内蒙古赤峰市宁城县2017届高三数学一模试题 理

内蒙古赤峰市宁城县2017届高三数学一模试题 理
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分,第I 卷第1页~第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(每小题5 分，共12小题,满分60分)
1．已知集合{}{}
2
|31,|680
A x x x
B x x x =≥≤=-+<或,则
()A B =R
(A)(1,3)
（B ）(1,4) （C ）(2,3)
(D ）(2,4)
2. 圆O 1:0222=-x y x ＋和圆O 2： 0422=-y y x ＋的位置关系是（ ）
（A) 相交
(B) 外切
(C ） 相离
(D)内切
3。

函数()f x 的定义域为R ，“()f x 是奇函数”是“存在,()()0x f x f x R ∈+-=”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 (C ）充分必要条件 (D ）既不充分也不必要条件
4．已知1z 与2z 是共轭虚数，有4个命题①2
2
12z z =； ②1212z z z z =；③12z z R +∈； ④
1
2
z R z ∈,一定正确的是
(A)①② （B) ②③ (C)③④ (D ）①②③
5．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为0。

5
，两次闭
合后都出现红灯的概率为0。

2，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为
（A ）0.1 （B ）0。

2 （C)0。

4 （D ）0.5
6．在2
6
1(2)x x
-
的展开式中,含7x 的项的系数是 （A)60 (B ）160 （C ）180 (D ）240
7。

秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为
(A ）103
（B ）102 （C ）1021- （D ）1031-
8．设a,b 为两个非零向量，满足2+==a b a -b a ，则+a b 与a -b 的夹角是
(A ）
6π （B)3
π （C)23π （D)56π
9. 设函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图象关于直线1x =-和2x =对称，则(0)f 的取值集合是
（A ）11,1,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ （B ）111,1,,22⎧⎫--
⎨⎬⎩⎭ （C ）111,,22⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
（D ）{}1,1,2,2-- 10. 设F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，若曲线C 上存在一点P 与F 1关于曲线C 的一条渐近线对称,则双曲线C 的离心率是
（A ）2 （B ）3 （C)2 (D ）5 11。

如图，正方体''''ABCD A B C D -绕其体对角线'BD 旋转θ之后与其自身
重合,则θ的值可以是
(A ）
23π （B ） 34π （C ）56π (D ） 35
π
12。

已知,0
()0,
0,0x x e ax x f x x e ax x -⎧+>⎪
==⎨⎪-<⎩
，若函数()f x 有5个零点，则实数a 的取值
范围是
（A ） 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ （B ） (),e -∞- （C ） (),e +∞ （D ） 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
宁城县高三年级统一考试
数学试题（理科) 第Ⅱ卷(非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分)
13。

某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正
态分布2
(80,)N σ，(0)σ>，参赛学生共500名.若ξ在()70,90内
的取值概率为0.80，那么90分以上(含90分)的学生人数为 .
14. 已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 。

15。

已知实数,x y 满足20100
x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩
,且222x y
z x y +=+的最大值为 。

16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则c
b
的最大值为 .
三、解答题（共6小题,满分70分） 17。

（本题满分12分）
已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列,且满足3455,,3
a a a 成等差数列。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列21n n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ，求证：3n S <。

18．(本题满分12分)
已知长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ,E 为11C D 的中点,如图所示. (Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的交线(不必说明理由);
(Ⅱ)证明：//1BD 平面EC B 1；
(Ⅲ）求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的余弦值.
19．（本题满分12分）
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A 组"，否则为“B 组”，调查结果如下：
A 组
B 组 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计
56
44
100
（Ⅰ）根据以上数据，能否有60％的把握认为“A 组"用户与“性别”有关？
（Ⅱ)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A 组”和“B 组"的人数；
（Ⅲ）从(Ⅱ)中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A 组"的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望。

参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++为样本容量。

参考数据：
A
C
D
A 1
B 1
C 1
B
D 1
E
20．（本题满分12分）
已知椭圆E的方程是
22
1
43
x y
+=，左、右焦点分别是
1
F、
2
F，在椭圆E上有一动点A,
过A、
1
F作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示。

(Ⅰ) 判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由.
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积取到最大值时,判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值。

21.
（本小题满分12分)
已知函数f (x）＝alnx＋
1
2
x2－ax (a为常数）．
（Ⅰ）试讨论f (x)的单调性；
（Ⅱ）若f (x)有两个极值点分别为x1，x2.不等式f （x1）＋f (x2) ＜λ（x1＋x2）恒成立,求λ的最小值．
四、选做题
请考生在22,23三题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩(θ为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线2C 的极坐标方程为:π4sin()3
ρθ=+，直线l 的极坐标方程为π
6θ=。

(1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2)若曲线1C 和曲线2C 与直线l 分别交于非坐标原点的,A B 两点，求AB 的值。

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知实数,,a b c 均大于0.
（1ab bc c a b c ≤++; （2)若1a b c ++=，求证：
2221ab bc ac
a b b c a c
++≤+++.
宁城县高三年级统一考试 数学试题（理科)参考答案
一、选择题：CAAB CDAC BDAB
二、填空题：13、50； 14、
323
π
； 15、5； 16、21+。

