基于容量增量曲线峰值区间特征参数的锂离子电池健康状态估算

2021年6
月 电 工 技 术 学 报
Vol.36 No. 11
第36卷第11期
TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY
Jun. 2021
DOI:10.19595/ki.1000-6753.tces.L90355
基于容量增量曲线峰值区间特征参数的
锂离子电池健康状态估算
杨胜杰1 罗冰洋1 王 菁1 康健强2 朱国荣1
（1. 武汉理工大学电力电子技术研究所 武汉 430070
2. 武汉理工大学现代汽车零部件技术湖北省重点实验室 武汉 430070）
摘要 当前，学术界广泛采用容量增量（IC ）曲线上的特征参数（FPs ）估算锂离子电池的健康状态（SOH ）。

该方法通常利用整个IC 峰区域的FPs 实现SOH 估算，而不同IC 峰区域下的FPs 对SOH 估算有较大差异。

为了提高电池SOH 估算的准确性，该文采用锂离子电池在IC 曲线的峰值区间（reg V Δ，通常为峰下的部分荷电状态区间）提取FPs 的SOH 估算方法，基于高斯过程（GP ）回归建立SOH 估算模型。

通过三个峰值区间下的SOH 估算结果，发现SOH 对不同reg V Δ的FPs 敏感程度不同。

该文进一步利用NASA 提供的5号、6号、7号和18号电池数据，对11组峰值区间reg V Δ在[23.1%, 100%]内的SOH 估算结果进行分析，结果表明，6号、7号和18号电池的峰值区间reg V Δ分别选取[53.4%, 88.1%]、[50.4%, 92.3%]和[42.3%, 100%]时，其估算的方均根误差小于2%，这说明SOH 对上述峰值区间范围更敏感。

利用该文的方法量化SOH 对峰值特征参数的敏感区间，在敏感区间内的SOH 估算有较高的准确性。

关键词：锂离子电池 峰值区间 电池健康状态 容量增量 中图分类号：TM912
State of Health Estimation for Lithium-Ion Batteries Based on Peak Region Feature Parameters of Incremental Capacity Curve
Yang Shengjie 1 Luo Bingyang 1 Wang Jing 1 Kang Jianqiang 2 Zhu Guorong 1 （1. Power Electronics Technology Research Institute Wuhan University of Technology
Wuhan 430070 China
2. Hubei Key Laboratory of Advanced Technology for Automotive Components
Wuhan University of Technology Wuhan 430070 China ）
Abstract At present, researchers have widely used feature parameters (FPs) of incremental capacity (IC) curve to estimate the state of health (SOH) of lithium ion batteries. The FPs are commonly extracted from a whole peak in the IC curve. The method fails to consider the effect of the FPs extracted from different ranges of the peak on the accuracy of estimated SOH. In order to provide an accurate SOH estimation, we select the FPs from the peak region(reg V Δ, a state of charge range of a peak). Then SOH estimation is achieved by setting up the relationship between the SOH and the FPs based on Gaussian process (GP) regression. Results show that the accuracy of SOH estimation is sensitive to the different FPs, according to the estimated SOH under the three reg V Δ. Furthermore, the comparison of the eleven
reg V Δ of
FPs that the data come from the NASA No.5, 6, 7 and 18 batteries between 23.1% and 100% is
studied. It is found that the estimated SOH root mean square error is less than 2% when the reg V Δ of
国家自然科学基金资助项目（51777146, 51977163）。

收稿日期 2020-07-10 改稿日期 2021-02-07
2278
电 工 技 术 学 报 2021年6月
No.6,7 and 18 batteries are in the regions of [53.4%, 88.1%], [50.4%, 92.3%] and [42.3%, 100%], respectively. It is indicated that that SOH estimation is more sensitive to the above peak region. This method gives an approach to achieve the high precision of SOH estimation because we prove that the SOH estimation is sensitive to reg V Δ.
Keywords ：Lithium-ion battery, peak region, state of health, incremental capacity analysis
0 引言
锂离子电池广泛应用于电子产品、电动汽车和储能系统中。

