应用时间序列分析(知识点总结)

v记 B 为后移算子，有
BXt = Xt−1 X t−d = Bd Xt , ∀d ≥ 1
14
后移算子的运算性质
(1) B0 = 1;
(2) B(CXt ) = CB( Xt ) = CXt−1 , C为任意常数; (3) B( X t ± Yt ) = X t−1 ± Yt −1;
(4) Bn X t = Xt−n;
25
下题中第一张为ACF图, 第二张为PACF图
1
0.5
0 12345678
-0.5
-1
1
0.5
0 12345678
-0.5
-1
该随机过程应建模为（指出滞后阶数） AR(1) 过程.
26
下题中第一张为ACF图, 第二张为PACF图
1
0.5
0 12345678
-0.5
-1
1
0.5
0 12345678
-0.5
11
一. 差 分
差分是通过逐项相减消除前后期数据相关性 的方法，可剔除序列中的趋势性，是非平稳 序列的均值平稳化的预处理.
v一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减
法运算称为1 阶差分运算)
∇X t
=
X t
−
X t−1
其中 称为差分算子.
12
高阶差 分
对 1 阶差分后序列再进行一次 1 阶差分运算 称为 2 阶差分:
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四.
ARM A模 型 的 特 性
一. 差分方程
二. 格林函数和平稳性 三. 逆函数和可逆性 四. 时间序列模型的统计特性
均值函数 方差函数 自协方差函数 自相关函数 偏自相关函数
低 阶 模 型
24
五.
平 三类平稳时间序列的自相关函数 (ACF)和 稳 偏自相关函数 (PACF) 的统计特性: 时 间 模 型 的 建 立
-1
该随机过程应建模为（指出滞后阶数） MA(1) 过程.
27
下题中第一张为ACF图, 第二张为PACF图
1
0.5
0 12345678
-0.5
-1
1
0.5
0 12345678
-0.5
-1
该随机过程应建模为（不需指出滞后阶数） ARMA 过程.
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六.
平 稳 时 间 预 测
一. 条件期望预测 Xˆ t (l) = E( Xt+l | Xt , Xt−1 , Xt−2 ,L) 二. 条件期望的性质 三. 预测的三种形式
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季节差 分
季节差分运算（S 为周期）
∇sXt = Xt − Xt−s.
三
. 一. AR(n)模型
平
二. MA(m)模型
稳
时
三. ARMA(n, m)模型
间
序
at : WN (0,σ 2 )
列
E(at ) =
0,
Var(at )
=
σ
2 a
,
E(atas ) =
0,
s
≠
t
模
型
20
一. AR(n)模型
• 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期 长度的差分运算，通常可以较好地提取周期 信息.
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四少都具有周期性.
设 Xt 为一含有周期为S 的周期性波动序列，则 Xt, Xt+s, Xt+2s, … 为各相应周期点的数值，它们 则表现出非常相近或呈现某一趋势的特征，如 果把每一观察值同下一周期相应时刻的观察值 相减，这就叫季节差分. 季节差分可以消除周期性的影响.
列
五. 随机游走(Random Walk)序列
简
介
3
一.时间序列的定义
1. 从统计的角度讲: 时间序列是某一个指标在不同 的时间上的不同数值按时间先后顺序排成的序列.
2. 从数学意义上讲: 时间序列是一组随机变量 X(t) (或一个随机过程) 在一系列时刻 t1, t2, t3, …, tN (t1 < t2 < …< tN) 的一 次样本实现. 3. 从系统意义上讲: 时间序列是某一系统在不同 时间（条件）下的响应.
时间序列分析 知识点总结
本课程主要内容
• 时间序列简介 • 时间序列的预处理 • 平稳时间序列模型 • ARMA模型的特性 • 平稳时间序列模型的建立 • 平稳时间序列预测
一
一. 时间序列的定义
. 二. 时间序列的主要分类
时
间
三.宽平稳(Weak Stationary)
序
四. 白噪声序列(White Noise)
∇2 Xt = ∇Xt − ∇Xt−1
依此类推，对 d 1 阶差分后序列再进行一 次1 阶差分运算称为 d 阶差分:
∇d X t = ∇d −1 X t − ∇ d −1 X t −1
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二. 后移算子(Backshift Operator)
v后移算子类似于一个时间指针，当前序列值 乘以一个后移算子，就相当于把当前序列值 的时间向过去拨了一个时刻.
4
二. 时间序列的主要分类
按序列的统计特性分: 平稳序列, 非平稳序列.
u平稳序列：时间序列的统计特性不随时间 而变化。
u非平稳序列：时间序列的统计特性随时间
而变化。
平稳时间序列
严平稳序列 宽平稳序列
5
三.宽平稳(Weak Stationary)
• 满足如下条件的序列称为宽平稳序列
(1)
E
(
X
2 t
d
∑ = [1 +
(−1)
k
C
k d
B
k
]
X
t
k=1
其中
Cdk
=
d! k !(d −
. k)!
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三. 差分方式的选择
• 序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可 以实现趋势平稳 ;
• 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三 阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响;
• 一般而言，若序列具有二次趋势，则两次差 分后可变换为平稳序列;
n
n
∑ ∑ (5) (1 − B)n =
(−1)i Cni Bi = 1 +
(
−1)i
C
i n
B
i
,
i=0
i =1
其中
C
i n
=
n! i !(n − i)! .
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二者的关系
∇Xt = Xt − Xt−1 = X t − BX t = (1 − B) X t
⇒ ∇ =1− B
从而
∇d X t = (1 − B)d X t
用差分方程形式进行预测
作超前一步和两步预测 给出95%的置信区间
29
X at
t
=
ϕ 1
X
t
−1
+ϕ 2
:
WN
(0,σ
2 a
)
Xt−2
+L
+
ϕ n
X
t−n
+
at

