高考数学二轮大题每日一题规范练(第四周)

(三角)
【题目1】 (本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，m cos x )，b ＝(3，－1). (1)若a ∥b ，且m ＝1，求2sin 2x －3cos 2x 的值；
(2)若函数f (x )＝a ·b 的图象关于直线x ＝2π3对称，求函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π8，2π3上的值
域.
星期二 (概率统计) 2018年____月____日
【题目2】 (本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
(1)从5600的概率；
(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^：
并预测当特征量x 为570时特征量y 的值.
(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别
为
星期三 (数列) 2018年____月____日
【题目3】 (本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32(n ∈N *).
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1＋a 2n (n ∈N *)，求数列{2nb n }的前n 项和S n .
星期四 (立体几何) 2018年____月____日
【题目4】 (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，
∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.
(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；
(2)若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值. (1)证明 连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，
又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ， 故MN ∥平面BB 1C 1C .
(2)解 由A 1A ⊥平面ABC 且CC 1∥A 1A ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1.又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，
以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ(λ>0).
则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，
∴CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1). 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM
→·m ＝0，MN →·m ＝0. 得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，
令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ).
同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ)， ∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0，
解得λ＝22，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，322，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN
所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →
〉|＝|n ·AB →|
|n ||AB →|＝66.
所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是6
6.
星期五 (解析几何) 2018年____月____日
【题目5】 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0<r <b )，若圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点.
(1)当k ＝－1
2，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； (2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足1a 2＋1b 2＝1
r 2，并说明理由.
解 (1)依题意原点O 到切线l ：y ＝－1
2x ＋m 的距离为半径1，∴|m |1＋1
4
＝1，解
之得m ＝±5
2，
又点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，则m >0， ∴切线l ：y ＝－12x ＋52，∴A ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，52，B (5，0)，
∴B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点，则a ＝5，b ＝5
2， ∴椭圆E 的方程为：x 25＋y 2
54
＝1.
(2)a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1
r 2成立，理由如下：
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，则|m |1＋k
2＝r ，即m 2＝r 2
(1＋k 2)，①
联立⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b
2＝1，
得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2
b 2＋a 2k 2，
所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )
＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝b 2m 2－a 2b 2k 2
b 2＋a 2k 2
，
AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则∠AOB ＝90°， 则OA
→·OB →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2＋b 2m 2－a 2b 2k 2
b 2＋a 2k 2
＝（a 2＋b 2）m 2－a 2b 2（1＋k 2）
b 2＋a 2k 2＝0.
则(a 2＋b 2)m 2＝a 2b 2(1＋k 2)，② 将①代入②，得a 2＋b 2a 2b 2＝1
r 2， ∴1a 2＋1b 2＝1r 2.
星期六 (函数与导数) 2018年____月____日
【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a >0)的最小值是1. (1)求a ；
(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x ＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝2x －a
x ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a 2x
(x >0).
所以，当0<x <a
2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >
a
2时，f ′(x )>0，函
数f (x )单调递增. 故f (x )min ＝f ⎝
⎛
⎭⎪⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2
，
由题意可得：a 2－a 2ln a 2＝1，即a 2－a 2ln a
2－1＝0， 记g (a )＝a 2－a 2ln a
2－1(a >0)，
则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a
2＝1的根； 由于g ′(a )＝－12ln a
2，故a ＝2时，g ′(2)＝0， 且0<a <2时，g ′(a )>0；a >2时，g ′(a )<0， 所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点， 所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0， 所以a ＝2.
(2)由条件可得f 2(x )e 2x －6mf (x )e x ＋9m ＝0， 令g (x )＝f (x )e x ＝(x 2－2ln x )e x ， 则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋2x －2x －2ln x e x ，
令r (x )＝x 2＋2x －2
x －2ln x (x ≥1)，
则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x >2x －2x ＝2（x 2
－1）
x
≥0，
r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e ；
所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解， 当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件. 当Δ>0时可得m <0或m >1， 所以e 2－6m e ＋9m ≤0， 解之得m ≥e 2
6e －9，
综上，m
的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9. 星期日 (选考内容) 2018年____月____日
【题目7】 在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.
1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t 2
，
y ＝4t
(t 为参数)，以O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数).
(1)若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； (2)若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长.
解 (1)直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ， 由⎩⎨⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x
可得y 2＋3y －m ＝0， ∵直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， ∴Δ＝9＋4m ＝0，∴m ＝－9
4.
(2)当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1，0)，由⎩⎨⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x
可得4x 2－17x ＋4＝0， 设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝17
4， 故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝25
4. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .
(1)求a ；
(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1
n
的最小值.
解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3
2x －1，x <－2，
－1
2x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.
当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；
当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增；∴当x＝0时，f(x)的最小值a＝1.
(2)由(1)知m2＋n2＝1，则m2＋n2≥2mn，得1
mn≥2，由于m>0，n>0，
则1
m＋1
n≥2
1
mn≥22，当且仅当m＝n＝
2
2时取等号.
∴1
m＋1
n的最小值为2 2.。