2021-2022学年浙江省温州市龙湾区八年级(上)期中数学试题及答案解析

2021-2022学年浙江省温州市龙湾区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若不等式−3x<1，两边同时除以−3，得( )
A. x>−1
3B. x<−1
3
C. x>1
3
D. x<1
3
3.两边长为4和8的等腰三角形的周长为( )
A. 16
B. 20
C. 16或20
D. 16或18
4.如图，已知AD=BC，添加下列条件还不能判定△ABC≌△
BAD的是( )
A. AC=BD
B. ∠CAB=∠DBA
C. ∠ABC=∠BAD
D. △ABD的周长=△ABC的周长
5.若m>n，则下列不等式成立的是( )
A. m−5<n−5
B. m
5<n
5
C. −5m>−5n
D. −m
5
<−n
5
6.可以用来说明命题“x2<y2，则x<y”是假命题的反例是( )
A. x=4，y=3
B. x=−1，y=2
C. x=−2，y=1
D. x=2，y=−3
7.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
B. ∠A：∠B：∠C=2：3：5
C. ∠A+∠B=∠C
D. 一个外角等于和它相邻的一个内角
8.如图，在△ABC中，AB=AC=9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则CE等于( )
A. 3
B. 2
C. 9
4D. 9
2
9.如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于( )
A. √2
B. 2√2
C. 4
√10D. 2
√10
10.如图，OA⊥OB，OB=4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直
角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO=45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化( )
A. 一直增大
B. 一直减小
C. 先增大后减小
D. 保持不变
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．
12.边长为1的等边三角形的面积是______．
13.等腰△ABC的一个角为35°，则顶角的度数是______．
14.如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等
边△BDE，连接CE.若BC=4，CD=1，则CE=______．
15.已知不等式(a−1)x>a−1的解集是x<1，则a的取值范围为______．
16.如图，在等腰△OAB中，OA=OB=2，∠OAB=90°，以AB为边向右
侧作等腰Rt△ABC，则OC的长为______．
17.如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=8√3，以AB为边作正
△ABC，以BC为底边作等腰三角形PCB，则PQ的最小值为______．
18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI
和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC=7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是______．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题6.0分)
解不等式：
(1)2(x−1)−3(3x+2)>x+5．
(2)2+x
3>2x−1
5
−2．
20.(本小题6.0分)
已知：如图，AB//DE，AC//DF，AB=DE.求证：BE=CF．
21.(本小题6.0分)
如图，在所给的6×6方格中，点A，B，P都在小方格的格点上，按下列要求画图，所画的点都必须落在方格纸的格点上．
(1)请画出两个等腰直角三角形ABC，使点P在△ABC内部(分别在图1、2中画出示意图，不能重复)．
(2)请画一个等腰三角形ABC，使点P落在△ABC的对称轴上(在图3中画出示意图)．
22.(本小题8.0分)
在《几何原本》著作中，命题47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和．古代人还没有发明勾股定理，他们如何证明这个命题是真命题．已知△ABC，∠BAC=90°；求证：以BC为边正方形的面积=以BA为边正方形的面积+以AC为边正方形的面积．
现请同学们求证：长方形BDQP的面积=正方形ABMN的面积．
23.(本小题8.0分)
如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG//AB交CB于点G．
(1)求证：△CEF是等腰三角形；
(2)求证：CF=BG；
(3)若F是CG的中点，EF=1，求AB的长．
24.(本小题12.0分)
如图：已知△BCD是等腰直角三角形，且∠DCB=90°，过点D作AD//BC，使AD=BC，在AD 上取一点E，连结CE，点B关于CE的对称点为B1，连结B1D，并延长B1D交BA的延长线于点F，延长CE交B1F于点G，连结BG．
(1)求证：∠CBG=∠CDB1；
(2)若AE=DE，BC=10，求BG长；
(3)在(2)的条件下，H为直线BG上一点，使△HCG为等腰三角形，则所有满足要求的BH的长是______.(直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的定义即可判断．
本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