E
(
X
sat
)
=
0,
∀s
<
t
AR 模型描述的是系统对过去自身 状态的记忆.
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二. MA(m)模型

X a
t
t
= at − θ1at : WN (0,σ
−1
2)
a
−
θ
2at
−2
−L
− θmat −m
6
严平稳与宽平稳的关系
• 一般关系 – 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下, 严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立, 而宽平稳序列不能反推严平稳成立;
严平稳
低阶矩存在
宽平稳
7
四. 白噪声序列 (White Noise)
• 白噪声序列{at} 也称为纯随机序列, 它 满足如下两条性质 :
(1) Eat = 0 , ∀t ∈T
MA 模型描述的是系统对过去时刻进 入系统的噪声的记忆
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三. ARMA(n, m)模型

Xt
=
ϕ 1
X
t
−1
+L + ϕn Xt−n
at
:
WN
(0,
σ
2 a
)
+
at
− θ1at−1
−L −θmat−m
E ( Xs ⋅ at ) =0, ∀s < t
ARMA 模型则是系统对过去自身状态以及各 时刻进入的噪声的记忆。
二. 后移算子
间
X t = X t −1 + at Var( X t ) = ∞
其中: at 为白噪声序列, 那么就称该模型为随机游 走模型, 这样的时间序列称随机游走过程.
序
三. 差分方式的选择
列
的
四. 季节差分
预
注意: 随机游走过程是非平稳时间序列.
处
理
9
10
时间序列的非平稳性及处理方法 1. 均值非平稳：差分 2. 方差和自协方差非平稳：Box-Cox变换
)
<
∞,
∀t
∈T.
方差有界
(2) E( Xt ) = µ , µ 为常数, ∀t ∈ T . 均值为常数
(3) γ (t, s) = γ (t + h, s + h) = γ (s − t, 0), ∀t, s, h 且 s − t ∈ T .
自协方差函数只依赖于时间的间隔 长度, 而与时间的起止点无关
(2)
γ
(t,
s)
=
σ 2 , 0,