高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质训练案北师大版必修2(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2 垂直关系的性质训练案北师大版必修2
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1。

6。

2 垂直关系的性质
[A.基础达标］
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面（)
A．若l∥α，l∥β,则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α,则l⊥β
解析:选B.若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β,则m⊥β，又mα，故α⊥β,故B对；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ，故C错;若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，故D错．2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是（)
A．相交B．平行
C．异面D．不确定
解析：选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD,所以l垂直于梯形ABCD。

又因为直线m垂直于AD和BC,且AD∥BC。

所以m与平面ABCD的位置关系不确定,因此l与m的位置关系就不确定，故选D。

3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l,直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α,m ∥β，则下列四种位置关系中,不一定成立的是（）
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析：选D.如图所示．AB∥l∥m;AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D.
4．三棱锥P.ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB,BC，CA的中点,则下面四个结论中不成立的是（)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：选C.由BC∥DF得BC∥平面PDF,故A正确;由BC⊥AE，BC⊥PE得BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC，故B、D都正确．排除A,B，D，故选C.
5．以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为（）
A．30°B．60°
C．90°D．不确定
解析:选B.如图，令CD＝AD＝BD＝1，则AC＝BC＝错误!.
因为平面ACD⊥平面BCD，AD⊥CD，且平面ACD∩平面BCD＝CD，
所以AD⊥BD,所以AB＝错误!，所以∠ACB＝60°。

6．如图,空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°,且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是________．
解析：过A作AO⊥BD于O点，
因为平面ABD⊥平面BCD，
所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
因为∠BAD＝90°，AB＝AD,
所以∠ADO＝45°。

答案:45°
7。

如图，已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，若AF＝2,CD＝3，则CE＝________．
解析：因为AF⊥平面ABCD，AF∥DE，
所以DE⊥平面ABCD，CD平面ABCD。

所以DE⊥CD。

因为DE＝AF＝2，CD＝3，
所以CE＝错误!＝错误!。

答案：错误!
8．α,β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n;②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．
解析:利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真，所以应填“若①③④,则②”,或“若②③④,则①”．
答案：若①③④，则②（或若②③④,则①）
9.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°,E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD。

证明:（1）如图,在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点,所以EF∥PD.
又因为EF平面PCD，PD平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
（2）连接BD。

因为AB＝AD，∠BAD＝60°,所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
10.如图，在直四棱柱A1B1C1D1。

ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时,有A1C⊥B1D1？（注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
解：连接BD，AC,因为BD∥B1D1,所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD.
因为A1A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1A⊥BD,又因为A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC平面A1AC，所以AC⊥BD。

由以上分析知，要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD，或任何能推导出AC⊥BD的条件,如四边形ABCD是正方形、菱形等．
[B.能力提升]
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ,α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：选D.两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确;两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．2．下列命题：
①错误!⇒a⊥b；②错误!⇒b⊥α；
③错误!⇒a⊥b；④错误!⇒a⊥α；
⑤错误!⇒b⊥α；⑥错误!⇒b∥α。

其中正确命题的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A.因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直,所以①正确；两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也垂直于这个平面,所以②正确；又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a⊥b成立，所以③正确；由线面垂直的判定定理知④错;a∥α,a⊥b时，b与α可以平行、相交（垂直），也可以bα，所以⑤错；当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或bα，所以⑥错．
3．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________(填“直线”、“圆"或“其他曲线”)．
解析：过点A与AB垂直的所有直线都在同一个平面β内，因为AB是α的斜线,所以β与α不平行．从而β与α的所有公共点都在同一条直线上，即β与α的交线上．从而β内所有过点A与α相交的直线，其交点都在此交线上．
答案：直线
4．已知平面α⊥平面β,在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC＝3 cm,BD＝12 cm，则CD的长为________cm。

解析：如图，连接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12,
所以AD＝错误!＝4错误!(cm）．
又因为α⊥β，CA⊥AB,CAα，
所以CA⊥β，CA⊥AD。

所以△CAD为直角三角形．
所以CD＝错误!＝错误!＝错误!＝13(cm)．
答案：13
5．如图，在四棱锥S。

ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.求证：
(1）DE⊥平面SBC；
（2)SE＝2EB。

证明:(1)因为SD⊥平面ABCD，
所以BC⊥SD。

又因为BC⊥BD，BD∩SD＝D,
所以BC⊥平面BDS。

所以BC⊥DE。

作BK⊥EC，K为垂足，
因为平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE。

又因为BK平面SBC，BC平面SBC，
BK∩BC＝B，所以DE⊥平面SBC.
(2)由（1)知DE⊥SB，DB＝错误!AD＝错误!，
所以SB＝错误!＝错误!，DE＝错误!＝错误!，EB＝错误!＝错误!，SE＝SB－EB＝错误!,所以SE ＝2EB.
6．(选做题）如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
（1）求证：B1D1∥平面A1BD；
(2）求证:MD⊥AC;
（3）试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解：（1）证明：由ABCD.A1B1C1D1是直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D 是平行四边形．
所以B1D1∥BD。

而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.
(2）证明：因为BM⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BM⊥AC.
又因为BD⊥AC,且BD∩BM＝B，所以AC⊥平面BMD.
而MD平面BMD，所以MD⊥AC。

（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D。

取DC的中点N,D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O,连接OM，BN，
因为N是DC的中点,BD＝BC，所以BN⊥DC.
又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
所以BN⊥平面DCC1D1.
又O是NN1的中点，所以BM∥ON，且BM＝ON，
即BMON是平行四边形,
所以BN∥OM.所以OM⊥平面CC1D1D。

因为OM平面DMC1,
所以平面DMC1⊥平面CC1D1D。