2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题48直线与圆、圆与圆的位置关系

内切 d＝R－ r 一组实数解
内含 d＜ R－r 无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
高频考点一 直线与圆的位置关系问题 【例 1】 (1)已知点 M (a， b)在圆 O： x2＋ y2＝ 1 外，则直线 ax＋ by＝ 1 与圆 O 的位置关系是 ( )
A ．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
(2) 直线 y＝－
)
A.
－
33，
3 3
B.
－
3，0 ∪ 3
0，
3 3
C.
－
3， 3
3 3
D.
－ ∞，－
3 3
∪
33，＋ ∞
答案 (1)A (2)B 高频考点二 圆的切线与弦长问题
【例 2】 (1)(2016 ·全国Ⅰ卷 ) 设直线 y＝ x＋2a 与圆 C：x2＋ y2－ 2ay－ 2＝0 相交于 A，B 两点， 若|AB|＝2 3，
线 y＝ x＋ 2a 的距离为
d＝ |0－ a＋2a|＝
|a| .又由
|AB|＝ 2
2
2
3，得
2
3
2 ＋
2
|a|
2 ＝ a2＋ 2，解得
a2＝ 2，所以圆
2
的面积为 π (a2＋ 2)＝4π .
(2) 将圆的方程化为标准方程为 (x－ 3)2＋ (y－ 4)2＝ 5，则圆心为 (3， 4)，半径长为 5.
专题 48 直线与圆、圆与圆的位置关系
专题 48 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系 设圆 C：( x－ a)2＋ (y－b) 2＝r 2，直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0，圆心 C(a， b)到直线 l 的距离为 d，由 （ x－ a）2＋（ y－ b） 2＝ r 2， Ax＋ By＋ C＝ 0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为 Δ.
①－②得 2x－ y＝ 0，代入①得 x＝－ 1或－ 1， 5
∴两圆两个交点为
－
15，－
2 5
， (－ 1，－
2)．
过两交点圆中，以
－
15，－
2 5
， (－ 1，－
2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．
∴该圆圆心为
－ 3，－ 6 55
，半径为
－ 1＋ 1 5
2 ＋
2
－ 2＋ 2 5
2 ＝ 2 5 5，
答案 (1)2 2 (2)4 高频考点三 圆与圆的位置关系
【例 3】 (1)(2016 ·山东卷 )已知圆 M ： x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a＞0) 截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆
M 与圆 N： (x－1) 2＋ (y－ 1)2＝ 1 的位置关系是 (
)
A. 内切 B .相交 C.外切 D. 相离
与圆 C2 相外切，则实数 m＝ ________． (2) 两圆 x2＋ y2－6x＋ 6y－ 48＝ 0 与 x2＋ y2＋ 4x－ 8y－ 44＝0 公切线的条数是 ________．
高频考点四 直线与圆的综合问题 例 4、过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1，－ 7)的圆交 y 轴于 M 、 N 两点，则 |MN |等于 ( )
A ． 2 6 B． 8 C． 4 6 D ． 10 答案 C 解析 由已知，得 A→B＝ (3，－ 1)， B→C＝ (－ 3，－ 9)，则 A→B·B→C＝ 3×(－ 3)＋ (－ 1) ×(－ 9)＝ 0，所以 A→B ⊥B→C， 即 AB⊥ BC，故过三点 A、 B、 C 的圆以 AC 为直径，得其方程为 ( x－1)2＋ (y＋2) 2＝ 25，令 x＝ 0 得(y＋ 2)2 ＝ 24，解得 y1＝－ 2－ 2 6，y2＝－ 2＋ 2 6，所以 |MN |＝ |y1－ y2|＝ 4 6，选 C.
因为直线
l 与圆 C 交于两点，所以
|2k－ 3＋1| 1＋ k2 <1.
解得 4－ 3
7 4＋ <k< 3
7 .
所以 k 的取值范围为
4－
7， 4＋
7 .
3
3
(2) 设 M (x1， y1)，N(x2， y2)． 将 y＝ kx＋ 1 代入方程 (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 1，整理得 (1 ＋k2)x2－ 4(1＋ k)x＋ 7＝0.