2.【答案】A
．
【解析】解：不等式−3x<1，两边同时除以−3，得x>−1
3
故选：A．
利用不等式的性质解答即可．
本题主要考查了不等式的性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
3.【答案】B
【解析】解：当腰长为4时，4+4=8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20．
故该等腰三角形的周长为20．
故选：B．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.AD=BC，AC=BD，AB=BA，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
B.AD=BC，AB=BA，∠CAB=∠DBA，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
C.AD=BC，∠ABC=∠BAD，AB=BA，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D.∵△ABD的周长=△ABC的周长，
∴AD+BD+AB=BC+AC+BA，
∵AD=BC，AB=BA，
∴AC=BD，
条件AD=BC，AC=BD，AB=BA，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
5.【答案】D
【解析】解：A、在不等式m>n的两边同时减去5，不等式仍然成立，即m−5>n−5，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、在不等式m>n的两边同时除以5，不等式仍然成立，即m
5>n
5
，原变形错误，故此选项不符合
题意；
C、在不等式m>n的两边同时乘以−5，不等式号方向改变，即−5m<−5n，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、在不等式m>n的两边同时乘以−5，不等式号方向改变，即−m
5<−n
5
，原变形正确，故此选
项符合题意．
故选：D．
根据不等式的性质进行解答．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】D
【解析】解：当x=2，y=−3时，x2<y2，但x>y，
故选：D．
据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
7.【答案】A
【解析】解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴三角形中最大角∠C=5
×180°=75°<90°，
3+4+5
∴满足条件的三角形为锐角三角形，选项A符合题意；
B.∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴三角形中最大角∠C=5
×180°=90°，
2+3+5
∴满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；
C.∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴三角形中最大角∠C=1
×180°=90°，
2
∴满足条件的三角形为直角三角形，选项C不符合题意；
D.∵一个外角等于和它相邻的一个内角，
∴该内角=1
×180°=90°，
2
∴满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．
故选：A．
A.根据各角之间的比例关系，结合三角形内角和为180°，即可求出三角形中最大角∠C的度数，由∠C=75°<90°，即可得出满足条件的三角形为锐角三角形，选项A符合题意；
B.根据各角之间的比例关系，结合三角形内角和为180°，即可求出三角形中最大角∠C的度数，由∠C=90°，即可得出满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；
C.由∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，即可求出三角形中最大角∠C的度数，由∠C=90°，即可得出满足条件的三角形为直角三角形，选项C不符合题意；
D.利用三角形外角的性质，可得出该内角=90°，进而可得出满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．
本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出最大角的度数是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC=9，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠BAD=180°−∠B−∠ADB，∠CDE=180°−∠ADE−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD=ED，
在△ABD与△DCE中，
{∠BAD=∠CDE ∠B=∠C
AD=ED
，
∴△ABD≌△DCE(AAS)，
∴CD=AB=9，BD=CE，
∵CD=3BD，
∴CE=BD=3，
故选：A．
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，推出∠BAD=∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD= ED，根据全等三角形的性质得到CD=AB=6，BD=CE，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：过点A作AD⊥BC于D，
由网格特征和勾股定理可得，
