【华东师大版】高中数学必修五期末试卷(含答案)

一、选择题
1．若x ，y 满足约束条件32100260220x y x y x y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则6z x y =+的最大值为（ ）
A ．30
B ．14
C ．25
D ．36
2．不等式
1
12
x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-
B ．{}|21x x -<<
C ．{}|1x x <
D ．{}|x x ∈R
3．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大
值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．
254
B ．
499
C ．
144
25
D ．
225
49
4．设,x y 满足约束条件0
{4312
x y x
x y ≥≥+≤，且23
1
x y z x ++=
+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5
B ．2,6
C ．[]
2,10
D ．[]
3,11
5．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ） A ．50米
B ．57米
C ．64米
D ．70米
6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c
=
，2
1
sin sin (2cos )sin 22
A B C A -=+，则A =（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC
a ，则
c b
b c
+的最大值是（ ） A ．8
B ．6
C
．D ．4
8．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若
301C c a =︒==，，ABC ∆的面积为
A
B
C ．
34
D ．
32
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12345
11111
10a a a a a +
+++=，则31a =，5S =（ ）
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
10．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92
B ．103
C ．2048
D ．1024
11．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1
224,[0,1)
()3,[1,2]
x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在
[2n -2,2n )上的最大值为*
()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n
均成立，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．27,8⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ B ．27,8⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．27,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．27,4⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
12．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116
a b
+取最小值时，n 的值是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题
13．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2
322
+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值
范围_______．
14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则z x y =+的最大值为______.
15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a =，2c b =，则
ABC 面积的最大值是______．
16．已知ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =△△，1AD =，
1
2
DC =
，则AC =_________． 17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
．已知sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______．
18．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2
b a
﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．
19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________.
20．已知数列{}n a ，11a =，12n n a a n +=+，则4a ＝_____．
三、解答题
21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数
(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面
问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定
问题：二次函数2
()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条
件的序号).
（1）求()f x 的解析式；
（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()(21)3
23
2x
x
g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．已知函数()()2
0,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈.
(1)若函数()f x 的最小值是()10f -=，且1c =，()()(),0
,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩
，求
()()22F F +-的值；
(2)若1,0a c ==，且()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立，试求b 的取值范围.
23．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)
cos cos A c a C =.
（1）求
c
b
；
（2）若cos 2c A b =
，且ABC 的面积为4
，求a . 24．如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、
QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点
A 、
B 到直线l 的距离分别为A
C 和B
D （C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，
12BD =（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，121n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n b na =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得2021n T =?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.
26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)*
224n n S a a n N =-∈，且1
a ，2a ，3
1a
-成等差
数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()222221log log +=
n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23
n m
T >恒成
立，求m 的取值范围.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数确定出最优解，代入即可求解. 【详解】
画出约束条件32100260220x y x y x y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
所标示平面区域，
把目标函数6z x y =+，化为直线166z y x =-
+，当直线166
z
y x =-+平移到点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由32100220x y x y --=⎧⎨-+=⎩
，解得()6,4A ，
所以目标函数的最大值为666430z x y =+=+⨯=. 故选：A.
【点睛】
根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：
（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b =-
+ ，通过求直线的截距z
b
的最值间接求出z 的最值； （2）距离型：形如()()2
2
z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解； （3）斜率型：形如y b
z x a
-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.
2．A
解析：A 【解析】
分析：首先对原式进行移项、通分得到3
02
x -
>+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.
详解：将原不等式化为
1202x x x --->+，即3
02
x ->+， 即
3
02
x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式
1
02
x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解
法，属于简单题目.
3．C
解析：C 【分析】
根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨
--=⎩解得4
3
x y =⎧⎨
=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点
()4,3取得最大值4312a b +=.
22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，
原点到直线43120x y +-=的距离为
22
1212
5
34-=
+， 所以22a b +的最小值为2
12144525⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
4．D
解析：D 【分析】
试题分析：作出不等式组0
{4312
x y x
x y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数
()
()121231
12111
x y x y y z x x x ++++++=
==+⨯
+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()
max 41501k --=
=--，所以z 的取值范围是
[]3,11，故选D.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数23
1
x y z x ++=
+变形可知其表示可行
域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.
