B．76 C．106
D．110
参考答案：
D
略
4. 已知实数满足不等式组则目标函数的最小值与最大值的积为
A．B．
C．D．
参考答案：
A
5. 已知x,y满足条件（k为常数），若目标函数的最大值为8，则
k= ( )
A. B. C. D.6
参考答案：
B
略
6. 如图，直三棱柱ABC- A1B1C1中，，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为. 【详解】连接交于点，取中点，连接
设
三棱柱为直三棱柱四边形为矩形
为中点且
又，
异面直线和所成角的余弦值为
故选：
【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.
7. 已知圆的圆心为坐标原点，半径为，直线为常数，与圆
相交于两点，记△的面积为，则函数的奇偶性为
A．偶函
数 B．奇函
数
C．既不是偶函数，也不是奇函数 D．奇偶性与的取值有关
参考答案：
A
8. 已知定义域为的函数满足，当时，
单调递增，若且，则的
值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．可能等于
0 D．可正可负
参考答案：
B
略
9. 设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则?U（A∩B）=（）
A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2}
参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．
【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，
A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，
则A∩B={﹣2，0}，
∴?U（A∩B）={﹣1，1，2}．
故选：C．
10. “”是“”的( )条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数y=f(x)的图象与函数g(x)=()x-1的图象关于原点对称，则f(2)=______. 参考答案：
12. 若x，y满足约束条件，则的取值范围是．
参考答案：
[﹣，+∞）
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率的几何意义利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，
由图象知CD的斜率最小，
由得，即C（2，﹣1），
则CD的斜率z==﹣，
即的取值范围是[﹣，+∞），
故答案为：[﹣，+∞）
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
13. 已知，且，则的最大值为 .
参考答案：
14. 设集合，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合M∩N＝________．
参考答案：
(1,2)
15. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．
参考答案：
分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.
详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为
16. 若直线的极坐标方程为，曲线：上的点到直线的距离为
，则的最大值为
参考答案：
略
17. 计算：_____________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（为自然对数的底数）.
（1）若，，求函数的单调区间；
（2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）
【试题分析】（1）先求出函数解析式导数，再借助导数与函数的单调性的关系求解；（2）依据题设先将问题进行等价转化，再构造函数运用导数与函数的单调性的关系研究函数的图像的形状分析求解：
（1）若，，则，
由，得或，
①若，即时，，此时函数单调递减，单调递减区间为；
②若，即时，由，得；由得，或
，
所以单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若，∴，则，
若方程在内有解，即在内有解，
即在有解.
在上存在最小值.
若有两个零点，则有，.
所以，，1111]
设，则，令，得，
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减，
则，所以恒成立.
由，，所以，当时，设的两个零点为，
则在上递增，在上递减，在上递增，
则，，则在内有零点，
综上，实数的取值范围是.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，创设了两道与函数的单调性、最值有关的综合性问题。

求解第一问时，依据题设条件，先求函数的导数，再借助分类整合思想分类求出单调区间；解答第二问时，先将问题转化“在有解.然后构造函数，则在内有零点”，从而将问题进行了等价转化，最后运用导数知识进行分析求解，使得问题巧妙获解。

19. （本小题满分12分）已知是△ABC三边长且，△ABC的面积
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求的值.
参考答案：
20. （本小题满分13分）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）。

假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到。

记该系收到李老师或张老师所
发活动通知信息的学生人数为
（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（Ⅱ）求使取得最大值的整数。

参考答案：
21. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题7分，第2小题7分。

设函数，如果对任意，且，都有
，
则称函数在上是凸函数。

已知函数。

（1）若函数在是凸函数，求实数的取值范围；
（2）如果时，都有，求实数的取值范围。

参考答案：
（1）对任意，且，∵在是凸函数，
∴恒成立，
∴。

（2）由，由，得恒成立，
而时，，，故。

22. （本小题满分15分）如图，过点作抛物线
的切线，切点A在第二象限．
(Ⅰ)求切点A的纵坐标；
(Ⅱ)若离心率为的椭圆恰好经
过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线，OA，OB的斜率分别为
，求椭圆方程．
参考答案：
解：（Ⅰ）设切点，且，
由切线的斜率为，
得的方程为，又点
在上，，
即点的纵坐标．……………………… 5分
（Ⅱ）由(Ⅰ) 得，切线斜率，
设，切线方程为，由，得， (7)
分
所以椭圆方程为，且过， (9)
分
由，
，
………………… 11分
∴
将，代入得：，所以，
∴椭圆方程为
．……………… 15分。