AB2=12+12=2，AC2=22+22=8，BC2=12+32=10，∴AB2+AC2=2+8=10=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=1
2AB⋅AC=1
2
BC⋅AD，
即√2×2√2=√10AD，
∴AD=4
√10
，
故选：C．
根据网格特征和勾股定理求出△ABC的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可．本题考查勾股定理，分母有理化，掌握网格特征和勾股定理是正确解答的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，
∵△CBP是等腰直角三角形，
∴BC=BP，∠CBP=90°，
∴∠HBC+∠OBP=90°，
∵∠CBH+∠HCB=90°，
∴∠OBP=∠HCB，
在△OBP和△HCB中，
{∠O=∠BHC
∠OBP=∠HCB BP=BC
，
∴△OBP≌△HCB(AAS)，
∴OB=CH=4，OP=HB，
∵∠ODC=45°，CG⊥OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴CG=DG，
∴PD=GD−PG=CG−(OP−4)=4+OP−(OP−4)=8，
∴PD的长度保持不变，
故选：D．
过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，利用SAS证明△OBP≌△HCB，得OB=CH=4，OP=HB，即可解决问题．
本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形
【解析】
【分析】
本题考查了原命题与逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此进行解答即可．
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．12.【答案】√3
4
【解析】解：如图，等边△ABC的边长是1．
过点A作AD⊥BC于点D.则BD=DC=1
2BC=1
2
，
∴在Rt△ABD中，AD=√AB2−BD2=√3
2
；
∴S△ABC=1
2BC⋅AD=1
2
×1×√3
2
=√3
4
．
故答案是：√3
4
．
利用等边三角形的“三线合一”的性质作辅助线AD⊥BD，然后在Rt△ABD中由勾股定理求得高线AD的长度，最后根据三角形的面积公式求该三角形的面积即可．
本题考查了等边三角形的性质．等边三角形的底边上的高线、中线与顶角的角平分线三线合一．13.【答案】35°或110°
【解析】解：∵等腰三角形中有一个角等于35°，
∴①若35°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为35°；
②若35°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°−35°×2=110°．
综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：35°或110°．
故答案为：35°或110°．
因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
14.【答案】3
【解析】解：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
{AB=BC
∠ABD=∠CBE BD=BE
，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD=CE，
∵AC=BC=4，
∴CE=AD=4−1=3，故答案为：3．
根据等边三角形的性质得到AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，求得∠ABD=∠CBE，根据全等三角形的性质得到AD=CE，根据线段的和差，于是得到答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，本题中求证△BDG≌△EDC是解题的关键．
15.【答案】a<1
【解析】解：∵(a−1)x>a−1的解集是x<1，不等号方向发生了改变，
∴a−1<0，
∴a<1．
故答案为：a<1．
由(a−1)x>a−1的解集是x<1，可得不等号方向发生了改变，根据不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变，可得a−1<0，继而求得a的取值范围．
此题考查了不等式的性质与解法．注意不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变性质的应用是解此题的关键．
16.【答案】2√2或2√5
【解析】解：如图1，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，
∵OA=OB=2，∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠ABO=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°，
∴∠AOB=∠OAC=∠ACB=∠CBO=90°，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OC=AB=√OA2+OB2=2√2；
如图2，以AB为，直角边作等腰Rt△ABC，
∴∠ABC=45°，
∵OA=OB=2，∠OAB=90°，
∴∠ABO=45°，AB=2√2，
∴∠CBO=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=√AB2+AC2=4，
∴OC=√OB2+BC2=√22+42=2√5，
综上所述，OC的长为2√2或2√5，
