高中数学课时分层作业10正弦余弦函数的单调性与最值含解析新人教A版必修4

课时分层作业(十)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2
D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2
A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函
数．]
2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°
C [由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.]
3．函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π
6
，－π6
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，0
D [令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5
6π，k ∈Z ，
又－π≤x ≤0，∴－π
6
≤x ≤0，故选D.]
4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )
A ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－
32，12 B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，32
C ．⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
32，1 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1
B [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1
2，32.]
5．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )
A ．65
B ．1
C ．35
D ．1
5
A [f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x
＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＋x
＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤6
5，
故函数f (x )的最大值为6
5.]
二、填空题
6．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大顺序排列为________．
cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 3 [∵0≤x ≤π， ∴
π6≤3x ＋π6≤19π
6
. 由题可知3x ＋π6＝π2，或3x ＋π6＝3π2，或3x ＋π6＝5π2，解得x ＝π9，或4π9，或7π9，
故有3个零点．]
8．(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4对任意的实数
x 都成立，则ω的最小值为________．
23 [因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4取最大值，所以π4ω－π6＝
2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，因为ω＞0，所以当k ＝0时，ω取最小值为23
.]
三、解答题
9．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2； (2)y ＝－2cos 2
x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π6
，5π6.
[解] (1)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，
2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，5π6，由函数图象(略)知，
f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，sin π2
＝⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，1. 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.
(2)y ＝－2(1－sin 2
x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2
x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫sin x ＋122
＋12. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5； 当sin x ＝12时，y min ＝5
2
.
[能力提升练]
1．同时具有性质：
①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．
这样的一个函数可以为( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6
B ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π6 C [在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，由①T ＝π可知ω＝2，排除A 、D ，又由②关于x ＝
π
3
对称，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，B ，C 均符合，由③在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上是增函
数，在B 中，0≤2x ＋π3≤π，y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上单减，在C 中，－π2≤2x －π6≤π2，
y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－π
2，π2
上单增，故C 项正确．]
2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A ．23
B ．3
2
C ．2
D ．3 B [由于函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，∴ω·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－π3≤－π2或ω·π4≥3π
2
，
求得ω≥32或ω≥6，∴ω≥32，故ωmin ＝32
.]
3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．
4π3 [因为函数y ＝sin x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和1
2
. 不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知sin π6＝sin 5π6＝sin 13π6＝12，sin 3π2＝－1，
结合图象(略)可知(b －a )min ＝3π2－5π6＝2π3，(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π
3
.]
4．若函数f (x )＝sin ωx (0＜ω＜2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调
递减，则ω等于________．
32 [根据题意知f (x )在x ＝π
3处取得最大值1， ∴sin ωπ3＝1，
∴
ωπ3＝2k π＋π
2
，k ∈Z ， 即ω＝6k ＋3
2，k ∈Z .
又0＜ω＜2，∴ω＝3
2
.]
5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间． [解] 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立知，
2·π6＋φ＝2k π±π
2
(k ∈Z )．
∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π
6(k ∈Z )．
∵|φ|＜π，得φ＝π6或φ＝－5π
6，
又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，∴φ＝－5π6，
由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋π6，k π＋
2π3(k ∈Z )．。