宜宾市新高2011级第三学期质量检测题(理科)

宜宾市新高2011级第三学期质量检测题
数 学（文/理科）
一、选择题：
（1）某校高一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为
（A ）160 （B ）150 （C ）140 （D ）120
（2）下列双曲线中与椭圆2
214
x y +=有相同焦点的是
（A ）2214x y -= （B ）2212x y -= （C ）22
14y x -= （D ）2212
y x -= （3）在棱锥BCD A - 中，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则-+等于
（A ）32DB
（B ）3MG
（C ）2MG
（D ）GM
（4）已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm )，可得这个几何体的体积是 （A ）π cm 3 （B ）3
4π
cm 3 （C ）
3
5πcm 3
（D ）2π cm 3 （5
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
（A ）61 （B ）62
（C ）63 （D ）64 （6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 （7）设l 是直线，α、β是两个不同的平面，则有
（A ）若l ∥α，l ∥β，则α∥β
（B ）若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β （C ）若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β （D ）若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β
（8）已知抛物线方程为x y 42
=，过点()0,1E ）的直线与抛物线交于B A ,两点，以AB 为直径的圆M
与直线1-=x 是 （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定
（9）设E 、F 为椭圆的两焦点 ，过E 垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于M 、N 两点．若
⊿MNF 为直角三角形，则椭圆的离心率为
（A ）12- （B ）
122- （C ）221- （D ）2
12- （10）一个表面为红色的棱长为3cm 的正方体，将其分割成棱长为1cm 的小正方体且恰好分割的小正
方体达到最多，在所得的所有小正方体中，随机取出一个两面为红色的小正方体的概率是 （A ）
274 （B ）276 （C ）94 （D ）3
1 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
（11）双曲线C ：22
122
x y -=的渐近线方程为 . （12）设正四棱锥的所有棱长均为a ，则此棱锥的体积是 .
（13）直线 042=--y x 与曲线14
2
2
=-y x 的交点坐标为 . （14）在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB BB 21=，则1AB 与B C 1所成角的大小为
（15）在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F ，G ，H ，M 分别是棱1,DD AD ,A A A D 111,,AB 的中点，
点N 在四边形EFGH 的四边及其内部运动，若使11C A MN ⊥成立，则点N 的轨迹是 ． 三、解答题：
16、设口袋中有大小、形状相同的红、黑球各两个，现依次不放回地随机取3次，每次取一个球.
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果，请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.
俯视图
（4）题图
（17）已知点P 是二面角βα--AB 两个半平面外一点，且满足α⊥PC ，D C PD ,,β⊥是垂足.（Ⅰ）试判断直线AB 线与直线CD 的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）若二面角βα--AB 的大小为θ（πθ<<0）， 求CPD ∠的大小.
（18）某市从参加环保知识竞赛的公职人员中随机抽取60名公职人员，将其竞赛的成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求分数在[)90,70内的频率； （Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该市公职人员竞赛成绩的平均分；
（Ⅲ）全市有1860名公职人员参加了环保知识竞赛，若分数在80分以上（含80分）为设为优秀，试估计该市公职人员竞赛成绩优秀的人数.
（19）已知抛物线x y C 4:2
=，直线l 过点()2,0A .
（I ）若C 与l 有一个公共点,试求l 的方程；
（II ）若l 与C 交与不同的两点21,P P ,试求线段21P P 中点的轨迹方程．
（20）（13分）如图，在直三棱柱111C B A A B C -中，
12A B B C A A ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ；
（Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；
（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒
角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
（21）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
（14分）
（Ⅰ）若原点到直线0x y b +-=
（Ⅱ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点，对于椭圆上任一点M ，
若OM OA OB λμ=+
，求实数,λμ满足的关系式．
（18）题图
（21）题图
宜宾市新高2011级第三学期质量检测题
数学（理科）试题参考答案及评分意见
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题5分，共25分） （11）y=x ± （12) 362a ； （13）⎪⎭
⎫
⎝⎛-23,45； （14）60° (15)线段EG . 三、解答题（共74）
（17）解：(Ⅰ) 一共有24种不同的结果. 列举如下： （红1红2黑1），（红1黑1红2），（黑1红1红2），（红1黑1黑2），（黑1红1黑2），（黑1黑2
红2）…共24种 ………（6分）
给分：写对两个给1分，
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5 ”为事件A. 事件A 包含的基本事件为：（红1红2黑1）（红1黑1红2）（黑1红1红2）共12种 由（1）可知，基本事件总数为12
∴事件A 的概率2
1
2412)(==
A P . …………（12分） （18）解：（Ⅰ）结论：直线A
B 线与CD 的位置关系是垂直。

