核衰变统计规律

实验二 核衰变的统计规律
实验人：*** 合作者：*** 实验时间：2011/06/03
一、引言
对核衰变产生的射线可用计数方式测量。

然而多次测量相同时间间隔内的计数，即使保持相同的实验条件，每次测量的结果并不相同，而是围绕某一平均值上下涨落，反映出核衰变的随机性
二、实验目的
1、了解并验证原子核衰变及放射性计数的统计性
2、了解统计误差的意义，掌握计算统计误差的方法
3、学习检验测量数据的分布类型的方法
三．原理
1．放射性测量的随机性和统计性
在做重复的放射性测量中，即使保持完全相同的实验条件（例如放射性的半衰期足够长，因此在实验时间内可以认为其强度基本上没有变化；源与计数器的相对位置始终保持不变；每次测量时间不变；测量仪器足够精确，不会产生其它的附加误差等等），每次的测量结果并不完全相同，而是围绕其平均值上下涨落，有时甚至有很大的差别，也就是说物理实验的测量结果具有偶然性，或者说随机性。

物理测量的随机性产生原因不仅在于测量时的偶然误差，而且更是物理现象(当然包括放射性核衰变)本身的随机性质，即——物理量的实际数值时刻围绕着平均值发生微小起伏。

在微观现象领域，特别是在高能物理实验中，物理现象本身的统计性更为突出。

按照量子力学的原理，对处于同一个态的微观粒子，测量同一个可观测的物理量时，即使不存在任何测量误差，各次测量结果也会不同，除非粒子处于这个可观测量的本征态；比如同一种粒子的寿命，其实测值分布在从相当短到相当长的范围内。

另一方面，所谓偶然的东西，是一种有必然性隐藏在里面的形式；我们正是要通过研究其统计分布规律从而找出在随机数据中包含的规律性。

2．核衰变数的统计分布
放射性原子核衰变数的统计分布可以根据数理统计分布的理论来推导。

放射性原子核衰变的过程是一个相互独立彼此无关的过程，即每一个原子核的衰变是完全独立的，与其他原子核是否衰变无关；因此放射性原子核衰变的测量计数可以看成是一种伯努里试验问题。

在N 0个原子核的体系中，单位时间内对于每个原子核来说只有两种可能：A 类是原子核发生衰变，B 类是没有发生核衰变。

若放射性原子核的衰变常数为λ，设A 类的概率为)1(t
e p λ--=，其中)1(t e λ--为原子核发生衰变的概
率；B 类的概率为
t
e p q λ-=-=1。

由二项式分布可以知道，在t 时间内的核衰变数n 为一随机变量，其概率)(n P 为
()n
N n p p N n N N n P ---=
0)1(!)!(!
00 （2—1）
在t 时间内，衰变粒子数为：
)
1(00t e N p N m λ--==，对应方根差为
)
1(0p m pq N -=
=
σ。

假
如1<<t λ，即时间t 远比半衰期小，这时q 接近于1，则σ
可简化为m =σ。

在放射性衰变中，原子核数目N 0很大而p 相对而言很小，且如果满足1<<t λ，则二项式分布可以简化为泊松分布；因为此时00N p N m <<=，对于在m 附近的N 值可得到：
n
N n N N N N n N N 0000000)1()2)(1()!(!
≈+---=-
000)()1(pN n N p n N e e p ----=≈-
代入(1)式并注意到
p N m 0=，就得到
()m n pN n n
e
N m e p N N N P --==!!00 （2—2）
即为泊松分布。

可以证明，服从泊松分布的随机变量的期望值和方差分别为：m x E =)(，
m =2σ。

在核衰变测量中常数
p
N m 0=的意义是明确的：单位时间内，N 0个原子核发生衰变概率p 为m/N 0，因此m 是单位时
间内衰变的粒子数。

现在讨论泊松分布中N 0很大从而使m 具有较大数值的极限情况。

在n 较大时，n ！可以写成
n
n e n n n -=π2!代入式（2—2），并记m n -=∆，则有：
()2
/12/1)/1(1
2)(21!+∆+∆-+-∆+=≈=m m n n m n m m e e n m m e n m n P ππ （2—3）
经过一系列数学处理，可以得到m
m e m 22
/12
)1(∆+∆+∆+≈∆+。