件建立不等式解决．
【变式探究】 (1) “a＝ 3”是“直线 y＝ x＋ 4 与圆 (x－ a)2＋ (y－ 3)2＝ 8 相切 ”的(
)
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2) 若曲线 C1：x2＋ y2－ 2x＝0 与曲线 C2：y(y－mx－m)＝ 0 有四个不同的交点， 则实数 m 的取值范围是 (
根据均值不等式可知
ab≤
a＋b 2
2 ＝
94，
当且仅当 a＝ b 时等号成立 .
答案 (1)B (2)C
【举一反三】 (1)圆 (x＋ 2)2＋ y2＝ 4 与圆 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 9 的位置关系为 (
)
A ．内切 B．相交 C．外切 D．相离 (2) 过两圆 x2＋ y2＋ 4x＋ y＝－ 1， x2＋ y2＋ 2x＋ 2y＋ 1＝ 0 的交点的圆中面积最小的圆的方程为
所以 x1＋ x2＝
＋k 1＋ k2
，
x1x2＝
1
7 ＋
k2.
O→M ·O→N＝ x1x2＋ y1y2 ＝ (1＋ k2 )x1x2＋ k(x1＋ x2)＋1
4k ＋ k ＝ 1＋ k2 ＋ 8.
4k ＋k
由题设可得
1＋ k2 ＋ 8＝ 12，解得 k＝1，
所以直线 l 的方程为 y＝ x＋ 1.
故圆心 C 在直线 l 上，所以 |MN |＝2. 【举一反三】 (1) 过点 P(2,4)引圆 (x－1)2＋( y－1)2＝ 1 的切线，则切线方程为 __________________ ；
(2) 已知圆 C1： (x－ a)2＋ (y＋ 2)2＝ 4 与圆 C2： (x＋ b)2＋ (y＋ 2)2＝ 1 相外切，则 ab 的最大值为 (
)
6 A. 2
39 B. 2 C.4
D.2 3
解析 (1)∵圆 M ： x2＋ (y－a)2＝ a2，
∴圆心坐标为 M (0， a)，半径 r1 为 a， 圆心 M 到直线 x＋ y＝ 0 的距离 d＝ |a| ，
圆方程为
3 x＋5
2 ＋
6 y＋5
2 ＝
4 5.
答案
(1)B
(2)
3 x＋5
2 ＋
6 y＋5
2 ＝
4 5
规律方法 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般
不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去
x2， y2 项得到．
【变式探究】 (1) 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋ m2－5＝ 0 与圆 C2：x2＋ y2＋ 2x－ 2my＋ m2－ 3＝ 0，若圆 C1
________ ．
专题 48 直线与圆、圆与圆的位置关系
解析 (1)两圆圆心分别为 (－2， 0)和 (2， 1)，半径分别为 2 和 3， 圆心距 d＝ 42＋ 1＝ 17.
∵ 3－ 2<d<3＋ 2，∴两圆相交．
x2 ＋y2 ＋ 4x＋ y＝－ 1，
①
(2) 由 x2＋ y2＋ 2x＋ 2y＋ 1＝0， ②
4 3.
(3) ∵圆心到直线 ax－ y＋ 4＝0 的距离为 |aa＋2＋2|1，
∴
|a＋ 2| a2＋ 1
2 ＋
23 2
2 ＝ 4，解得
a＝－
3 4.
专题 48 直线与圆、圆与圆的位置关系
【变式探究】 (1)过点 (3， 1)作圆 ( x－ 2)2＋ (y－2) 2＝ 4 的弦，其中最短弦的长为 ________． (2) 过原点 O 作圆 x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ 20＝ 0 的两条切线，设切点分别为 P， Q，则线段 PQ 的长为 ________．
则圆 C 的面积为 ________. (2) 过原点 O 作圆 x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ 20＝ 0 的两条切线，设切点分别为
P， Q，则线段 PQ 的长为 ________.
解析 (1)圆 C：x2＋ y2－ 2ay－ 2＝0，即 C：x2＋ (y－ a)2＝ a2＋ 2，圆心为 C(0，a)，半径 r＝ a2＋ 2，C 到直
3 3 x＋ m 与圆
x2＋ y2＝ 1 在第一象限内有两个不同的交点，则
m 的取值范围是 (
)
A ． ( 3， 2) B． ( 3，3)
C.