与其他充电电池相比，它们具有能量密度高、使用寿命长、安全性能好等优势。

在应用过程中，如果存在过度充电、过度放电、局部过热等情况，锂离子电池将加速老化[1-2]。

过度老化的电池不仅可用的容量大幅减少而且也存在安全隐患，因此，需要对电池健康状态（State of Health, SOH ）进行评估。

国内外关于SOH 估算方法可分为两类：电化学机理分析法和数据驱动法。

电化学机理分析法旨在深入研究电化学机理，建立电池衰退的数学模型[3]。

数据驱动法将锂离子电池的外部特性映射为电池容量损失来建立电池老化模型。

通过从充放电数据中提取出能够表征电池SOH 的特征参数（Feature Parameters, FPs ），建立FPs 与SOH 之间的定量关系。

数据驱动法主要包括自适应状态估算方法、神经网络法、支持向量机法和贝叶斯方法等
[4-8]。

Guo
Zhen 等[9]
利用等效电路模型辨识出的参数推导充电过程中恒流部分的传递函数来估算电池SOH 。

Yang Qingxia 和Xu Jun 等
[10]
提出一种基于区间容量的
SOH 估算方法，利用不同电压区间的容量变化对电池SOH 进行估算，结果表明在电压区间为3.95~4.15V 时估算的SOH 误差范围在-0.03%~ 0.015%。

Yang Duo 等
[11]
从充电曲线中提取四个特征
参数，结合改进的高斯回归模型进行SOH 估算，其估算结果的方均根值均低于0.04。

孙冬等[12]提出基于多模型数据融合技术的电池SOH 估算方法，SOH 估算误差在5%以内，能够有效提高SOH 估算精度和可靠性。

孙丙香等[13]研究SOC 区间的累积容量衰退率和累积内阻衰退率的相关性，得到的相关性模型拟合度在95%以上，并验证了在不同温度下该模型的适用性。

上述方法在不考虑电池内部电化学特性情况下，需要大量的电池实验数据和繁琐的数据处理工作，并且提取的特征参数易受数据波动的影响，进而影响SOH 的估算精度[14]。

为了提高SOH 的估算精度，有研究发现，电池的衰退与电池在充放电过程的端电压变化密切
相关[15-19]。

利用端电压对容量的导数提出了锂离子电池容量增量（Incremental Capacity, IC ）分析法，这种求导分析方法既能辨识电池老化机制，也可用于电池SOH 估算[15]。

Li Yi 等[16]通过电池静态充电曲线提取IC 曲线的峰值位置、峰谷位置特征参数，定量它们与SOH 的关系，估算的最大误差为2.5%。

这种方法既能满足估算精度，又能减少计算复杂度，为应用于电池管理系统（Battery Management System, BMS ）提供理论基础。

Tang Xiaopeng 等[17]选取IC 曲线峰值左右两侧的固定电压间隔，获得固定电压间隔下的放电区域容量，从而建立区域容量与SOH 的线性函数。

利用美国宇航局的5号、6号、7号和34号电池进行验证，结果表明四个电池的SOH 估算误差均低于2.5%。

Bian Xiaolei 等[18]利用峰值函数积分得到容量模型，所提出的容量模型能够准确地拟合IC 曲线的峰值参数，Li Xue 等[19]为了将容量模型应用于SOH 估算，文中提出了learning-unrequired 和learning-required 两种估算模型，learning-required 模型性能更加稳定且估算误差更小。

上述研究中利用IC 曲线进行SOH 估算时，只利用一组峰FPs 进行SOH 估算，未讨论不同IC 峰区域下的FPs 对估算结果的敏感程度。

针对以上问题，本文采用一种考虑峰值区间的锂离子电池SOH 估算方法，采用三组峰FPs 和基于高斯过程（Gaussian Process, GP ）回归模型估算SOH 。

