北师大版高中数学必修5第三章《一元二次不等式的解法》优质课教学设计

当 x 1或x 2 时，函数图象位于 x 轴上方，此时， y 0 ,即 x2 x 2 0 ；
当 1 x 2 时，函数图象位于 x 轴下方，此时， y 0 ,即 x2 x 2 0 ；
所以，不等式 x2 x 2 0 的解集是x 1 x 2 .
（4）探究一元二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0 的解法.
（ a 0 ）的图象
一元二次方程 ax2 bx c 0
a 0的根
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
4.数学运用，深化认知.
有两相异实根 x1, x2 (x1 x2 )
有两相等实根
x1
x2
b 2a
x x x1或x x2
x
x
a
0
开口向下.
x b . 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
.
2.创设情境，提出问题.
1
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 首先认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树 时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为 40 平方米的空地，而要 绿化的空地是一个长比宽多 6 米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有 剩余？ 分析：设绿化带长为 x m.
《一元二次不等式及其解法》 教学设计
课题: §2.1 一元二次不等式的解法
【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图
象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养 抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数 图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
会发现一元二次不等式的左边与二次函数和一元二次方程很相似，提出疑问难道这 三者之间有什么关系？
（3）探究一元二次不等式 x2 x 2 0 的解.
容易知道：一元二次方程 x2 x 2 0 的有两个实数根： x1 1或x2 2 .
二次函数 y x2 x 2 与 x 轴有两个交点： 1, 0和2, 0 .
（1）一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的解法：
*公式法： x b b2 4ac . 2a
*因式分解法： x x1 x x2 0 . （2）二次函数 y ax2 bx c a 0 .
*图象：一条抛物线.
*开口方向： *对称轴： *顶点坐标：
a 0 开口向上,
b
2a
x x1 x x2
无根 R
3
例 1.求不等式 2x2 3x 2 0 的解集.
解：因为 32 4 2 2 0.
所以方程 2x2 3x 2 0 的解是
x1
1 2
,
x2
2.
所以，原不等式的解集是 x
x
1 2
或x
2.
（注：先求方程的根，然后画出对应的二次函数的图象，根据图象写解集）
设相应的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0的两根为 x1、x2 且 x1 x2 ，
b2 4ac ，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生合作讨论完成表格)。
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c y ax2 bx c y ax2 bx c
y ax2 bx c
则依题意有 x x 6 40 .
整理得 x2 6x 40 0 .
这个不等式怎么解呢？ 3.合作交流，探究新知 （1）一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.
（2）一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0 .
思考 1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关
y
系？
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数图象与 x
轴交点的横坐标.
思考 2：观察图象，当 x 为何值时， y 0 ； 当 x 为何值时， y 0 ；
-1 o 2 x
当 x 为何值时， y 0 . 观察函数图象，可知：
2
当 x 1或x 2 时，函数图象位于 x 轴上，此时 y 0 ，即 x2 x 2 0 ；
变式为：求不等式 2x2 3x 2 0 的解集.
不等式的解集是x
1 2
x
2.
例 2．解不等式 x2 2x 3 0 .
解：整理，得 x2 2x 3 0 .
因为 0 , 方程 x2 2x 3 0 无实数解，
所以不等式 x 2 2x 3 0 的解集是 .
从而，原不等式的解集是 . 解决问题：什么情况下准备的树苗会有剩余？
x2 6x 40 0
解：因为 62 41 40 0.
所以方程 x2 6x 40 0 的解是
x1 4, x2 10.
所以，不等式 x2 6x 40 0 的解集是x 4 x 10.
由于 x 是矩形空地的长，所以当 0 x 10 时，准备的树苗有剩余. 5.练习检测，巩固收获. （1）求下列一元二次不等式的解集：
4
x2 5x 14.
x2 4x 6.
（2）函数 y x2 x 2 的定义域是
A．x x 2或x 1. C．x 2 x 1.
( )
B．x 2 x 1.
D． .
6.归纳小结，强化思想. （1）解一元二次不等式的步骤：
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同 时体会事物之间普遍联系的辩证思想. 【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和一元二次不等式的解法. 【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 【教学过程】 1.联系旧知，构建新知. 复习：一元二次方程和二次函数.
组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式 的解集，关键要考虑：
抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 ax2 bx c
=0 的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式 b2 4ac 三种取值情况( 0 ，
0 ， 0 ）来确定.