高三数学理一轮配套教案：《立体几何》人教B版

§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
1．多面体的结构特征
2.
3.
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′
轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段
在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半．4．空间几何体的三视图
(1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物
体轮廓线的正投影围成的平面图形．
(2)三视图的特点：
三视图满足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．
5．柱、锥、台和球的侧面积和体积
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，
则在直观图中，∠A＝45°. (×)
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(×)
(5)圆柱的侧面展开图是矩形．(√)
(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．(√) 2．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()
答案 D
解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
3．(2013·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()
A.500π3 cm 3
B.866π3 cm 3
C.1 372π3 cm 3
D.2 048π3
cm 3
答案 A
解析 作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 所以V ＝43πR 3＝500π
3
.
4． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．
答案
62
解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，所以原三角形的面积为
62
. 5． 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
答案
33
π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝
22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝3
3
π.
题型一空间几何体的结构特征
例1(1)下列说法正确的是
()
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
(2)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
思维启迪从多面体、旋转体的定义入手，可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征．
答案(1)B(2)A
解析(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠P AB，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．
(2)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，
如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
思维升华(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．
(2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋转轴是哪条直线．
如图是一个无盖的正
方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为 ()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案 C
解析 还原正方体，如图所示，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，则∠ABC ＝60°.
题型二 空间几何体的三视图和直观图
例
2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图
都是边长为1的正方形，且体积为1
2，则该几何体的俯视图可以是
( )
(2)
正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是
________．
思维启迪 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是1
2可求出底面积．由底
面积的大小可判断其俯视图是哪一个．
(2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系． 答案 (1)C (2)
616
a 2 解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是1
2可
知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是1
2，D 的面积
是π
4
，故选C. (2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点．
易知D ′B ′＝1
2DB (D 为OA 的中点)，
∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝6
16
a 2.
思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．
(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．
(1)(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于
()
A．1 B. 2 C.2－1
2 D.
2＋1
2
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
答案(1)C(2)C
解析(1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，
另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－1 2.
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2 cm，
CD＝C′D′＝2 cm.
∴OC＝OD2＋CD2
＝(42)2＋22＝6 cm，
∴OA＝OC，
故四边形OABC是菱形．
题型三空间几何体的表面积与体积
例
3(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．48 B．32＋817
C．48＋817 D．80
(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为()
A.2π
3＋
1
2 B.
4π
3＋
1
6
C.2π
6＋
1
6 D.
2π
3＋
1
2
思维启迪先由三视图确定几何体的构成及度量，然后求表面积或体积．答案(1)C(2)C
解析(1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂
直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12
＝17.所以S表＝42＋2×4＋1
2×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.
(2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，所以三棱锥P －ABC 的体积V 1＝
1
3×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝1
6，又Rt △ABC 是半球底面的内接三角形，
所以球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝
22，所以半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π
6
，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π
6
.
思维升华 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．
(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的
所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( ) A.
26 B.36 C.23 D.2
2
答案 A
解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，
所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．
在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝
34×AB 2＝34
， 高OD ＝
12－⎝⎛
⎭⎫332
＝63
， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝2
6
.
转化思想在立体几何计算中的应用
典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等
边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿 棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与 CC ′的交点为N ，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)三棱锥C —MNP 的体积．
思维启迪 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)
三棱锥以谁做底好． 规范解答
解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝
97.[2分]
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如下图，设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.
∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2. 又NC ∥AM ，故PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2.∴NC ＝4
5.[8分]
(3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝4
5.
在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝
32×3＝332
.
∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝1
3·h ·S △PCN
＝13×332×45＝235
.[12分] 温馨提醒 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的
“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．
(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上． 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．
(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.
方法与技巧
1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．
3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”． 4．直观图画法：平行性、长度两个要素．
5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切
点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
失误与防范
1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．
2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．
3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()
A．20 B．15
C．12 D．10
答案 D
解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对
角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两
条，共2×5＝10(条)．
2．(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
() A．球B．三棱锥
C ．正方体
D ．圆柱
答案 D
解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得． 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A 和C. 对于如图所示三棱锥O －ABC ，
当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同， 故答案选D.
3． (2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A.5603
B.580
3 C ．200 D ．240 答案 C
解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝(2＋8)×42＝20.又棱柱的高为10，所以体积V ＝Sh ＝20×10＝200.
4． 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是
( )
答案 D
解析由俯视图可知是B和D中的一个，由主视图和左视图可知B错．
5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()
A.32π B ．π＋ 3 C.3
2π＋ 3 D.5
2
π＋ 3 答案 C
解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝1
2
×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π
2.
二、填空题
6. 如图所示，E 、F 分别为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面
BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正 投影是________．(填序号)
答案②
解析四边形在面DCC1D1上的正投影为②：B在面DCC1D1上的正投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．
7．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．答案3π
解析如图，构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有
棱长都为2，所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的
外接球的半径为3
2.
易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球，
所以三棱锥A—BCD的外接球的半径为3
2.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为
S球＝4π⎝⎛⎭⎫322＝3π.
8．(2013·江苏)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
答案 1∶24
解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ， 则V 1
V 2＝13h ⎝⎛⎭⎫1
2AD ·AE ·sin ∠DAE (2h )1
2(2AD )(2AE )sin ∠DAE
＝124
. 三、解答题
9．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．
解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何
体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π
2
＋3 3.
10．已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，
求棱台的高．
解 如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高． 由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30， 则OD ＝53，O 1D 1＝103
3，
由S 侧＝S 上＋S 下，得
12×(20＋30)×3DD 1＝3
4×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，
在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝
DD 21－(OD －O 1D 1
)2＝43， 所以棱台的高为4 3 cm.
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设
E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为
( )
A.25V
B.13V
C.23V
D.3
10V 答案 D
解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.
连接MD .
因为M 是AE 的中点， 所以V M —ABCD ＝1
2V .
所以V E —MBC ＝1
2
V －V E —MDC .
而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ， 所以V E —MBC V E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1
h 2
.
因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32
. 所以V E —MBC ＝V M －EBC ＝
310
V . 2． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
( )
A．28＋6 5 B．30＋6 5
C．56＋12 5 D．60＋12 5
答案 B
解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.
又CD⊥BD，CD⊥AE，
则CD⊥平面ABD，
故CD⊥AD，
所以AC＝41且S△ACD＝10.
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2 5.
在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，
故S△BCD＝10，且BC＝41.
在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.
在△ABC中，AB＝25，BC＝AC＝41，
则AB边上的高h＝6，
故S△ABC＝1
2×25×6＝6 5.
因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.
3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
答案 2
解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .则1
2πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥
的底面直径为2.
4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，
图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直 角三角形．
(1)根据图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .
解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2. (2)由左视图可求得PD ＝
PC 2＋CD 2＝
62＋62＝6 2.
由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中， P A ＝
PD 2＋AD 2＝
(62)2＋62＝6 3 cm.
5． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，
P A ＝PC ＝2a ，若在这个四棱锥内放一球，求此球的最大半径． 解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，
设球的半径为r，球心为O，
连接OP、OA、OB、OC、OD，
则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，
则V P－ABCD＝1
3r(S△P AB＋S△PBC＋S△PCD＋S△P AD＋S正方形ABCD )＝1
3r(2＋2)a
2.
由题意，知PD⊥底面ABCD，
∴V P－ABCD＝1
3S正方形ABCD
·PD＝1
3a
3.
由体积相等，
得1
3r(2＋2)a
2＝13a3，
解得r＝1
2(2－2)a.。