结果发现，三元锂和磷酸铁锂电池分别选择峰值区间为16.7%reg V Δ和52.6%reg V Δ时，能够以较少的电池数据获得较高的估算精度，所采用的峰值区间FPs 能够准确地预测电池的健康状态，而且能够适用不同类型电池。

此外，关联度最高的四个FPs 的估算精度要高于只有峰面积下的SOH 估算精度。

最后，通过NASA 电池5号、6号、7号和18号数据验证SOH 对峰值区间的敏感性，量化峰值区间对估算方均根误差的影响。

通过这种方法，能够找到电池SOH 敏感程度更高的峰值区间范围，从而实现利用有限的电池数据量得到较高精度的SOH 。

第36卷第11期 杨胜杰等 基于容量增量曲线峰值区间特征参数的锂离子电池健康状态估算 2279
1 容量增量分析法
1.1 容量增量原理
容量增量（IC ）曲线的原理为将电池在恒流充电或放电工况下的端电压-容量（V -Q ）曲线求一阶导数得到端电压-容量变化率（V -d Q /d V ）曲线。

V -d Q /d V 曲线描述了电池在单位电压下充入或放出的电量大小。

以电池恒流放电工况为例，当电池的端电压曲线出现电压平台时，在电压平台持续的时间内，电池放出的电量线性增加而电池端电压变化很小，即表现在IC 曲线为一个d Q /d V 峰，电池电压平台越平坦，d Q /d V 峰值越大[20]。

求解IC 曲线一阶导数，首先需要对V -Q 曲线进行函数拟合，这不可避免地引入了拟合误差。

因此本文采用一种简单实用绘制IC 曲线的方法。

以固定电压区间V Δ代替d V ，Q Δ为对应ΔV 区间下的容量变化，当V Δ趋近于0时，近似有
d d Q Q
V V
Δ≈Δ （1）
不同电池选择的V Δ不同，这取决于IC 曲线所含测量噪声的严重程度。

当IC 曲线用来分析电池电化学行为时，电池应在较低电流倍率下（通常在0.05C 下）充放电，因为一些峰值较小的IC 峰通常在较大电流倍率下无法辨识。

而估算SOH 时，电流倍率为电池循环的实验倍率[17]。

常用的电池SOH 定义方法有两种：一种是基于电池内阻的方法[21]，即
end end 0
SOH 100%k
R R R R −=
×−
（2）
式中，end R 为电池终止寿命时的内阻；k R 为第k 次循环的内阻；0R 为新电池的内阻。

另一种定义为电池当前最大充电/放电容量与额定容量之比[21-22]，其表达式为
rated
SOH 100%k
Q Q =
× （3）
式中，k Q 为第k 次循环的充电或放电容量；rated Q 为电池出厂标定的额定容量。

本文采用式（3）定义SOH 的方法进行后续研究。

1.2 锂离子电池IC 曲线
锂离子电池内部可以等效为一个高度非线性系统，因电池在使用过程中受环境温度、电流倍率、充放电深度等影响，较难分析其非线性特征变化规律，因此不同使用条件下的IC 曲线差异也较大。

图
1为磷酸铁锂电池在不同温度、不同倍率和不同电压区间V Δ的IC 曲线。

图1a 为不同温度下锂离子电池的IC 变化曲线，可以看出，随着温度的升高，IC 曲线朝电压增大方向偏移，并且峰高度随温度增加而增高，表明在温度较高的情况下，电池放电容量较低温下变多。

图1b 为不同倍率下锂离子电池的IC 变化曲线，随着电流倍率增加，IC 曲线整体向低电压方向移动，且电池峰宽度增加而峰高度减小，3号和4号峰在大于0.5C 倍率时被2号峰吸收。

