江西省新余市第一中学2018届毕业第二模拟考试(理)数学试题及答案解析

江西省新余市第一中学2018届毕业第二模拟考试
数学试题（理）
一、选择题
1. 已知集合，，若，则
，则（）
A. -5
B. 5
C. -1
D. 1
2. 已知命题甲：，命题乙：且，则命题甲是命题乙的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
3. 若函数的值域为，则的值域为（）
A. B. C. D.
4. 在中，，则的形状为（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形
5. 动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（）
A. B. C. D.
6. 在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且
，则展开式中常数项的值为（）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
7. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数的周期为2，当时，，如果
，则函数的所有零点之和为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9. 已知函数，，若存在实数，使得，则
的取值范围是（）
A. B. C. D.
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
11. 用表示不大于实数的最大整数，如，设分别是方程，
的根，则（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. 已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
二、填空题
13. 设，且，则__________．
14. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，且
为正数，则的最小值为__________．
15. 函数与有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何，有，，且当时，，则
的奇偶性为__________．
16. 在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是__________．（写出所有正确命题的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②若与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点；
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线.
三、解答题
17. 已知命题：实数满足；命题：实数满足
，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18. 在中，分别为内角的对边，已知，.
（1）若的面积等于，求；
（2）若，求的面积.
19. 已知三次函数的导函数，，为实数.
（1）若曲线在点处切线的斜率为12，求的值；
（2）若在区间上的最小值，最大值分别为，1，且，求函数的解析式.
20. 某品牌汽车店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：
10
已知分3期付款的频率为0.2，店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用表示经销一辆汽车的利润.
（1）求上表中的值；
（2）若以频率作为概率，求事件：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用分期付款”的概率；
（3）求的分布列及数学期望.
21. 已知椭圆：的左右焦点分别是，直线
与椭圆交于两点，当时，恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.
22. 已知函数，.
（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；
（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；
（3）若，，且曲线与总存在公切线，求：正实数的最小值.
【参考答案】
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】集合或，,
,，是方程
的两根，由根与系数关系得，解得，故选A.
2. 【答案】B
【解析】“若或，则”为假命题，故它的等价命题“若，则且”为假命题；“若，则或”为假命题，故其等价命题“若且，则”为假命题，命题甲：，是命题乙：
且的既不充分也不必要条件，故选D.
3. 【答案】B
【解析】设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知：，，故选B．
4. 【答案】C
【解析】在中，,由正弦定理，得
，，
或，或，为等腰或直角三角形，故选C.
5. 【答案】D
【解析】动点到点的距离比它到直线：的距离小，动点到点的距离与它到直线的距离相等，根据抛物线的定义可得点的轨迹为以
为焦点，以直线为准线的抛物线，其标准方程为，故选D.
6. 【答案】B
【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，，解得，
的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.
7. 【答案】B
【解析】执行程序框图，首先给变量和赋值，，判断框中的条件成立；执行
；判断框中的条件成立；执行
，此时的值为程序运行结束输出的值，判断框中的条件应不满足，即不大于等于，所以判断框中的条件应是，故选B.
8. 【答案】D
【解析】由题意可得，根据周期性画出函数的图象，以及的图象，根据在上单调增函数，当时，，当时，，此时与函数无交点，再根据的图象和的图象都关于直线对称，结合图象可知有个交点，则函数的零点个数为，故选D.
9. 【答案】B
【解析】,在上是增函数，，
，即，解得，故选B.
10. 【答案】A
【解析】由该几何体的三视图知：该几何体下面是个圆柱，上面是个三棱锥，其体积为
故选
11. 【答案】C
【解析】因为分别是方程，的根，所以分别是及的零点，由于是单调递增函数，又
，所以，由在定义域内递增且可，，故选C.
12. 【答案】B
【解析】为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，故的图象关于点对称，又与图象关于对称，故函数的图象关于点对称，，即，故点，关于点对称，故，故选B.
二、填空题
13.【答案】
【解析】试题分析：由对数与指数的关系，得，则
，得.又，故.
14.【答案】4
【解析】函数的图象恒过定点，，点在直线上，，
，当且仅当时取等号，时，的最小值为，故答案为.
15. 【答案】偶函数
【解析】由条件，得
，故为偶函数，故答案为偶函数.
16. 【答案】①③⑤
【解析】对于①，比如直线，当取整数时，始终是一个无理数，即直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线
中与都是无理数，但直线经过整点，②错误，；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当时，直线不通过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线只经过一个整点，⑤正确．故答案为①③⑤.
三、解答题
17. 已知命题：实数满足；命题：实数满足
，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 解：令
∵“若则”的逆否命题为“若则”,又是的必要不充分条件，∴是的必要不充分条件，
∴A B，故.
18. 解：（1）
（2）依题得
①当即时，此时
②当即时，再由
得此时
故.
19. 解：（1）由导数的几何意义=12
∴
∴∴
（2）∵，∴
由得，
∵［-1，1］，
∴当［-1，0）时，，递增；
当（0，1］时，，递减。

∴在区间［-1，1］上的最大值为
∵，∴=1
∵，
∴∴是函数的最小值，
∴∴
∴=.
20. 解：（1）
（2）记分期付款的期数为，则：，，
，故所求概率
（3）Y可能取值为1，1.5，2（万元）
，
Y的分布列为：
Y的数学期望（万元）21. 解：（1）当时，直线的倾斜角为，所以：
解得：，所以椭圆方程是：；
（2）当时，直线：，此时，，，又点坐标是，据此可得，，故以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6．由此猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6．
证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：
，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，
由方程组得到：，
所以：，从而：
=0，
所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6．
22. 解：（1），．∵曲线与在公共点处有相同的切线∴，解得，．
（2）设，则由题设有… ①又在点有共同的切线
∴代入①得
设，则，
∴在上单调递增，所以＝0最多只有个实根，
从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是
（3）当，时，，，
曲线在点处的切线方程为，即．
由，得．
∵曲线与总存在公切线，∴关于的方程，即总有解．
若，则，而，显然不成立，所以．
从而，方程可化为．
令，则．
∴当时，；当时，，即在上单调递减，在
上单调递增．∴在的最小值为，
所以，要使方程有解，只须，即．。