(江苏版)2018年高考数学一轮复习 专题9.4 直线与圆_圆与圆的位置关系(讲)

专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考纲解读】
【直击考点】
题组一 常识题
1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2
＋(y －1)2
＝5的位置关系是________． 【解析】圆心(0，1)到直线
l 的距离d ＝
|m |
m 2＋1
<1<5，故直线与圆相交．
2．直线3x ＋
4y －5＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．
【解析】圆x 2
＋y 2
＝4的圆心(0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝1，则||AB ＝2r 2
－d 2
＝2 3.
3．圆x 2＋y 2
－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________________．
题组二 常错题
4．过点(2，3)与圆(x －1)2
＋y 2
＝1相切的直线的方程为____________________．
5．已知两圆O 1：x 2
＋y 2
＝9，O 2：(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝m 2
相切，则实数m 的取值组成的集合为________________．
【解析】当两圆内切时， |m |－3＝ （3－0）2
＋（－4－0）2
⇒m ＝±8；当两圆外切时， 3＋|m |＝
3－0）2
＋（－4－0）2
⇒m ＝±2.所以实数m 的取值组成的集合为{}－8，－2，2，8.
题组三 常考题
6． 设直线y ＝x ＋22与圆C ：x 2
＋y 2
－22y －2＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 x 2
＋y 2
－22y －2＝0，即x 2
＋(y －2)2
＝4，则圆心为C (0，2)，半径为2.C 到直线y ＝x ＋22的距离d ＝|0－2＋22|2
＝1，所以|AB |＝222－12
＝2 3.
7．若点P (－2，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________________________________________________________________________．
【解析】依题意圆的方程为x 2
＋y 2
＝8，所以该圆在点P 处的切线方程为－2×x ＋2×y ＝8，即x －y ＋4＝0.
8． 已知圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)与圆N ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝1相外切，则a ＝________. 【解析】圆M 的圆心和半径分别为(0，a )，a ；圆N 的圆心和半径分别为(1，1)，1.依题意，两圆心的距离等于半径之和，即（1－0）2＋（1－a ）2
＝1＋a ，解得a ＝14
.
【知识清单】
考点1 直线与圆相切
1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即d r =；
3.代数法：0∆=，方程组有一组不同的解. 考点2 直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d r <；
3.代数法：0∆>，方程组有两组不同的解. 考点3 圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >). (1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆. 考点4 直线、圆的位置关系的综合应用
设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >).
(1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆.
【考点深度剖析】
直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查： (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长．
【重点难点突破】
考点1 直线与圆相切
【1-1】设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆2
2
2x y +=相切，则a 的值为 ；
【答案】±2
【解析】据题意，设直线方程为0x y a -+=.
2a =
⇒=±.
【1-2】过点()3,2M 作圆2
2
:4240O x y x y ++-+=的切线方程是 ． 【答案】2y =或51290x y -+=
1=，解之得0k =或5
12
k =
.所以切线的方程为：2y =或51290x y -+=. 【思想方法】
设圆的圆心为00(,)C x y 半径分别为r ，直线的方程为0Ax By C ++=.若直线与圆相切，则圆心到直线的
r =，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.
【温馨提醒】1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线． 2.利用直线与圆相切，确定参数的值（范围），往往利用几何法较为简单.
考点2 直线与圆相交及弦长
【2-1】圆22
4460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长为 .
【解析】将2
2
4460x y x y +-++=配方得：2
2
(2)(2)2x y -++=，所以圆心到直线的距离为
d =
=
l ===
【2-2】直线l 经过点(5,5)P ，且与圆22
:25C x y +=相交，截得弦长为l 的方程．
【答案】250x y --=或250x y -+= 【解析】
【思想方法】
1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在Rt AOB ∆中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.
2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长l =. 方法二、设直线的斜率为k ，直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y ，则弦长
11PQ x x y y =-=-【温馨提醒】1.确定直线方程，往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离求直线的斜率；
2.利用圆心到直线的距离可列方程求解；
3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法．
4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果. 考点3 圆与圆的位置关系
【3-1】若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆222
2:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值
范围是 ． 【答案】122
(,)(0,2)55
-
-
【3-2】已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆2
2
2:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【答案】3460x y -+=,
24
5
. 【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：3460x y -+=.
将221:2610C x y x y ++-+=配方得： 2
2
(1)(3)9x y ++-=，圆心到公共弦的距离为9
5
d =
=.
所以弦长为1224255
=⨯=. 【思想方法】
1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；
2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解. 【温馨提醒】
比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系； 两圆方程相减即得公共弦方程； 公共弦长要通过解直角三角形获得． 考点4 直线、圆的位置关系的综合应用
【4-1】设圆222
(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ． 【答案】46r <<
【4-2】已知点(2,0)P 及圆C ：2
2
6440x y x y +-++=. ①若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
②设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程； ③设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦
AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】①3460x y +-=或2x =；②2
2
(2)4x y -+=；③不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB .
【思想方法】
1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；
2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.
【温馨提醒】数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.
【易错试题常警惕】
[失误与防范]
1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．。