图1c 为不同V Δ的IC 变化，可以看到，各峰高度随V Δ增加而减小，峰位置基本不变。

当V Δ选取过大时，IC 曲线峰值较低，无法真实反映电池在对应峰位上的相变结构，当V Δ选取过小时，IC 曲线的噪声也会随着增大。

图1 磷酸铁锂电池IC 曲线 Fig.1 The IC curves of LiFePO 4
battery
2280 电工技术学报 2021年6月
1.3 电池循环老化实验
本文实验采用的两款电池参数见表1。

表1电池参数
Tab.1 The parameters of batteries
电池类型额定容量/(A·h) 额定电压/V
三元锂电池（1号、2号）24 3.7
磷酸铁锂电池（3号、4号） 3.2 3.3
本文对这四个电池进行循环寿命实验，三元锂
电池采用12A（0.5C）电流进行了1 800次循环老
化，磷酸铁锂电池以3.2A（1C）电流进行了350次
循环工况。

四个电池都放置于25℃的恒温箱内。

实
验参数见表2。

表2实验参数
Tab.2 The parameters of experiments
电池类型循环次数/次截止电压/V 循环倍率
三元锂电池
（1号、2号）1 800
上限：4.2
下限：2.5
12A(0.5C)
磷酸铁锂电池
（3号、4号）350
上限：3.75
下限：2
3.2A(1C)
1号、2号电池经过1 800次循环后容量从初始的24.05A·h、23.769A·h衰减到19.246A·h、19.531A·h，而3号、4号电池经过350次循环容量分别从3.197A·h、3.19A·h衰减至2.666A·h、2.613A·h。

1.4IC曲线提取
在1.1节中介绍了IC曲线原理及绘制IC曲线的简便方法，本节利用这种简便方法绘制IC曲线。

三元锂电池选取V
Δ=3mV，磷酸铁锂电池选取V
Δ=0.5mV，两种电池的IC曲线随循环次数变化结果如图2所示。

IC曲线的峰个数对应电池放电曲线的电压平台个数，每个电压平台是电池正负极电化学反应叠加的结果。

从图2a中可以看到，三元锂电池的IC曲线只出现了一个峰，并且峰值位置随循环次数增加向电压减小方向移动，峰值高度也逐渐减少。

图2b也呈现出与图2a相似的变化，但磷酸铁锂电池的IC曲
Fig.2 V-d Q/d V curves change with cycles
线有两个峰值。

从局部放大图看到，右侧峰峰顶比左侧峰顶平滑，且右侧峰高度大于左侧峰高度。

2IC曲线的峰值区间特征参数
从IC峰中可以提取出多个特征参数，包括峰高度、峰位置、峰面积、峰宽度和峰的左右斜率等。

通过这些参数的变化，可以分析电池老化机理，从而对电池的健康状态进行管理。

2.1峰值区间特征参数
常用的IC曲线提取特征参数方法是利用峰顶与峰谷之间包络的面积来获得。

这种定义方式忽略了峰曲线中的变化，理想的IC曲线为平滑的双曲线，而实际的IC曲线并不是理想的双曲线。

通过定义峰值区间（）的方式，可以找到不同
reg
V
Δ下FPs与SOH的多组关系。

峰值区间即以峰顶所在位
置为中心，在峰的左右两侧各选取
reg
V
Δ/2的端电压范围作为该峰的区域。

通过固定峰宽度的方式来提
取其他IC特征参数。

reg
V
Δ定义的峰左右两侧的端电压为
reg
11peak
()
2
V
V t V
Δ
=−（4）
reg
22peak
()
2
V
V t V
Δ
=+（5）
式中，
peak
V为峰值电压；
11
()
V t为
reg
V
Δ在
1
t时刻左侧
端电压；
22
()
V t为
reg
V
Δ在
2
t时刻右侧端电压。