所以有：
()]
2)(exp[21
2122
22σππm n m e
m
N P m
--==
∆-
（2—4）
式中m =2
σ。

即当N 很大时，原子核衰变数趋向于正态分布；可以证明2σ和m 就是高斯(正态)分布的方差和
期望值。

需要指出的是，正态分布是一种非常重要的概率分布，在近代物理实验中，凡是属于连续型的随机变量几乎都属于正态分布。

在自然界中，凡由大量的、相互独立的因素共同微弱作用下所得到的随机变量也都服从正态分布。

即使有些物理量不服从正态分布，但它(或它的测量平均值)也往往以正态分布为它的极限分布，泊松分布就是一个很好的例子。

上面讨论原子核衰变的统计现象，下面我们分析在放射性测量中计数值的统计分布。

可以证明，原子核衰变的统计过程服从的泊松分布和正态分布也适用于计数的统计分布，只需将分布公式中的放射性核衰变数n 换成计数N ，将衰变掉粒子的平均数m 换成计数的平均值M 就可以了。

M
N e
N M N P -=!)( （2—5）
2
22)(21)(σσ
πM N e
N P --
=
（2—6）
对于有限次的重复测量，例如测量次数为A ，则标准偏差S x 为：
1
)
(1
2
--=
∑=A N N S A
i i
x （2—7）
其中
∑===A
i i
N A M N 11，为测量计数的平均值。

可以证明N 为正态分布期望值的无偏估计，x S 为正态分布方差的渐进无偏估计（即当∞→N ，2
σ→x S ）。

当A 足够大时，
M S x ==σ，即M =2
σ。

当M 值较大时，2σ也可用某一次计数值N 来近似，即N ≈2σ，
N ≈σ。

由于核衰变的统计性，我们在相同条件下作重复测量时每次测量结果并不完全相同，围绕着平均计数值M 有一个涨落，其大小可以用均方根差σ来表示。

众所周知，正态分布决定于平均值M 及方差σ这两个参数，它对称于N N =。

对于0=N ，1=σ则称
为标准正态分布：
2
2
21)1,0;(z e
z n -
=
π
（2—8）
正态分布数值表都是对应于标准正态分布的。

如果对某一放射源进行多次重复测量，得到一组数据，其平均值为N ，那么计数值N 落在σ±N
（即
N N ±）范围内的概率为：
⎰
⎰
+---
+-=N
N
N N N N dN
e
dN N P 22)(21)(σσ
σ
π
（2—9）
用变量
σ
N
N z -=
来代换化成标准正态分布并查表，上式即为：
⎰
--
=1
1
2
683
.0212
dz e
z π
（2—10）
这就是说，在某实验条件下对某次测量若计数值为N 1，则可以认为N 1落在σ±N
（即N N ±）范围内的概
率为68.3%，或者说在N N ±
1范围内包含真值的概率是68.3%。

在实际运算中由于出现概率较大的计数值与
平均值N 的偏差不大，我们可以用1N 来代N ；因此对于单次测量值N 1，可以近似地说在11N N ±范
围内包含真值的概率是68.3%，这样一来用单次测量值就大体上确定了真值的范围。

这种由于放射性衰变的统计性引起的误差称之为统计误差。

由于放射性统计涨落服从正态分布，所以用均方根偏差（也称标准误差）N ≈σ来表示。

当采用标准误差表示放射性的单次测量值N 1时，则可以表示
为：1111N N N N N ±≈±
=±σ。

用数理统计的术语来说，将68.3%称为“置信概率”（或“置信度”），相应的“置信区间”为σ±N ；同理可证
当“置信区间”为σ2±N
、σ3±N 时的置信概率为95.5%、99.7%。

3．2χ检验法
放射性核衰变的测量计数是否符合正态分布或泊松分布或者其他的分布，是一个很重要的问题，牵涉到对随机变量的概率密度函数的假设检验问题。

简单地判断实验装置是否存在除统计误差外的偶然误差因素，可以计算平均值与子样方差，比较两者的偏离程度即可。

而放射性衰变是否符合于正态分布或泊松分布，可由一组数据的频率直方图与理论正态分布
或泊松分布比较得到一个感性认识。

而2
χ检验法是从数理统计意义上给出了比较精确的判别准则。

它的基本
思想是比较理论分布与实测数据分布之间的差异，然后根据概率意义上的反证法即小概率事件在一次实验中不会发生的基本原理来判断这种差别是否显著，从而接受或拒绝理论分布。

