2019年高考数学文科：函数﹑基本初等函数的图像

1．函数y ＝
x ＋x －2
的定义域是( )
A ．(－1，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．(－1,2)∪(2，＋∞)
D ．[－1,2)∪(2，＋∞)
【解析】选C.由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧
x －2≠0
x ＋1＞0
，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为
(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.
11．函数y ＝log 3
x －
的定义域为( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞
D.⎝⎛⎭⎫12，1
【解析】由log 3(2x －1)≥0得2x －1≥1，x ≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A. 【答案】A
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12x ，x >0，
3x ，x ≤0，
则f (f (4))的值为( ) A ．－1
9
B ．－9 C.19
D ．9
【答案】C
13．函数y ＝lg|x |( )
A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
【解析】因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称，可得y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.
【答案】B
14．函数f (x )＝2|log 2x |－⎪⎪⎪
⎪x －1
x 的图象为( )
【答案】D
15．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 89
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列{x n}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(x n，x n＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 017＝()
A．7 554 B．7 540
C．7 561 D．7 564
【解析】∵数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点(x n，x n＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，∴x n＋1＝f(x n)，∴由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，…，∴数列{x n}是周期为4的周期数列，∴x1＋x2＋…＋x2 017＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＝504×15＋1＝7 561.故选C.
【答案】C
16．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝log a(x＋b)的图象可能是()
【解析】由题图可知0<a<1,0<b<1.故选C.
【答案】C
17．已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，
c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．c <b <a
【解析】因为f (x )为偶函数，故f (－4)＝f (4)．因为(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (－4)＝f (4)>f (3)>f (1)，即a >c >b ，故选C.
【答案】D
24．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )
【答案】A
25．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2
D ．x ＝－2
【解析】∵f (2x ＋1)是偶函数，∴f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)⇒f (x )＝f (2－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，故选A.
【答案】A
26．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，
b ＝(lnπ)2，
c ＝ln π，则( )
A ．f (a )>f (b )>f (c )
B ．f (b )>f (a )>f (c )
C ．f (c )>f (a )>f (b )
D ．f (c )>f (b )>f (a )
【解析】由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又
∵|a |＝lnπ>1，b ＝(lnπ)2>|a |,0<c ＝lnπ
2<|a |，∴f (c )>f (|a |)>f (b )．又由题意知f (a )＝f (|a |)，∴f (c )>f (a )>f (b )，故
选C.
【答案】C
27． “a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
28．函数f (x )＝1
x
＋ln|x |的图象大致为( )
【解析】当x <0时，函数f (x )＝1x ＋ln(－x )，易知函数f (x )＝1
x ＋ln(－x )在(－∞，0)上递减，排除C ，D ；
当x >0时，函数f (x )＝1x ＋ln x ，f (2)＝1
2
＋ln2≠2，故排除A ，故选B.
【答案】－2
37.若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.
【解析】当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，
因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 【答案】(0，1]
38.已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立.当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2
时，都有f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＜0，给出下列命题：
①f (2)＝0；
②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
【答案】①②④
39.定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a
2x (a ∈R).
(1)写出f (x )在[0，1]上的解析式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值.
【解析】(1)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1，
42．已知函数f (x )＝x 2＋a
x (x ≠0，a ∈R)．
(1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．
43．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)证明：f(x)是奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
【解析】(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，
∴f(x)是奇函数．
44．已知函数f (x )＝e x －e －
x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．
(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵f (x )＝e x
－⎝⎛⎭
⎫1e x
，且y ＝e x
是增函数， y ＝－⎝⎛⎭⎫1e x
是增函数，∴f (x )是增函数． ∵f (x )的定义域为R ， 且f (－x )＝e －
x －e x ＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数．
(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数， 由f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对x ∈R 恒成立， 则f (x －t )≥f (t 2－x 2)．
∴t 2
－x 2
≤x －t ⇔x 2
＋x ≥t 2
＋t 对x ∈R 恒成立⇔⎝⎛⎭⎫t ＋122≤⎝⎛⎭
⎫x ＋1
22
min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝⎛⎭
⎫t ＋122
≤0⇔t ＝－1
2
. 即存在实数t ＝－1
2，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。