以
reg
V
Δ定义的峰面积、放电时间、峰左右斜率分别为
reg2211
()()
Q Q t Q t
=−（6）
reg21
t t t
=−（7）
peak
1
1
peak11
()
V
y y
k
V V t
−
=
−
（8）
reg
V
Δ
第36卷第11期 杨胜杰等 基于容量增量曲线峰值区间特征参数的锂离子电池健康状态估算 2281
peak 22peak 2()
V y y k V V t −=
−2 （9）
式中，reg Q 为峰面积；11()Q t 和22()Q t 分别为峰左、右侧端电压的放电容量；reg t 为峰值区间的放电时间；
1k 和2k 分别峰的左斜率和右斜率；1y 和2y 分别为峰
左、右侧端电压对应的d Q /d V 值；peak V y 为峰高度。

以三元锂电池的IC 曲线为例，不同reg V Δ下的IC 曲线特征参数如图3所示。

图3 不同reg V Δ的IC 曲线特征参数
Fig.3 Feature parameters of IC curves at different reg V Δ
图3中三元锂电池的IC 峰值区间reg V Δ为500mV 。

点画线和虚线分别表示两组FPs （reg1reg =33%V V ΔΔ和reg2reg =67%V V ΔΔ）
，各组FPs 的数学关系取决于reg V Δ的大小。

IC 曲线FPs 包括①峰高度、①峰面积、①峰位置及①峰左右斜率，除此之外，还有①峰放电时间共六个参数。

而磷酸铁锂电池的IC 峰有两个，相应的FPs 有12个。

若将所提取的FPs 全部用于SOH 估算模型的输入，估算结果并不会达到最好效果。

因此需要分析FPs 与SOH 的关联程度，关联程度越高，则认为这个特征参数对SOH 的影响越大。

2.2 特征参数关联性分析
两个序列间随时间或不同变量而变化的关联性大小称为关联度。

灰色关联度分析能够实现动态系统特征量的变化趋势，因此可用于IC 曲线特征参数与SOH 的关联分析。

灰色关联度分析的步骤如下：
1）确定参考序列Y ={y (k )|k =1,2,",n }，其中n 是序列长度，y (k )=SOH(k )；比较序列X i ={x i (k )}，其中i 代表序列数量。

在本文中，x i 为峰值区间下的特征参数。

2）将比较序列X i 归一化。

3）计算关联系数()i k ξ。

min max |()()|max max |()()|
()|()()|max max |()()|
i i i
k
i
k
i i i i
k
y k x k y k x k k y k x k y k x k ρξρ−+−=
−+−
式中，ρ为关联系数，(0,1)ρ∈，通常取值为0.5。

4）计算关联度r i 。

1
1()n
i i i r k n ξ==∑
本文首先对三元锂电池的FPs 关联度进行分析，依次选取8.3%reg V Δ、16.7%reg V Δ、33.3%reg V Δ三个峰值区间，结果见表3。

表3 2号电池FPs 与SOH 的关联度
Tab.3 The relational degree between FPs and SOH of
No.2 battery
FPs 8.3%reg V Δ 16.7%reg V Δ
33.3%reg
V Δ①峰高度 0.694 0.694 0.729 ①峰位置 0.562 0.581 0.598 ①峰放电时间 0.639 0.659 0.722 ①峰面积 0.639 0.658 0.722 ①峰左斜率
0.687 0.735 0.882 ①峰右斜率
0.673
0.615
0.561
从表3中可以看到，当峰值区间为8.3%reg
V Δ时，关联度前四个排序为：①峰高度＞①峰左斜率＞①峰右斜率＞①峰面积（①峰放电时间）；当峰值区间为16.7%reg V Δ或33.3%reg V Δ时，关联度排序为：①峰左斜率＞①峰高度＞①峰面积（①峰放电时间）＞①峰位置。