5．D
解析：D 【分析】
画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】
由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示，
在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：
22221
2cos 60803028030702
AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯
=米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．C
解析：C 【分析】
先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】
∵cos 2a B c =，∴22222a c b a
ac c
+-=
，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵2
12cos sin sin (2cos )sin 222
A A
B C A --=+=，易知2cos 0A -≠， ∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴2
sin sin 2
B C ==，即4B C π==，
∴2
A π
=
.
故选：C ． 【点睛】
本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
首先利用面积公式可得：223sin a bc A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两
者结合可得2
2
23sin 2cos b c bc A bc A +=+，而22
c b b c b c bc
++=，即可得
c b
b c +232cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】
由已知可得：
113sin 226
bc A a a =⨯， 所以223sin a bc A =，
因为222
cos 2b c a A bc
+-=
，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+
所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛
⎫+=
=+=+≤ ⎪⎝
⎭， 所以
c b
b c +的最大值是4 故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.
8．A
解析：A 【分析】
根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】
在ABC ∆
中，301C c a =︒==，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.
∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）. ∴ABC ∆
的面积为111sin 1222ab C =⨯=
. 故选A . 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9．A
解析：A 【分析】
对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三
项通分化简可得5
2123453
1111110S a a a a a a +
+++==，结合3a 的值进而可得结果. 【详解】
15123455
2422123451524333
11111110a a a a a a a S a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=++===， 则510S =， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】
123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.
故选：C . 【点睛】
本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.
11．B
解析：B 【分析】
运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为1
3
的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】
解：当[0,2]x ∈时，且1
224,[0,1)
()3,[1,2]
x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨
⎪-+∈⎩， 可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，
12x <≤时，()f x 的最大值为39
()24
f =，
即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为9
4
， 当24x ≤<时，1()(2)3
f x f x =-的最大值为912，
当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为9
36
， ……
可得数列{}n a 为首项为
94，公比为1
3
的等比数列， 所以91
(1)2712743(1)183813
n n n
S -==-<-，
由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278
k ≥， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， 故选：B 【点睛】
此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题
12．B
解析：B 【分析】
设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】
设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,
所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即
116255204a b +=,当且仅当16b a
a b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,
所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】
本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.
二、填空题
13．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题
解析：3,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】
利用“1”的替换求出2x y +的最小值92
，再解不等式2
3922m m -≤即可.
【详解】 因为12112219
2()(2)(5)(54)2222
y x x y x y x y x y +=
++=++≥+=，当且仅当
22y x x y
=， 即32x y ==
时等号成立，所以2
3922m m -≤，解得332m -≤≤.
故答案为：3
,32⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.
14．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的
解析：1 【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，
当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1. 故答案为：1.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.
15．【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思 解析：12
【分析】
先根据余弦定理求出cos A ，结合平方关系求得sin A ，利用三角形的面积公式及二次函
数可求ABC 面积的最大值. 【详解】
∵6a =，2c b =，
∴2
2
2
2
644cos b b b A =+-，可得22
536
cos 4b A b
-=，
∴
sin A ==
，由()
2
22304360
0b --≥，可得
2436b ≤≤，即26b ≤≤，
则ABC
的面积
221
sin sin 122
S bc A b A b ====
≤，
当且仅当23
60b =时，即b =
故答案为：12． 【点睛】
本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.