故答案为：2√2或2√5．
如图1，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，根据等腰直角三角形的性质得到∠OAB=∠ABO=45°，∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°，推出四边形AOBC是正方形，根据勾股定理得到OC=AB=√OA2+OB2=2√2；如图2，以AB为，直角边作等腰Rt△ABC，求得∠ABC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABO=45°，AB=2√2，根据勾股定理得到BC=√AB2+AC2=4，OC=√OB2+BC2=√22+42=2√5，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形，正确的作出图形，进行分类讨论是解题的关键．
17.【答案】4√3
【解析】解：连接AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=60°，
在△ABP和△ACP中，
{AB=AC BP=PC AP=AP
，
∴△ABP≌△ACP(SSS)，
∴∠CAP=∠BAP，
∴∠PAQ=30°，
∴点P在射线AP上运动，
当QP⊥AP时，PQ的值最小，
∴PQ=1
2
AQ=4√3，
故答案为：4√3．
连接AP，证明△ABP≌△ACP(SSS)，得∠CAP=∠BAP=30°，从而点P在射线AP上运动，再利用垂线段最短解决问题．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P的射线AP上运动是解题的关键．
18.【答案】39
【解析】解：如图，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠BAC=∠FAC+∠ABC=90°，
∴∠FAC=∠ABC，
∴△FAH≌△ABN(ASA)，
∴S△FAH=S△ABN，
∴S△ABC=S
，
四边形FNCH
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC+BC=7，
∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC⋅BC=49，
∴AB2+2AC⋅BC=49，
∵AB2−S△ABC=16，
∴AB2−1
AC⋅BC=16，
2
∴BC⋅AC=26，
∵∠ABG=∠CBI=90°，
∴∠ABC+∠CBG=∠CBG+∠GBI=90°，
∴∠ABC=∠GBI，
∴△ABC≌△GBI(ASA)，
∴S△ABC=S△GBI，即S1=S3=S△ABC，
同理可知，△ADF≌△ACB，即S4+S2=S△ABC，
∴阴影部分的面积和=3S△ABC=3
BC⋅AC=39．
2
故答案为：39．
根据余角的性质得到∠FAC=∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAH=S△ABN，推出S△ABC= S
，根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，解方程组得到BC⋅AC=26，接着通过证明S1+四边形FNCH
S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
19.【答案】解：(1)去括号，得：2x−2−9x−6>x+5，
移项，得：2x−9x−x>5+2+6，
合并，得：−8x>13，
；
系数化为1，得：x<−13
8
(2)去分母，得：5(2+x)>3(2x−1)−30，
去括号，得：10+5x>6x−3−30，
移项，得：5x−6x>−3−30−10，
合并同类项，得：−x>−43，
系数化为1，得：x<43．
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
20.【答案】解：∵AB//DE，AC//DF，
∴∠B=∠DEC，∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，
{∠ACB=∠F ∠B=∠DEC AB=DE
，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴BC=EF，
∴BE=CF．
【解析】证明△ABC≌△DEF即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)如图，图1，图2中，△ABC即为所求；
(2)如图3中，△ABC，△ABC′即为所求．
【解析】(1)利用等腰直角三角形的判定和性质画出图形即可；
(2)利用等腰三角形的性质画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：如图，△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，分别以AB、AC、BC为边向外做正方形ABFG，正方形ACKH和正方形BCED，连接FC、AD，并作AL⊥ED于L，交BC于M，连接AF，
由旋转知识可得：△ABD≌△FBC，∴S△ABD=S△FBC，
∵四边形ABFG是正方形，
∴AG//BF，
∴S△FBC=S△ABF=1
2S
正方形ABFG
，
同理，S△ADB=12S正方形ABFG，
∴S
正方形ABFG =S 
矩形BDLM
，
同理，S 正方形ACKH=S 矩形CELM，
∴S
正方形ABFG +S 
正方形ACKH
=S 
矩形BDLM
+S 
矩形CELM
，
可得：S正方形ABFG+S正方形ACKH=S正方形BCED．