可见，选取的reg V Δ不同，FPs 的关联度排序发生变化，即各个FPs 对SOH 的影响程度随
reg V Δ变化。

此外，①峰面积为峰区域容量，当reg
V Δ增大时，峰面积（峰区域容量）也增大，而SOH 是根据式（3）定义的，当reg V Δ趋近于电池端电压的最大值，即峰区域容量为电池放电容量时，电池SOH 接近于实际值。

在图2b 中，将IC 曲线的左侧峰和右侧峰分别定义为Ⅰ号峰和Ⅱ号峰。

磷酸铁锂电池的Ⅱ号
IC 峰值区间为38mV 。

利用灰色关联分析方法对磷酸铁锂电池的IC 曲线FPs 进行分析，依次选取36.8%reg V Δ、52.6%reg V Δ、63.2%reg V Δ三个峰值区间。

表4给出了磷酸铁锂电池特征参数与
SOH 的关联度。

表4 4号电池FPs 与SOH 的关联度
Tab.4 The relational degree between FPs and SOH of
No.4 battery
FPs 36.8%reg V Δ
52.6%reg V Δ
63.2%reg
V ΔⅠ峰高度
0.683 0.683 0.683 Ⅰ峰位置 0.624 0.624 0.624 Ⅰ峰放电时间 0.723 0.706 0.642 Ⅰ峰面积
0.722
0.705
0.641
reg V Δ
2282
电 工 技 术 学 报 2021年6月 （续）
FPs 36.8%reg V Δ
52.6%reg V Δ
63.2%reg
V ΔⅠ峰左斜率 0.628 0.748 0.583 Ⅰ峰右斜率 0.465 0.355 0.368 Ⅱ峰高度 0.831 0.831 0.831 Ⅱ峰位置 0.671 0.671 0.671 Ⅱ峰放电时间 0.821 0.821 0.821 Ⅱ峰面积 0.821 0.821 0.821 Ⅱ峰左斜率 0.139 0.139 0.139 Ⅱ峰右斜率
0.685
0.685
0.685
从表4中可以看到，由于Ⅰ号峰峰顶不平滑，提取出的FPs 与SOH 的关联度相较于Ⅱ号峰峰低。

关联度前四个排序为：Ⅱ号峰高度＞Ⅱ号峰面积（Ⅱ号峰放电时间）＞Ⅱ号峰右斜率，Ⅱ号峰每个reg V Δ的FPs 关联度都相同，这说明每组FPs 随电池老化的偏移量完全相同。

因此将IC 曲线中的Ⅱ号峰关联度最高的四个FPs 作为后续锂离子电池SOH 估算模型的输入变量。

2.3 高斯过程回归模型
本文采用高斯过程回归模型，通过建立训练数据中特征参数与SOH 的关系，对测试数据的SOH 值进行估算，并给出置信区间。

高斯过程可看作是有限个随机变量服从高斯分布的集合。

对于输入集合的每个数据
点
12[
,,,]n x x x ="x ，其函数f (x )的概率分布服从高斯分
布：()~GP((),(,))f f x m k ′x x x ，所以f (x )的性质由它的均值()m x 和协方差函数(,)f k ′x x 决定[23-24]，其方程分别为
()(())m E f =x x （10）
(,)[(()())(()())]f k E m f m f ′′′=−−x x x x x x （11） 协方差函数(,)f k ′x x 的选取取决于实际应用，文中选取Mattern 核函数，其一般形式为
2
|||(,)1exp p q p q p q f x x x x k x x σλλ⎛⎞⎛⎞
−−⎜⎟⎜⎟=+
−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
（12）
回归问题可以表述为函数()f x 的输出值受到
噪声的影响，观测序列y 是()f x 的输出序列和噪声大小的和，其表达式为
()f ε=+y x
（13）
式中，ε为噪声且服从高斯分布，即
2~(0,)n N εσ
（14）
观测值的先验分布满足
2
~(0,(,))f n N σ+y K x x I （15）
式中，y 为观测序列；x 为输入集合{}12,,,n x x x "；
(,)()f ij n n k ×=K x x ，()222exp 2p q
ij f x x k σλ⎛⎞
−⎜⎟=−⎜⎟⎝⎠
；I 为n 维单位矩阵；2n σI 为噪声协方差矩阵。