16．【分析】由面积比得得由角平分线定理得在和中应用余弦定理结合可求得【详解】由已知则又平分所以设则中同理中因为所以解得（负的舍去）故答案
为：【点睛】本题考查三角形面积公式三角形内角平分线定理余弦定理通过 解析：
2
【分析】 由面积比得
2BD DC =，得1BD =，由角平分线定理得2AB
AC
=，在ABD △和ACD △中应用余弦定理结合cos cos ADB ADC ∠=-∠可求得AC ． 【详解】
由已知
1
sin 221sin 2
ABD ACD BD AD ADB
S BD S CD CD AD ADC ⋅∠===⋅∠△△，1
2
CD =，则1BD =， 又AD 平分BAC ∠，所以
2AB BD
AC CD
==，2AB AC =，设AC x =，则2AB x =， ABD △中，2222
2114cos 1222
BD DA AB x ADB x BD AD +-+-∠=
==-⋅，
同理，ACD △中，2
21154cos 14212
x ADC x +-∠=
=-⨯⨯， 因为180ADB ADC ∠+∠=︒，
所以2
25cos cos 1204
ADB ADC x x ∠+∠=-+-=
，解得x （负的舍去），
故答案为：2
． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，三角形内角平分线定理，余弦定理，通过
180ADB ADC ∠+∠=︒，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，把两个三角形联系起来达到求解的目的．
17．【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用
解析：3
2
【分析】
由正弦定理得sin A =
32
bc =，再利用面积公式1
sin 2S bc A =即可得解.
【详解】
由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =， 易知sin sin 0B C ≠
，所以sin 2
A =
， 又2
2
2
6b c a +-=，所以2223
cos 2b c a A bc bc
+-==，
所以cos 0A >
，所以cos A =
32
bc =
，bc =， 所以ABC
的面积113
sin 2222
S bc A ==⨯=． 故答案为：3
2
. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.
18．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以
时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键 解析：p q
【分析】
由已知结合作差法进行变形后即可比较大小． 【详解】
因为0a >，0b >，2b p a a =-与2
a q
b b
=-，
所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba
-----+-=-==，b a =时取等号， 所以p q ． 故答案为：p q ． 【点睛】
本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．
19．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所 解析：217n -
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得
231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222
d d ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯
，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数， 所以()()()2131313112
222
n d S d n n n n d a n d d n n n --=+
⎛⎫--+
+ ⎪⎝
=
⎭=-， 由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222
d d ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭≤-
≤⨯， 解得
131376
d ≤≤， 所以2d =，所以1215a a d =-=-，
所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-.
故答案为：217n -. 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.
20．【分析】由已知递推关系式利用累加法和等差数列前项和公式可求出通项即可得【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式求数列中的项属于中档题 解析：13
【分析】
由已知递推关系式12n n a a n +-=，利用累加法和等差数列前n 项和公式，可求出{}n a 通项，即可得4a . 【详解】
12n n a a n +-=，
∴2121a a -=⨯ ，
3222a a -=⨯，
4323a a -=⨯，
12(1)n n a a n --=⨯-， ∴ []1(11)(1)
2123(1)2(1)2
n n n a a n n n +---=+++
+-=⨯
=- ，
∴ 21n a n n =-+ ，
2444113a ∴=-+= ，
故答案为：13 【点睛】
本题主要考查了累加法以及等差数列前n 项和公式求通项公式，求数列中的项，属于中档题.
三、解答题
21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或12
t -= 【分析】
(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值； (2). 将任意()31
,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；
(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可. 【详解】
(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=- 又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++， 所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨
+=-⎩解得：1
2a b =⎧∴⎨=-⎩
因为二次函数2
()2f x x x c =-+
选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=-
0c ∴=；
选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22
(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,
所以c 取任意值.
选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=， 由韦达定理可知：12122,x x x x c +==
所以122x x -=解得：0c
；
综上：()f x 的解析式为2
()2f x x x =-.