…………（1分）
证明：如图， ,α⊥PC 且α⊂AB PC
AB ⊥∴,
同
理
，
PD AB ⊥ …………（3分）
又P PD PC =
⊥∴AB 平面PCD 且⊂CD 平面PCD
CD AB ⊥∴ …………（6分）
（Ⅱ）解：设平面PCD 与平面α相交于CN ，与平面β相交于DN ，则有AB CN ⊥，AB DN ⊥，
∴CND ∠是二面角βα--AB 的平面角， ……（8分） 当点P 在二面角内时：
∴CND ∠θ=，在四边形PCND 中，∴CPD ∠θπ-= …………（10分） 当点P 在半平面α与半平面β的延展面之间时，
∴CND ∠θπ-=，在四边形PCND 中，∴CPD ∠θ= …………（12分） （19）解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：
1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………（3分）
分数在[)90,70内的频率为：55.010025.03.0=⨯+ ………（4分）
（Ⅱ）平均分为：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……（7分） （Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人；
[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人； ……………（9分）
分数在80分以上（含80分）的人数为：18人，
有：
60
18
1860=
x ， 558=x 答：该市公职人员竞赛成绩优秀的人数是558人．. ……………（12分）
（20） 解：（Ⅰ）分三种情况：
⑴y 轴与抛物线只有一个公共点，
则直线方程是0=x ……………（1分） ⑵过点A 与x 轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，
则直线方程是2=y ……………（2分）
⑶当过点A 的直线与抛物线相切时，它们只有一个公共点. 设l 的方程为：2+=kx y
P
α
C
B
N
由⎩⎨
⎧=+=x
y kx y 42
2
得 ()04142
2
=+--x k x k ………① ……………（4分）
由()0441162
2
=⨯--=∆k k 得2
1
=
k 此时有 042=+-y x 。

……………（5分） 所以，满足条件的直线方程是 042;2;0=+-==y x y x 。

……………（6分）
（Ⅱ）设 ()111,y x P ，()222,y x P ，中点()00,y x M
由①有()0441162
2
>⨯--=∆k k .
得2
1
<
k 但0≠k ……………（8分） 又由①得(),14221k k x x -=+ ()2
012k k x -= ………② 得k
kx y 2
200=+= …………③ ………（9分）
()()+∞∞-∈,40,0 y ……………（10分）
由②与③消去k 得
()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=-21212x y
()()+∞∞-∈,40, y 即为求轨迹方程． ………（12分）
（21）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .
由 111C B A ABC -是直三棱柱，
得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ， ………………（2分） 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ……………（4分）
（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒
∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.
如图建立空间直角坐标系xyz B -.
设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .
所以 (1,2,0)AD =-
，1(2,2,1)AC =-
设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,
0.
n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
所以 20,
220.
x y x y z -=⎧⎨
-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………（6分）
易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2
cos ,3
⋅〈〉==n v n v n v . 所以二面角1C AD C --的余弦值为2
3
. ………………（8分） （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .
因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.
所以 (0,2,1)AE λ=-
，1(1,0,1)DC = .
因为AE 与1DC 成60︒
角，所以11
12AE DC AE DC ⋅=
. ………………（9分）
1
2
=
，解得1λ=，舍去3λ=. ………………（11分） 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒
角. ………………（12分） （22）解：
（Ⅰ）∵d =
=2b =． …………（1分）
∵c e a ==222
3
c a =．
∵222a b c -=，∴222
43
a a -=，解得2212,4a
b ==． …………（3分）
椭圆的方程为22
1124
x y +=． …………（4分）
（Ⅱ）∵c a ，∴222222
3,23
a b c a b ===，椭圆的方程可化为
22233x y b += …………① …………（6分）
易知右焦点,0)F ，据题意有AB ：y x = ………② …………（7分）
由①，②有：22430x b -+= …………③ …………（8分） 设1122(,),(,)A x y B x y ，
显然OA 与OB
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
OM
，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+ 成立． 设(,)M x y ，
∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+ 又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=
即：2
2
22
22
21212
12
12
3)3()3(2)3(b y x y y x x y x =+++++μλμλ …④……（9分）
由③有：2
121234
b x x x x +==
…………（10分） 则)2)(2(3321212121b x b x x x y y x x --+=+
221216)(234b x x b x x ++-=
0693222=+-=b b b ……………⑤ …………（12分）
又,A B 在椭圆上，故有22222
2112233,33x y b x y b +=+= …………⑥
将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=． …………（14分）。