第二章 概率复习与小结

第二章 概率复习与小结
编写人： 编号：012
学习目的
〔1〕通过实际问题，借助直观〔如实际问题的直方图〕，理解什么是正态分布曲线和正
态分布；
〔2〕认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；
〔3〕会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．
学习过程：
一、预习：
〔一〕1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；
2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下〔单位：cm 〕：
164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178
164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181
181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174
159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172
163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171
185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172
179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182
上述数据的分布有怎样的特点？
〔二〕归纳总结：
1． 正态密度曲线：函数 的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参
数〔 0σ>，R μ∈〕．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
2．正态密度曲线图象的性质特征：
〔1〕当x μ<时， ；当x μ>时， ；当曲线向左右两边无限延伸时，
以 为渐进线；
〔2〕正态曲线关于直线 对称；
〔3〕σ越 ，正态曲线越扁平；σ越 ，正态曲线越尖陡；
〔4〕在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为 ．
3．正态分布：
假设X 是一个随机变量，
，
我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为2
~(,)X N μσ．
4． 正态总体在三个特殊区间内获得的概率值：详细地，如下图，随机变量X 取值
〔1〕落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为
即()0.683P X μσμσ-<≤+=；
〔2〕落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约
为 ，即(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；
〔3〕落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为 ，即
(33)0.997P X μσμσ-<≤+=．
5． 3σ原那么： 服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，
并简称为3σ原那么．
6．标准正态分布：
μ就是随机变量X 的均值，2σ就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平
均大小和稳定程度．我们将正态分布 称为标准正态分布．通过查标准正态分布表
可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．
7．非标准正态分布转化为标准正态分布：
非标准正态分布2~(,)X N μσ可通过X z μ
σ-=转化为标准正态分布z ～N(0,1)．
练习
1、给出以下三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ 〔１〕),(,21
)(22+∞-∞∈=-x e x f x π
〔２〕),(,221)(8)1(2
+∞-∞∈=--x e x f x π 〔３〕22(1)(),(,)
x f x x -+=∈-∞+∞ 2、一台机床消费一种尺寸为10mm 的零件，如今从中抽测10个，它们的尺寸分别如
下〔单位：mm 〕：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，假如机床消费零
件的尺寸Y 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．
二、课堂训练：
例1．假设随机变量~(0,1)Z N ，查标准正态分布表，求：
〔1〕( 1.52)P Z ≤； 〔2〕( 1.52)P Z >；
〔3〕(0.57 2.3)P x <≤； 〔4〕( 1.49)P Z ≤-．
例2．在某次数学考试中，考生的成绩ζ服从一个正态分布，即ζ～N(90,100).
〔1〕试求考试成绩ζ位于区间(70,110)上的概率是多少？
〔2〕假设这次考试共有2021名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为
π21，求总体落
入区间〔－1.2，0.2〕之间的概率
三、课后稳固：
1、一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～〔100，52〕，据此估计，大约应有57人的
分数在以下哪个区间内？〔〕
A.(90,110]
B. (95,125]
C. (100,120]
D.(105,115]
2、X～N (0,1)，那么X在区间〔－∞，－2〕内取值的概率等于〔〕
A.0.9544
B.0.0456
C.0.9772
D.0.0228
3、设离散型随机变量X～N(0,1),那么P(x≤0)＝,
4、假设正态总体落在区间〔0.3，+∞〕的概率为0.5，那么相应的正态曲线在x= 时到达最高点。

5. 正态总体的数据落在〔-3,-1〕里的概率和落在〔3,5〕里的概率相等，那么这个正态总
体的数学期望是。

6. 假设X～N(5,1),求P(6<X<7).。