三、解答题：17．解：（1）由35452,3a a a +=⨯得24
3103
q q q +=
而0q ≠，得231030q q -+=-—--—----——-——----—-2分 数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列
所以3q =，13n n a -=-—-—--—————--—--—-—-—————————--5分
（2)由23135721
13333
n n n S --=+++++ ① 得2341135721333333n n
n S -=+++++ ② ①—②得
2312111
121
123333
33
n n n n S --⎛⎫=+++++
- ⎪⎝⎭——--—————-————8分 化简得1
1
33
n n n S -+=-
-—-—-—---—---——--—11分 所以3n S <--——-----—--12分
18．解：（Ⅰ)连接1BC 交C B 1于M ，则直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的 交线，如图所示；……………………4分 （Ⅱ）∵在长方体1AC 中,所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标
原点，建立空间直角坐标系,如图所示，
∵2==AB AD ，11=AA ， ∴
)0,0,0(D ，
)
1,0,0(1D ，
)0,2,2(B ,)1,2,2(1B ，)0,2,0(C ，)1,1,0(E 。

∴)1,2,2(1--=BD ，)1,0,2(1=CB ，
)1,1,0(-=CE ,…………6分
∵令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x m =∴所以m CB ⊥1，m CE ⊥,从而有，
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
1m CE m CB ,即⎩⎨
⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ， A C
D
A 1
B 1
C 1
B D 1
E
x
y
z
M
得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=m ,
而02421=+-=⋅m BD ，∴ m BD ⊥1，又因为⊄1BD 平面EC B 1, ∴//1BD 平面EC B 1.……………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,2,0(-=BA ，)1,2,2(1--=BD ，
令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x n =，所以n BA ⊥，n BD ⊥1，从而有，
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
1n BD n BA ,即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ,不妨令1=x ， 得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ,…………………………………10分 ∵n
m n m n m ⋅⋅>=
<,cos 5
5
5
941=
⋅+-=。

∴平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的余弦值5
5
.…………………12分 19．解：（1)由22⨯列联表可得
()()()()()
()22
2100262030240.6490.70856445050n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯—-—-—2分
没有60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关--—--———---—-——---4分
（2）由题意得所抽取的5位女性中，“A 组”3人，“B 组”2人。

---———-———-—-6分
20．解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -,如图，直线AB 不能平行于x 轴,所以令直线AB 的方程 为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，
联立方程，2234120
1
x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，
得22(34)690m y my +--=，…………3分 ∴122634m y y m +=
+,12
29
34
y y m -⋅=+.……4分 若ABCD 是菱形,则OA OB ⊥， 即0OA OB ⋅=，
于是有12120x x y y ⋅+⋅=，………………5分
又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++， 所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=，
得到22
125
034
m m --=+ ，显然这个方程没有实数解，故ABCD 不能是菱形。

………6分 （Ⅱ）由题4ABCD
AOB S S ∆=，而1121
2
AOB S OF y y ∆=
⋅-,又11OF = ， 即1122ABCD
S
OF y y =⋅-212122()4y y y y =+-⋅，……………………………8分
由（Ⅱ）知122634m y y m +=
+,12
29
34
y y m -⋅=+. 所以2222
3636(34)2(34)ABCD
m m S
m ++=+222124(34)m m +=+22
1
24
19(1)6
1
m m =++++,
∵函数1()9f t t t
=+,[1,)t ∈+∞，在1t =时,min ()10f t =，………………11分 ∴ABCD S
的最大值为
6,此时2
11m +=，也就是0m =时,
这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形。

…………………………………12分 21．解:（Ⅰ）f′（x)＝错误!＋x －a ＝错误! (x>0），
①当a ＜0时，解f′(x）＝0得，x 24a a a +-
f （x ）的单调减区间为（0，24a a a +-单调增区间为24a a a
+-，+∞)； …2分
②当0≤a ≤4时,x 2
－ax ＋a ＝0的Δ＝a 2
－4a ≤0，
所以f′(x)≥0，f （x ）的增区间为(0,+∞），无减区间； ……………4分
O
x
y
1F
2F
A
B
C
D
③当a＞4时，Δ＝a2－4a＞0，解f′(x）＝0得，x1,2＝
24
2
a a a ±-
，
f（x)的单调增区间为(0，
24
2
a a a
--
），（
24
2
a a a
+-
，+∞）,
单调减区间为（
24
2
a a a
--
，
24
2
a a a
+-
）.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x)有两个极值点时，设为x1，x2,则 a＞4，x1＋x2＝a ,x1x2＝a
故f（x1）＋f(x2)＝alnx1＋错误!x错误!－a x1＋alnx2＋错误!x错误!－ax2＝aln（x1x2)＋错误!(x错误!＋x 错误!)－a(x1＋x2)
＝aln（x1x2)＋错误! (x1＋x2）2－x1x2－a(x1＋x2)＝a错误!
于是错误!＝lna－错误!a－1，a∈错误!. ……………9分
令φ（a)＝lna－错误!a－1，则φ′（a）＝错误!－错误!。

因为a〉4，所以φ′(a) ＜0.于是φ(a）＝lna－错误!a－1在错误!上单调递减．
因此错误!＝φ(a）＜φ（4)＝ln4－3. 且错误!可无限接近ln4－3。

又因为x1＋x2>0,故不等式f （x1)＋f （x2）＜λ(x1＋x2）等价于错误!＜λ.
所以λ的最小值为ln4－3. ………………12分
将
π
6
θ=代入
1
C的极坐标方程得
1
π
2sin1
6
ρ==，即1
OA=,
内蒙古赤峰市宁城县2017届高三数学一模试题 理
11 将π6θ=代入2C 的极坐标方程得2ππ
4sin()463ρ=+=,即4OB =，
∴||||3AB OB OA =-=.————-------———-——-————-——-10分
23． ------------------------5分 ---------------------10分。