33，
2 3
3
23 D. 1， 3
解析 (1)因为 M (a， b)在圆 O： x2＋y2＝1 外，所以 a2＋ b2＞ 1，而圆心 O 到直线 ax＋ by＝ 1 的距离 d＝
答案 x＝ 2 或 4x－ 3y＋4＝ 0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝ 2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符
合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 y－4＝ k(x－ 2)，即 kx－y＋ 4－ 2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直
|a·0＋ b·0－ a2＋ b2
1|＝
a
1 2＋
b
2＜
1
，故直线与圆
O 相交．
(2) 当直线经过点 (0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距
离 d＝
|m|
＝ 1，解得 32
m＝
2
3
3 (切点在第一象限
1＋ 3
)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的
2
由几何知识得
|a | 2 ＋(
2) 2＝ a2，解得
a＝ 2.
2
∴ M (0 ，2)， r1＝2. 又圆 N 的圆心坐标 N(1， 1)，半径 r2＝ 1， ∴ |MN |＝ （ 1－ 0） 2＋（ 1－ 2） 2＝ 2， r1＋ r2＝ 3， r1－ r 2＝ 1.
∴ r1 － r2＜ |MN |＜ r1＋ r2 ，∴两圆相交，故选 B. (2) 由圆 C1 与圆 C2 相外切，可得 （ a＋b） 2＋（－ 2＋ 2） 2＝ 2＋ 1＝ 3，即 (a＋ b)2＝ 9，
交点，则
1＜
m＜
2
3
3 .
专题 48 直线与圆、圆与圆的位置关系
答案 (1)B (2)D 【感悟提升】 (1) 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若 方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
(2) 已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时， 可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条
即 kx－ y＋ 1－3k＝ 0.
由题意知
|k－
2
＋ 1－ k2 ＋1
3k|＝
2
，解得
k＝
3 4.
∴圆的切线方程为
y－
1＝
3 4(x－
3)，
即 3x－ 4y－ 5＝ 0.
故过 M 点的圆的切线方程为 x＝ 3 或 3x－ 4y－5＝ 0.
(2) 由题意得
|a－a22＋＋14|＝ 2，解得
a＝ 0
或
a＝
专题 48 直线与圆、圆与圆的位置关系
【变式探究】已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 1 交于 M ， N 两点．
(1) 求 k 的取值范围；
(2)
若
→ OM
·O→N
＝
12，其中
O 为坐标原点，求
|MN |.
解 (1) 由题设，可知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 1，
专题 48 直线与圆、圆与圆的位置关系
由题意可设切线的方程为 y＝ kx，则圆心 (3，4)到直线 y＝ kx 的距离等于半径长
|3k－ 4| 5，即 k2＋ 1＝ 5，解得 k
＝ 1或 k＝ 11，则切线的方程为
2
2
y＝
1 2x
或
11 y＝ 2 x.
联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为
(4， 2)，
(3) 若直线 ax－ y＋ 4＝ 0 与圆相交于 A， B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，求 a 的值． 解 (1) 圆心 C(1 ，2)，半径 r ＝ 2， 当直线的斜率不存在时，方程为 x＝ 3. 由圆心 C(1， 2)到直线 x＝ 3 的距离 d＝ 3－ 1＝ 2＝ r 知， 此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为 y－ 1＝ k(x－ 3)，
4， 22 55
，此即为
P， Q 的坐标 .
由两点间的距离公式得 |PQ|＝ 4.
答案 (1)4π (2)4 【举一反三】已知点 M (3， 1)，直线 ax－ y＋ 4＝ 0 及圆 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 4.
(1) 求过 M 点的圆的切线方程； (2) 直线 ax－ y＋ 4＝ 0 与圆相切，求 a 的值；
位置关系 方法 相交 相切
几何法
d<r d＝ r
代数法
Δ>0 Δ＝ 0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R， r ， R＞ r，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 几何特征 代数特征
外离 d＞R＋ r 无实数解
外切 d＝ R＋ r 一组实数解
相交 R－ r ＜ d＜ R＋ r 两组实数解