【解析】由旋转的性质可得S△ABD=S△FBC，由平行线的性质可得S△FBC=S△ABF=12S正方形ABFG，可得S正方形ABFG=S 矩形BDLM，同理可得S 正方形ACKH=S 矩形CELM，即可得结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，平行线的性质，灵活运用这些的性质是本题的关键．
23.【答案】(1)证明：过E作EM//BC交AB于M，
∵EG//AB，
∴四边形EMBG是平行四边形，
∴BG=EM，∠B=∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠7=90°，∠2+∠3=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠7，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形；
(2)证明：∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中
{∠1=∠2
∠ACE=∠AME AE=AE
，
∴△CAE≌△MAE(AAS)，
∴CE=EM，
∵CE=CF，EM=BG，
∴CF=BG．
(3)解：∵CD⊥AB，EG//AB，∴EG⊥CD，
∴∠CEG=90°，
∵CF=FG，
∴EF=CF=FG，
∵CE=CF，
∴CE=CF=EF=1，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，
∴BC=3，∠B=30°，
∴AB=CB
cos30∘=3
√3
2
=2√3．
【解析】(1)由余角的性质可得∠3=∠7=∠4，可得CE=CF，可得△CEF为等腰三角形；(2)过E作EM//BC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG=EM，由“AAS”可证△CAE≌△MAE，推出CE=EM，由三角形的面积关系可求GB的长；
(3)证明△CEF是等边三角形，求出BC，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
24.【答案】2√10或6√5−4√10或√10或6√5+4√10
【解析】(1)证明：如图1，连结BB1交CG于点M，交CD于点Q，
∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BC=DC，∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∵点B1与点B关于CE对称，
∴CE垂直平分BB1，
∴BC=B1C，BG=B1G，
∵CG=CG，
∴△BCG≌△B1CG(SSS)，
∴∠CBG=∠CB1G，
∵DC=B1C，
∴∠CDB1=∠CB1G，
∴∠CBG=∠CDB1．
(2)解：如图1，设BG交AD于点N，
∵BC=CD=AD=10，
∴DE=1
2
AD=5，
∵∠CDE=90°，
∴CE=√102+52=5√5，
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∵∠BCQ=∠CDE=∠BMC=90°，∴∠CBQ=90°−∠BCM=∠DCE，∴△BCQ≌△CDE(ASA)，
∴CQ=DE=5，BQ=CE=5√5，∵CM⊥BQ，
∴S△BCQ=1
2BQ⋅CM=1
2
BC⋅CQ，
∴1 2×5√5CM=1
2
×10×5，
∴CM=2√5，
∴BM=√102−(2√5)2=4√5，
∵∠ABC=∠BAN=90°，
∴∠GDN+∠CDB1=90°，∠ABN+∠CBG=90°，
∴∠GDN=∠ABN，
∵∠GND=∠ANB，
∴∠GDN+∠GND=∠ABN+∠ANB=90°，
∴∠BGB1=90°，
∴∠BGM=∠B1GM=1
2
∠BGB1=45°，
∵∠BMG=90°，
∴∠BMG=∠BGM=45°，
∴GM=BM=4√5，
∴BG=√(4√5)2+(4√5)2=4√10，
∴BG的长为4√10．
(3)解：如图1，由(2)得CM=2√5，GM=4√5，
∴CG=2√5+4√5=6√5，
如图2，CH=CG=6√5，则∠CHG=∠CGH=45°，
∴∠GCH=90°，
∴GH=√(6√5)2+(6√5)2=6√10，
∴BH=GH−BG=6√10−4√10=2√10；
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如图3，HG=CG=6√5，且点H与点B在直线FB1的同侧，
∴BH=HG−BG=6√5−4√10；
如图4，CH=GH，则∠HCG=∠HGC=45°，
∴∠CHG=90°，
∴CH2+GH2=CG2，
∴2GH2=(6√5)2，
∴GH=3√10，
∴BH=BG−GH=4√10−3√10=√10；
如图5，HG=CG=6√5，且点H与点B在直线FB1的异侧，
∴BH=HG+BG=6√5+4√10，
综上所述，BH的长为2√10或6√5−4√10或√10或6√5+4√10，
故答案为：2√10或6√5−4√10或√10或6√5+4√10．
(1)连结BB1交CG于点M，交CD于点Q，先证明四边形ABCD是正方形，再根据轴对称的性质证明△BCG≌△B1CG，则∠CBG=∠CB1G，由DC=B1C，得∠CDB1=∠CB1G，可得∠CBG=∠CDB1；
(2)证明△BCQ≌△CDE，求出CQ、BQ的长，再列面积等式求出CM的长，根据勾股定理求出BM的长，然后证明∠BGB1=90°及GM=BM，再根据等腰直角三角形的性质求出BG的长；
(3)分四种情况讨论，包括CH=CG、HG=CG且点H与点B在直线FB1的同侧、CH=GH、HG=CG 且点H与点B在直线FB1的异侧，先求出CG的长，再分别求出BH的长．
此题重点考查正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，其中解第(2)题的关键是连结对称点B、B1，此题难度较大，属于考试压轴题．
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