有关圆锥曲线的经典结论

一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
000(,)P x y 22
221x y a b +=0P 00221x x y y a b +=6. 若在椭圆外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点
000(,)P x y 22
221x y a b +=弦P 1P 2的直线方程是.
00221x x y y
a b
+=7. 椭圆 (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
22
221x y a b
+=，则椭圆的焦点角形的面积为.
12F PF γ∠=122tan
2
F PF S b γ
∆=8. 椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
22
221x y a b
+=,( , ).
10||MF a ex =+20||MF a ex =-1(,0)F c -2(,0)F c 00(,)M x y 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ
分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q
交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则
22
221x y a b +=),(00y x ，
2
2OM AB b k k a ⋅=-即。

020
2y a x b K AB -=12. 若在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
000(,)P x y 22
221x y a b
+=. 22
00002222x x y y x y a b a b
+=+
13. 若在椭圆内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
000(,)P x y 22
221x y a b
+=. 22002222x x y y
x y a b a b
+=+二、双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴
为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：
P 在左支）
5. 若在双曲线（a ＞0,b ＞0）上，则过的双曲线的切线方程
000(,)P x y 22
221x y a b
-=0P 是. 00221x x y y
a b
-=6. 若在双曲线（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切
000(,)P x y 22
221x y a b
-=线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是.
00221x x y y
a b
-=7. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意
22
221x y a b
-=一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
12F PF γ∠=122
t
2
F PF S b co γ
∆=8. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：( ,
22
221x y a b
-=1(,0)F c -2(,0)F c 当在右支上时，,.
00(,)M x y 10||MF ex a =+20||MF ex a =-当在左支上时，,
00(,)M x y 10||MF ex a =-+20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点
，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的
22
221x y a b
-=),(00y x 中点，则，即。

0202y a x b K K AB OM =⋅0
20
2y a x b K AB =
12. 若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的
000(,)P x y 22
221x y a b
-=方程是.
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-13. 若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方
000(,)P x y 22
221x y a b
-=程是.
22002222x x y y x y a b a b
-=-椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
1. 椭圆（a ＞b ＞o ）的两个顶点为,，与y 轴平行的直
22
221x y a b
+=1(,0)A a -2(,0)A a 线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是.
22
221x y a b
-=2. 过椭圆 (a ＞0, b ＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直
22
221x y a b
+=00(,)A x y 线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.
20
20BC b x k a y =3. 若P 为椭圆（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,
22
221x y a b
+=, ，则
. 12PF F α∠=21PF F β∠=tan t 22
a c co a c αβ
-=+4. 设椭圆（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上
22
221x y a b
+=任意一点，在△PF 1F 2中，记, ,，则有
12F PF α∠=12PF F β∠=12F F P γ∠=.
sin sin sin c
e a
αβγ==+5. 若椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜
22
221x y a b
+=
e 时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例1中项.
6. P 为椭圆（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，
22
221x y a b
+=则,当且仅当三点共线时，等号成2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+2,,A F P 立.
7. 椭圆
与直线有公共点的充要条件是22
0022
()()1x x y y a b --+=0Ax By C ++=. 2222200()A a B b Ax By C +≥++8. 已知椭圆（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且
22
221x y a b
+=.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为OP OQ ⊥222
21111
||||OP OQ a b +=+;（3）的最小值是.
22224a b a b +OPQ S ∆22
22
a b a b +9. 过椭圆（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN
22
221x y a b
+=的垂直平分线交x 轴于P ，则
. ||||2PF e
MN =10. 已知椭圆（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分
22
221x y a b
+=线与x 轴相交于点, 则. 0(,0)P x 2222
0a b a b x a a ---<<11. 设P 点是椭圆（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点
22
221x y a b
+=记，则(1).(2) .
12F PF θ∠=2122||||1cos b PF PF θ=+122
tan 2PF F S b γ∆=12. 设A 、B 是椭圆（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，
22
221x y a b
+=, ,，
c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)PAB α∠=PBA β∠=BPA γ∠=.(2) .(3) . 222
2
2|cos |||s ab PA a c co αγ
=-2
tan tan 1e αβ=-22222cot PAB a b S b a γ∆=-
13. 已知椭圆（ a ＞b ＞0）的右准线与x 轴相交于点，过椭圆右焦点22
221x y a b
+=l E F
的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点在右准线上，且轴，则直线AC 经C l BC x ⊥过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(
离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1. 双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为,，与y 轴
22
221x y a b
-=1(,0)A a -2(,0)A a 平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是.
22
221x y a b
+=2. 过双曲线（a ＞0,b ＞o ）上任一点任意作两条倾斜角互
22
221x y a b
-=00(,)A x y 补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.
20
20
BC b x k a y =-
3. 若P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点
22
221x y a b
-=,F 1, F 2是焦点, , ，则
（或12PF F α∠=21PF F β∠=tan t 22
c a co c a αβ
-=+）. tan t 22
c a co c a βα
-=+4. 设双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）
22
221x y a b
-=为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记, ,
12F PF α∠=12PF F β∠=，则有
.
12F F P γ∠=sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-5. 若双曲线（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L
22
221x y a b
-=
，则当1＜e 时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距1离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线
22
221x y a b
-=内一定点，则,当且仅当三点共线且和
21||2||||AF a PA PF -≤+2,,A F P P 在y 轴同侧时，等号成立.
2,A F 7. 双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线有公共点的充要条
22
221x y a b -=0Ax By C ++=件是.
22222
A a
B b
C -≤8. 已知双曲线（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动
22
221x y a b
-=点，且.
OP OQ ⊥（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）2222
1111||||OP OQ a b
+=-22224a b b a -的最小值是. OPQ S ∆22
22
a b b a
-
9. 过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于
22
221x y a b
-=M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
. ||||2PF e
MN =10. 已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的
22
221x y a b
-=垂直平分线与x 轴相交于点, 则或.
0(,0)P x 220a b x a +≥22
0a b x a
+≤-11. 设P 点是双曲线（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2
22
221x y a b
-=为其焦点记，则(1).(2)
12F PF θ∠=2
122||||1cos b PF PF θ
=-.
122cot
2
PF F S b γ
∆=12. 设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的
22
221x y a b
-=一点，, ,，c 、e 分别是双曲线的半焦距离
PAB α∠=PBA β∠=BPA γ∠=心率，则有(1).
22222|cos ||||s |
ab PA a c co αγ=-(2) .(3) . 2
tan tan 1e αβ=-2222
2cot PAB
a b S b a γ∆=+13. 已知双曲线（a ＞0,b ＞0）的右准线与x 轴相交于点，过双曲
22
221x y a b
-=l E 线右焦点的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点在右准线上，且F C l BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交
点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连
线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算
弦长，常用的弦长公式： 22AB x y =-=-2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。

3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)
与直线
垂直的直线可表示为。

4、两平行线间的距离为。

5、若直线与直线
平行
则
（斜率）且
（在
轴上截距） （充要条件）
6、圆的一般方程：
，特别提醒：只有当
时，方程才表示圆心为，半径为
的圆。

二元二次方程
表示圆的充要
条件是
且
且。

7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。

圆
的参数方程的主要应用是三角换元：；
8、为直径端点的圆方程
切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(
公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。