设对某一放射源进行重复测量得到了A 个数值，对它们进行分组，序号用i 表示，i=1，2，3 m ，令：
∑=''-=m
i i
i i
f f f 12
2)(χ，
其中m 代表分组数，f i 表示各组实际观测到的次数，f i ’为根据理论分布计算得到的各组理论次数。

理论次数可以从正态分布概率积分表上查出各区间的正态面积再乘以总次数得到。

可以证明2χ统计量服从2χ分布，其自由度为1--l m ，l 是在计算理论次数时所用的参数个数：对于具
有正态分布的自由度为m —3，泊松分布为m —2。

与此同时，2χ分布的期望值即为其自由度：
12--=>=<l m νχ。

得到根据实测数据算出的统计量2
χ后，比较的方法为先设定一个小概率α，既显著
水平，由2χ分布表找拒绝域的临界值，若计算量2χ落入拒绝域即2χ≥2χ1—
α(
1--l m )，则拒绝理论分布；反之则接受。

四、实验结果分析与数据处理
1． 对所测数据分别计算平均值与子样方差，并求出标准误差，对实验装置是否存在统计误差以外的偶然误差因素作出判断。

1. 对测放射源所得数据作如下处理： ①作频率直方图
这是一种简单直观的检验方法。

把一组测量数据按一定的区间分组，统计测量结果出现在各区间内的次数i f 或频率（i f /总次数A ），以次数i f 或频率i f /A 为纵坐标，以测量值为横坐标，这样作出的图形在统计上称为频率直方图。

将此图与理论的正态分布比较，就能粗略看放射性衰变的计数分布是否是正态分布。

本实验中，测得A 个数据后，计算算术平均值N 和均方根差的估计值S x ：
1
)
(1
2
--=
∑=A N N S A
i i
x
（A 为总测量次数），将平均值N 置于中央，以2/x S 为组距把数据分组，算出相应的实验组频率A f i /，以
x S N N /)(-为横坐标，组频率为纵坐标，作直方图。

②画出相应的理论分布曲线
若计数值服从正态分布，则可算出以2/x S 为组距的各个相应的理论组的频率
i P '
，并画于图中。

()dN
S N N N S P x x
i ]2exp[212
2
2
--
='
（2—11）
令
x S N N x -=，则x i S dN x N P )2exp(212-='；因2x
S dN =
，故 ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-='
2exp 221
2x N P i （2—12） ③计算测量数据落在σ±N 、σ2±N 、σ3±N 范围内的频数，并与理论值作比较。

④对此组数据进行2
χ检验。

2. 作本底的实验及理论分布曲线，并对此作2
χ检验。

正确表示测得的单次计数值与平均计数值。

【数据处理及分析】
一、画出实验仪器连接方框图：
图 1
二、测量泊松分布
选择通道C ，低电平-5V ，探头X1，计数次数C=1500，范围H255~L55计数时间T=2.0S ，间隔时间D=1.0
s ，工作电压为1233V 。

测量数据如下错误！未找到引用源。

：
表格 1 泊松分布数据记录
计数N/2s 0 1 2 3 4 5 6 7 8
总计数：1579
（1）、由上表可得,平均值: ∑===A
i i N A m N 1
1=7.5
m =2σ=7.5 m =σ=2.739
（2）、求χ2分布
∑==-=
A
i
N
N Ni 1
2
2
)(χ
45.333
χ2的自由度为A-1=1578。

（3）、本实验中，测得A 个数据后，计算算术平均值 和均方根差的估计值Sx ：
344.31
1500397
.82371
)(1
2
=-=
--=
∑=A N N S A
i
i x
（4）、用origin8.0作图：
050
100
150
200
250
300
次数
计数率
图 2 泊松分布
以
2
Sx 为组距，算出相应的实验组频率
，如下表
f 1A
表格 2
Sx N N i -
N i <1.5 -1.866 51 0. 1.5<N i <3.5 -1.45 308 0. 3.5< Ni <5.5 -1.035 522 0. 5.5< Ni <7.5 -0.619 435 0. 7.5< Ni <9.5 -0.20322 206 0. 9.5< Ni <11.5 0. 43 0. 11.5< Ni <13.5 0. 11 0. 13.5< Ni <15.5
1. 3 0.
总计
0.
1579
1
作频率直方图(以（N i -⎺N ）/S x 为横坐标，组频率f i /A 为纵坐标)如下
0.00
0.050.100.150.20
0.250.300.35次
数计数率
图 3 频率直方图
拟合结果如下所示
i
N i
f f 1
A
图 4 拟合结果分析
由拟合结果可知，拟合度R 2=0.99015，拟合程度非常好
三、测量高斯分布。