在式（12）中，核函数由f σ和λ两个参数决定，噪声方差n σ也是未知的。

将未知参数 []f n σσλ=θ称为超参数。

超参数可以用极大似然法确定[23]，这里不再赘述。

核函数形式和超参数确定后，高斯过程回归的模型便确定了。

通过计算后验分布
**(|,,)p y x y x ，高斯过程回归模型可以预测测试样
本。

对于一个新的数据集*x ，估算值*
y 也服从高斯分布。

则观测值y 和估算值*
y 的联合高斯分布为
2***T **(,)(,)~0,(,)(,)f n f f f N σ⎛⎞⎡⎤+⎡⎤
⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎠ K x x I K x x y y K x x K x x （16） 根据先验分布可推导**(|,,)p y x y x 也服从高斯分布，即
*****(|,)(|,cov())p N =y x,y x y y y （17）
其中
1
**T 2
(,)(,)f f n σ−⎡⎤=+⎣⎦y K x x K x x I y （18）
****T 21*cov()(,)(,)[(,) ](,) 19f f f n f σ−=−+
（）
y K x x K x x K x x I K x x
式中，y 为*y 的均值；*cov()y 为测试数据的方差矩阵，反映了估算值的可靠性。

当建立了基于训练数据(x ,y )的回归模型后，在新数据集*x 下，预测均值*y 和预测方差*cov()y 已经给出，则预测值的95%的置信区间为
** 1.96⎡−+⎣y y （20） 3 SOH 估算与误差分析
高斯过程回归模型的SOH 估算流程如图4所示。

3.1 三元锂电池SOH 估算
本文选择2号、4号电池的FPs 和SOH 分别作为三元锂电池和磷酸铁锂电池的训练数据，而1号、
3号电池的FPs 和SOH 作为相应的测试数据。

2号电
第36卷第11期 杨胜杰等 基于容量增量曲线峰值区间特征参数的锂离子电池健康状态估算 2283
图4 高斯过程回归模型的SOH 估算流程
Fig.4 The SOH estimation flowchart of Gaussian process
regression model
池选择8.3%reg V Δ、16.7%reg V Δ、33.3%reg V Δ三个峰值区间的FPs ，4号电池取36.8%reg V Δ、52.6%reg V Δ、
63.2%reg V Δ，为了比较不同FPs 的SOH 估算能力，分别选择关联度最高的四个FPs 和峰面积作为训练数据的输入。

图5为1号电池SOH 估算结果和误差，图5a 为考虑四个FPs 的估算结果，图5b 为峰面积下的估算结果。

由于三个峰值区间下的估算结果图差异不大，这里给出16.7%reg V Δ的情形。

图5中的深灰色区域是估算结果的95%置信区间，置信区间宽度越窄，表明估算结果的可靠性更高。

从图5a 估算结果曲线来看，估算值能较好地跟
图5 峰值区间16.7%reg V Δ下1号电池SOH 估算
结果和误差
Fig.5 The No.1 battery SOH estimation results and errors
under the 16.7%reg V Δ
随真实值，并且95%的置信区间的宽度较窄，表明该情况下的估算结果具有较高的可靠性。

