江西省南昌三中2014届高三数学8月第一次月考试题 理 新人教A版

南昌三中2013—2014学年度上学期第一次月考
高三数学（理）试卷
一、选择题：（每题5分，共50分） 1.已知集合A ={0,1,2},则集合B =
{}
,x y x A y A -∈∈中元素的个数是
（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9 2.
命
题
“
对
任
意
x R
∈,都有
20
x ≥”的否定为
（ ）
A ．对任意x R ∈,都有2
0x < B ．不存在x R ∈,都有2
0x <
C ．存在0x R ∈,使得200x ≥
D ．存在0x R ∈,使得200x <
16．已
知
i 是
虚
数
单
位
,
则
=-+-)2)(1(i i
（ ） A ．i +-3 B ．i 31+- C ．i 33+- D ．i +-1
4.
函
数
y=
ln(1-x)
的
定
义
域
为
（ ）
A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
5.已知 a b c R ∈、、,“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件 6.极
坐
标
方
程
cos 2sin 2ρθθ
=表示的曲线为
（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆 7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足 212
(log )(log )2(1)
f a f f a ≤+, 则
a
的取值范围是
（ ） A ．[1,2]
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
8.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4
秒内任
一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第
一次闪 亮的时刻相差不超过2秒的概率是
（ ） A ．
14
B ．
12
C ．
34
D ．
78
9.设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ）
A ．()0()g a f b <<
B ．()0()f b g a <<
C ．0()()g a f b <<
D ．()()0f b g a <<
10.设点P 在曲线12
x
y e =上，
点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为 （ ）
()A 1ln 2- ()B ln 2)- ()C 1ln 2+ ()D ln 2)+
二、填空题：(每题5分，共25分)
11.设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则a 、b 、c 的大小关系为 12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2
-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 .
13.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x
f e x e =+,则(1)f '=______________．
14.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当
10x -≤≤时,()f x =________________.
15.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
cos 4ρθ=的直线与曲线2
3
x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 三、解答题：(共75分)
16. （本题满分12分）已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，若A B ，求实数a 的
范围．
17.（本题满分12分）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x. ①求f(x);
②求f(x)在区间[-1，1]上的最大值和最小值.
18.（本题满分12分）已知命题p ：x 1、x 2是方程x 2
-mx-2=0的两个实根，不等式a 2
-5a-3≥21x x -对任意实数m∈[-1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2
+2x-1>0有解。

若命题
p 是真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围。

19.（本题满分12分）在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.
20.（本题满分13分）已知函数b
x a x f --=21
)(是偶函数，a 为实常数。

（1）求b 的值；
（2）当a=1时，是否存在,m n （0>>m n ）使得函数()y f x 在区间[]m n ， 上的函数
值组成的集合也是[]m n ，，若存在，求出m ，n 的值，否则，说明理由； （3）若在函数定义域内总存在区间[]m n ，(m<n)，使得()y f x 在区间[]m n ， 上的函数
值组成的集合也
是
[]m n ，，求实数a 的取值范围．
21.（本题满分14分）已知函数f (x )＝x 2
＋2a x
(a ∈R)．
(1)若f (x )在x ＝1处的切线垂直于直线x －14y ＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )≤a 2
－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围．
南昌三中2013—2014学年度上学期第一次月考
高三数学（理）答卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
二．填空题（每小题5分，共25分）
11、 . 12、 . 13、 . 14、 . 15、 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本题满分12分）已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，若A B ，求实数a 的
范围．
17.（本题满分12分）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x. ①求f(x);
②求f(x)在区间[-1，1]上的最大值和最小值.
18.（本题满分12分）已知命题p ：x 1、x 2是方程x 2
-mx-2=0的两个实根，不等式a 2
-5a-3≥21x x 对任意实数m∈[-1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2
+2x-1>0有解。

若命题
p 是真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围。

19.（本题满分12分）在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.
20.（本题满分13分）已知函数b
x a x f --
=21
)(是偶函数，a 为实常数。

（1）求b 的值；
（2）当a=1时，是否存在,m n （0>>m n ）使得函数()y
f x 在区间[]m n ， 上的函数
值组成的集合也是[]m n ，，若存在，求出m ，n 的值，否则，说明理由； （3）若在函数定义域内总存在区间[]m n ，(m<n)，使得()y f x 在区间[]m n ， 上的函数
值组成的集合也是[]m n ，，求实数a 的取值范围．
21.（本题满分14分）已知函数f (x )＝x 2
＋2a x
(a ∈R)．
(1)若f (x )在x ＝1处的切线垂直于直线x －14y ＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )≤a 2
－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围．
高三年级第一次月考数学试卷（理）参考答案
一、选择题：CDBBD CCCAB
二、填空题：11.a > b > c 12.()()+∞-,50,5 13.2 14.(1)
()2
x x f x +=- 15.16 三、解答题：16.解：∵B ＝{x |－1<x <1}． （1）当a ＝0时，A ＝∅，∴满足A B.
(2)当a >0时，A ＝}21|{a x a x <<，∵A B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥1211
a
a
∴，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |2a
<x <1a .
∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2
a ≥－1
1
a ≤1
，∴a ≤－2. 综上可知：a ＝0或a ≥2或a ≤－2.
17.解：①设函数f(x)=ax 2
+bx+c(a≠0)∵f(0)=1, ∴c=1；∵f（x+1）-f(x)=2x ∴a(x+1)2
+b(x+1)+1-(ax 2
+bx+1)=2x 即：2ax+a+b=2x
∴220
a a
b =+=⎧⎨
⎩ ∴11
a b ==-⎧⎨
⎩ ②f(x)=x 2
-x+1，y min =f(
12
)=
34
,y max =f(-1)=3
18.解：∵1x ，2x 是方程x 2
-mx-2=0的两个实根，∴1x ＋2x =m ，1x 2x =－2，∴｜1x －
2x ，又m∈[-1,1]，∴｜1x －2x |的最大值等于3。