选择通道C ，低电平-5V ，探头X1，计数次数C=1500，范围H255~L55计数时间T=3.0S ，间隔时间D=2.0 s ，工作电压为1300V 。

测量数据如下：
表格 3 高斯分布数据记录
计数N/2s
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
次数
n
3 6 7 11 19 29 4
4 42 82 91 100 108 14
5 143 119 P （N ）/%
0.20 0.40 0.47 0.73 1.27 1.94 2.96 2.82 5.51 6.11 6.72 7.26 9.74 9.61 7.99 计数
N/2s
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 38 40 次数n
101 98
75 58 57 52 28 13 18 13 9 8 3 3 3 P （N ）/%
6.79 6.59 5.04 3.90 3.83 3.49 1.88 0.87 1.21 0.87 0.60 0.54 0.20 0.20 0.20 总测量次数：1488次
直接用origin 对数据进行gauss 拟合，得到：
t i m e
Count
图 5 高斯分布
图 6 高斯分布分析
由分析结果可以知道，拟合相关系数R 2为0.96799，数据量足够大，放射性测量满足高斯分布。

（1）比较测量数据的标准偏差与标准误差，验证高斯分布
由标准偏差公式Origin 已经算出：
再以正态分布计算标准误差：
这两种方法计算得到的误差相差很大，说明测量中除统计误差外基本上存在其他偶然误差。

本实验中，测得A 个数据后，计算算术平均值 和均方根差的估计值Sx ：
7.2171
14881
77453.72851
)(1
2
=-=
--=
∑=A N N S A
i
i x
以
2
Sx 为组距，算出相应的实验组频率，如下表
表格 4 频率分组
Sx N N i -
N i <13.5 -1.866 16 0. 13.5<N i <16.5 -1.45 59 0. 16.5< Ni <19.5 -1.035 168 0. 19.5< Ni <22.5 -0.619 299 0. 22.5< Ni <25.5 -0.20322 407 0. 25.5< Ni <28.5 0. 274 0.
28.5< Ni <31.5 0. 167 0. 31.5< Ni <34.5
1.
59
0.
f 1A
i
N i
f f 1
A
34.5< Ni <37.5 1. 30 0. 37.5< Ni <40.5
1. 9 0. 总计
0.
1488
1
分组之后，以为X 轴，为Y 轴，利用Origin 作直方图，并再次进行高斯拟合，如下错误！未找到引用源。

所示
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
S x
N
N
i
-
图 7 分组频率直方图
由拟合结果可知，R 2=0.98438，分组之后拟合结果更加好
（5）、比较测量数据落在⎺N ±σ、⎺N ±2σ、⎺N ±3σ范围内的概率：
理论上，若计数值服从正态分布，则落在上述三个区间的概率分别为0.683，0.955，0.997，而实际所测数据，根据频率直方图可算得落在上述三个区间的概率为0.，0.，0.，在⎺N ±σ、⎺N ±2σ区间内比理论值偏小。

（6）、用χ2检验法检验统计分布类型：
χ
2
=
将数据分组，并计算 ，查表得到
，于是有下表：
表格 5
（注：其中m 代表分组数，f i 表示各组实际观测到的次数，f i ’为根据理论分布计算得到的各组理论次数。

理论次数可以从正态分布概率积分表上查出各区间的正态面积再乘以总次数得到。

可以证明2χ统计量服从
2χ分布，其自由度为1--l m ，l 是在计算理论次数时所用的参数个数：对于具有正态分布的自由度为m —3，
泊松分布为m —2。

与此同时，2χ分布的期望值即为其自由度：
12--=>=<l m νχ。

得到根据实测数据算出的统计量2χ后，比较的方法为先设定一个小概率α，既显著水平，由2χ分布表找拒绝域的临界值，若
计算量2χ落入拒绝域即2χ≥2χ1—α(1--l m )，则拒绝理论分布；反之则接受。

）。