(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
恒成立,
32(log )m f x ∴≤-，
[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤
∈∴∈-⎢⎥⎣⎦
令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立
min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,
所以实数m 的取值范围为16m ≤-. (3) 因为函数()()(21)323
2x
x
g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，
令30x m =>，
所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根， 因为2
()2f x x x =-
即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，
当21=0t -即1
2t =
时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即1
2
t >时，
2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;
当210t -<即1
2
t
时， 要想2
(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，
只有()21682102021t t t
x t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩
对
解得：13t --=， 综上：实数t 的取值范围为12t >或13
2
t --=
. 【点睛】
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．(1) 8； (2)[]2,0-. 【分析】
（1）根据函数()f x 的最小值是()10f -=且1c =，建立方程关系，求出a b 、的值，从而可求()()22F F +-的值；（2）将不等式()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立等价于
1b x x ≤
-且1
b x x ≥--恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论. 【详解】 (1)由已知
c ＝1，a －b ＋c ＝0，且，
解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.
∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，
从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1
x
－x 在(0，1]上恒成立. 又
1x －x 的最小值为0，－1
x
－x 的最大值为－2 ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]. 【点睛】
本题主要考查二次函数的解析式，求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒
成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.
23．（12） 【分析】
（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果； （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】
（1）因为
)
cos cos A c a C =，
cos sin sin cos C A C A C -=，
()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，
而()sin sin A C B +=b =，
故
c b =
.
（2）由（1）知cos 6A =，则sin 6
A =，
又ABC 的面积为
21sin 244
bc A c ==
，
则3c =，b =
由余弦定理得2222cos 27923276
a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，
解得a =. 【点睛】
关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键. 24．（1）15（百米）；（2）P 和Q 均不能选在D 处，理由见解析. 【分析】
（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，求出BD 、cos PBD ∠的值，进而可求得PB 的长，即为所求；
（2）分点P 在D 处和点Q 在D 处两种情况讨论，分析出两种情况下线段PB 、QA 上均存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，由此可得出结论. 【详解】
（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .
由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，则6DE BE AC ===，8AE CD ==，
PB AB
⊥，
84 cos cos
105 PBD BAE
∴∠=∠==，
12
15
4
cos
5
BD
PB
PBD
∴===
∠.
因此道路PB的长为15（百米）；
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B、E）到点O的距离均小于圆O的半径，P
∴在D处不满足规划要求；
②若Q在D处，连接AD，由（1）知2210
AD AE ED
=+=，
从而
2227
cos0
225
AD AB BD
BAD
AD AB
+-
∠==>
⋅
，BAD
∴∠为锐角.
∴线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
【点睛】
思路点睛；解三角形应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 25．（1）1
2n
n
a；（2）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）根据11
n n n
a S S
++
=-以及等比数列的通项公式可求得结果；
（2）利用错位相减法求出
n
T，分别对1,2
n n
==和3
n≥讨论等式是否成立可得答案.
【详解】
（1）由121
n n
S S
+
=+①,知2
n≥时，1
21
n n
S S
-
=+②,
①-②得()
1
22
n n
a a n
+
=≥，
在①式中令1212
1212
n a a a a
=⇒+=+⇒=，2
1
2
a
a
=，
∴对任意*
n∈N，均有12
n
n
a
a
+=，∴{}
n
a为等比数列，11
122
n n
n
a--
=⨯=，
（2）由（1）得1
2n
n
b n-
=⋅，
所以()
01221
122232122
n n
n
T n n
--
=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，
所以()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅+
+-⋅+-⋅+⋅， 所以()12111212222221212n n n n n n n
T n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=--⋅-，
所以(1)21n n T n =-⋅+， 令()()1212021122020n n
n n -⋅+=⇒-⋅=， 当1n =和2n =时，等式显然不成立；当3n ≥时，方程化为()212505n n --⋅=，左边为偶数，右边等于505为奇数，等式也不成立，故不存在正整数n ，使得2021n T =成立.
【点睛】
关键点点睛：利用11n n n a S S ++=-求出通项公式，根据错位相减法求出n T 是解题关键. 26．（1）12n n a ；（2）233m <. 【分析】
（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项.
（2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围.
【详解】
（1）因为()*224n n S a a n N =-∈，故11224n n S a a --=-，
所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =， 因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，
故0n a ≠，故
12n n a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n n a . （2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫=
==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==
，故1323m >即233
m <. 【点睛】 方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.。