由题意得到：a 2
-5a-3≥3 ⇒ a≥6，a≤－1；命题p 是真命题时，a≥6，a≤－1。

命题q ：(1)a>1时，ax 2
+2x-1>0显然有解；(2)a=0时，2x-1>0有解；(3)a<0时，△=4＋4a>0，
⇒－1<a<0………9分；从而命题q 为真命题时：a>－1
∴命题p 是真命题，命题q 为假命题时实数a 的取值范围是 a≤－1
19.解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手. 观众甲选中3
号歌手的概率为
32,观众乙未选中3号歌手的概率为53-1. 所以P(A) = 15
4
53-132=⋅）（
. 因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为15
4
(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3. 观众甲选中3号歌手
的概率为
32,观众乙选中3号歌手的概率为5
3
. 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) = 75
4
)531()321(2=-⋅-. 当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,
这时X=1,P(X = 1) =
75
20
7566853)531(321()531(53321()531(322=
++=⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅））. 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,
P(X = 2) =
75
33
751291253)531(325353321()531(5332=
++=⋅-⋅+⋅⋅-+-⋅⋅）. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = 75
18
)53(322=⋅.
X 的分布列如下表:
15
28
755466207518375332752017540)(=
++=⋅+⋅+⋅+⋅
=X E ，所以,数学期望15
28)(=
X E 解：(1)由已知可得，1()|2|f x a x b =-
-，且函数的定义域为D =()()22
b b
-∞⋃+∞，，
． 又()y f x =是偶函数，故定义域D 关于原点对称．于是，b =0
(2
2
b
b
b D D D ≠∈∉否则，当0时，有-且，即必不关于原点对称)．又对任意
()()0.x D f x f x b ∈=-=，有，可得 因此所求实数b =0．
（2）由(1)可知， 1()((0)(0))2||
f x a D x =-
=-∞⋃+∞，，． 由1
()2||
f x a x =-
的图像，可知：
()(0)f x +∞在区间，上是增函数，()()f x -∞在区间，0上是减函数
又0>>m n ，∴()y
f x 在区间[]m n ，上是增函数。

∴有 ,211211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-=-n n
m m
即方程
x x
=-
21
1， 01222=+-x x ∵084<-=∆，∴不存在正实数m,n ，满足题意。

(3) 由(1)可知， 1
()((0)(0))2||
f x a D x =-=-∞⋃+∞，，．1()2||f x a x =-的图像，知
()(0)f x +∞在区间，上是增函数，()()f x -∞在区间，0上是减函数因()y
f x 在区间[]m n ，上的函数值组成的集合也是[]m n ，，故必有m n 、同号． ①当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是增函数，有1212a m m a n
n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即方程12x a x =-，
22210x ax -+=有两个不相等的正实数根，因此2
20
480
a a >⎧⎨∆=->⎩，解得2a >． ②当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是减函数，有1212a n m a m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，化简得
()0m n a -=， 0a =. 综上， 02a a a =>的取值范围是或
21.解：(1)f ′(x )＝2x －2a
x
2，根据题意f ′(1)＝2－2a ＝－14，解得a ＝8，此时切点坐标是
(1,17)，故所求的切线方程是y －17＝－14(x －1)，即14x ＋y －31＝0.当a ＝8时，f ′(x )
＝2x －16x 2＝2x 3
－8x
2
， 令f ′(x )>0，解得x >2，令f ′(x )<0，解得x <2且x ≠0，故函数f (x )的单调递增区间
是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0,2)．
(2)f ′(x )＝2x －2a x 2＝2x 3
－a
x
2
. ①若a <1，则f ′(x )>0在区间[1,2]上恒成立，f (x )在区间[1,2]上单调递增，函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (2)＝4＋a ；
②若1≤a ≤8，则在区间(1，3a )上f ′(x )<0，函数单调递减，在区间(3
a ，2)上
f ′(x )>0，函数单调递增，故函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (1)，f (2)中的较大者，f (1)－f (2)＝1＋2a －4－a ＝a －3，故当1≤a ≤3时，函数的最大值为f (2)＝4＋a ，当3<a ≤8
时，函数的最大值为f (1)＝1＋2a ；
③当a>8时，f′(x)<0在区间[1,2]上恒成立，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，函数的最大值为f(1)＝1＋2a.
综上可知，在区间[1,2]上，当a≤3时，函数f(x)max＝4＋a，当a>3时，函数f(x)max ＝1＋2a.
不等式f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2]上，f(x)max≤a2－2a＋4，故当a≤3时，4＋a≤a2－2a＋4，即a2－3a≥0，解得a≤0或a＝3；当a>3时，1＋2a≤a2－2a＋4，即a2－4a＋3≥0，解得a>3.
综合知当a≤0或a≥3时，不等式f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立．。