数学苏教选修优化训练：超几何分布 含解析

2.2 超几何分布5分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个
村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于
10
15
6
8
4
7
C
C
C
的是（）
A.P(ξ=2)
B.P(ξ≤2)
C.P(ξ=4)
D.P(ξ≤4)
答案:C
解析：由题意知ξ服从超几何分布且P（ξ=i）=
10
15
10
8
7
C
C
C i
i-
，所以i=4.
2.一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球
的个数记为ξ，则等于
2
26
2
22
1
4
1
22
C
C
C
C+
的是（）
A.P（0<ξ≤2）
B.P(ξ≤1)
C.P(ξ≥1)
D.P(ξ≥2)
答案:B
3.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_______________.（结果用分数表示）
答案:
33
14
解析：由题意知，选到女同学的随机事件ξ服从超几何分布，∴P=
2
12
4
2
8
C
C
C
=
33
14
.
4.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）=__________________-.
答案:
35
13
解析：由题意知随机变量ξ服从超几何分布，全是红球时ξ=4，恰有一只是黑球时ξ=3+3=6，
∴P（ξ≤6）=P（ξ=4）+P（ξ=6）=
4
7
1
3
3
4
4
7
4
4
C
C
C
C
C
+=
35
13
.
10分钟训练（强化类训练，可用于课中）
阅读下面材料，完成下面1、2两个小题.
掷两颗骰子,所掷出的点数为随机变量X:
1.点数大于4点的概率为（）
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
5
1
答案:B
∴P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)=6+6=3
.
2.点数不超过5点的概率为（ ） A.
31 B.61 C.65 D.5
4 答案:C P(X≤5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5·61=6
5
.
3.设随机变量ξ可能取的值为x 1,x 2,…,x i ,…,ξ取每一个值
x i (i=1,2,…,n,…)的概率P(ξ=x i )=p i ,为随机变量ξ的概率分布,具有性质:①____________(i=1,2…,n …);②p 1+p 2+…=__________. 答案：①P i ≥0 ②1
4.将一颗骰子掷两次,设随机变量ξ表示________________,求出ξ的分布列(先在横线上填上一句描述随机变量ξ的话,然后再解答).
答案：ξ表示第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差. 解:P(ξ=0)=
366=61,P(ξ=1)=365,P(ξ=2)=364=91,P(ξ=3)=363=121,P(ξ=4)=362=18
1,P(ξ=5)=36
1. 同理,可求得P(ξ=-1)=
365,P(ξ=-2)=91，P(ξ=-3)=121，P(ξ=-4)=181，P(ξ=-5)=36
1. 5.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的分布列.
解:设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N=15，M=2，n=3，则它的可能取值为0，1，2，相应的概率依次为：P （ξ=0）
=31531302
C C C =1522P(ξ=1)=31521312C C C =3512;P(ξ=2)=3
15
11322C C C =351
. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ ） A.
72 B.83 C.73 D.28
9 答案:A
解析：设摸到黑球的随机事件为ξ，则ξ服从超几何分布.由题意知摸到2个黑球为事件A ，
则P （A ）=38
1
523C C C •=5615
，摸到3个黑球为事件B ，则P （B ）=3
80533C C C =561,事件A 与B 为互斥事件，∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=
5616=7
2
. 2.在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是（ ） A.
228137 B.2282 C.228135 D.228
105
答案:A
解析：由题意知取到二级品的事件为随机事件ξ，则ξ服从超几何分布,所以,
P （ξ=1）=228105
3
2021515=C C C , P （ξ=2）=22830
3
201
1525=C C C , P （ξ=3）=228
2
3
200
1535=C C C . 所以P （ξ≥1）=P （ξ=1）+P （ξ=2）+P （ξ=3）=
228
137
228222*********=
++. 阅读下面材料，完成3、4两个小题.
袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球. 3.取出红球数X 的分布列为________________. 答案:
答案:354 P(X ＞2)=P(X=3)=3734C C =35
4
.
5.袋中共有50个大小相同的球，其中记上0号的5个，记上n 号的共有n 个（n=1,2,…,9），现从袋中任取一球，求所取球的号数的分布列以及取出的球的号数是偶数的概率. 解:设所取球的号数为ξ，则ξ是随机变量，且ξ服从超几何分布，所以，
P （ξ=0）=1011501
5=C C ，P （ξ=1）=501
15011=C C ，
P(ξ=2)=2511501
2=C C ,P(ξ=3)=50
3
15013=C C ，
P(ξ=4)=2521501
4=C C ,P(ξ=5)=101
15015=C C ，
P(ξ=6)=2531501
6=C C ,P(ξ=7)=507
15017=C C ，
P(ξ=8)=25
415018=C C ,P(ξ=9)=509
15019=C C .
取出的球的号数是偶数的概率为： P （ξ为偶数）=
101+251+252+253+254=2
1. 6.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率. 解:设摸出的红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中N=30,M=10,n=5,于是中奖的概率为
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5
300
2510503102410503202310C C C C C C C C C ++≈0.191. 7.学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人.假设每名候选人
都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率.
解:用X 表示该班被中的人数,则X 服从超几何分布,其分布列为P （X=i ）=10
301026
4C C C i i -，i=0,1,2,3,4,该班恰有2名同学被选到的概率为P （X=2）
=609190
10
30
82624=C C C ≈0.312 0. 8.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学
只能背诵其中的6篇，试求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率.
解:（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个随机变量，它可能
（2）该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为 P （X≥2）=P(X=2)+P(X=3)=
21+61=3
2
=0.667. 9.某种彩票的开奖是从1，2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号
求至少中三等奖的概率.
解:用X 表示所购买彩票上中奖号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为：P （X=i ）
=7
36
7297C C C i i -,i=0,1,2,3,4,5,6,7,至少中三等奖的概率为：P （X≥5）
=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)=92752
97
7
36777361296773622957=++C C C C C C C C ≈0.001 046.。