从误差曲线分析，估算的整体相对误差落在±3%内。

从图5b 中看出，估算结果曲线与图5a 大体相似。

为了区分
四个FPs 和峰面积下的估算结果差异，表5和表6分别给出了1号电池三个峰值区间在四个FPs 和峰面积下的误差统计结果。

表5 考虑四个FPs 下1号电池SOH 误差统计结果 Tab.5 The SOH error statistical results of No.1 battery
under four FPs
峰值区间
相对误差
最大值(%)
绝对值
最大误差 方均根
误差(%)平均绝
对误差8.3%reg V Δ 4.85 0.039 7 0.63 0.004 816.7%reg V Δ 3.82 0.032 8 0.54 0.004 133.3%reg
V Δ 2.24
0.019 2
0.47
0.003 6
表6 考虑峰面积下1号电池SOH 误差统计结果 Tab.6 The SOH error statistical results of No.1 battery
under the peak area
峰值区间
相对误差
最大值(%)
绝对值
最大误差 方均根
误差(%)平均绝
对误差8.3%reg V Δ 5.39 0.0441 0.71 0.005 416.7%reg V Δ 4.11 0.0396 0.63 0.004 833.3%reg V Δ
2.65
0.0216
0.48
0.003 7
表5中定义了四个误差参数，分别为相对误差最大值、表6中绝对值最大误差、方均根误差（Root
Mean Squared Error ，RMSE ）和平均绝对误差。

方均
根误差反映估算值和真实值之间的离散程度，方均根误差越小，表明估算曲线越接近于真实曲线。

平均绝对误差代表实际电池的SOH 与估算
SOH
2284
电 工 技 术 学 报 2021年6月
绝对差值的平均值。

当峰值区间为reg 8.3%V Δ时，误差值最大，而峰值区间为reg 33.3%V Δ时，整体误差最小。

对比表5中的各项误差数据，在相同峰值区间下，考虑峰面积下的估算误差都高于考虑四个FPs 的误差，这说明考虑四个FPs 的估算效果要优于峰面积下的估算。

尽管峰值区间增加，相应的误差都在减小，但所需的电池数据更多，实际应用时电池通常不是长时间处于工作状态，所以获取的数据量也是有限的。

选取的峰值区间较小时，估算误差较大，不能满足实际要求。

因此，选择reg 16.7%V Δ下的四个关联度最高的FPs 来估算SOH 能得到最优的结果。

3.2 磷酸铁锂电池SOH 估算
图6为3号电池SOH 估算结果和误差。

图6a 、图6b 和图6c 分别为四个FPs 下三个峰值区间的估算结果和误差，图6d 为峰面积下峰值区间为52.6%
reg V Δ的估算结果和误差。

从图6b 中可以看出，测试样本的真实SOH 与
估算值具有较好的一致性，其相对误差较小。

而图6a 的估算结果波动较大，其对应的相对误差也存在一定的波动。

同时，图6c 的估算结果与实际相差较为明显，在大约前50次循环时，估算偏差最大。

图6 3号电池SOH 估算结果和误差
Fig.6 The No.3 battery SOH estimation results and error
SOH 真实值落在95%置信区间之外，并且95%置信区间宽度较宽，这表明估算的不确定性较大。

从图6d 中看到，估算的SOH 整体低于真实值，在前50次循环时，估算的相对误差较大。

表7和表8分别给出了各种情形下的具体误差。

表7 考虑四个FPs 下3号电池SOH 误差统计结果 Tab.7 The SOH error statistical results of No.3 battery
under four FPs
峰值区间
相对误差
最大值(%)
绝对值
最大误差 方均根
误差(%) 平均
绝对误差36.8%reg V Δ 3.6 0.030 9 0.44 0.001 652.6%reg V Δ 1.56 0.019 2 0.24 0.000 863.2%reg
V Δ 3.62
0.035 6
0.56
0.002 1
表8 考虑峰面积下3号电池SOH 误差统计结果 Tab.8 The SOH error statistical results of No.3 battery
under the peak area
峰值区间
相对误差
最大值(%)
绝对值
最大误差 方均根
误差(%)平均绝对
误差 36.8%reg V Δ 3.14 0.031 0.48 0.001 652.6%reg
V Δ 4.46 0.043 8 0.79 0.003 63.2%reg
V Δ 4.3
0.042 8
0.77
0.002 7
第36卷第11期 杨胜杰等 基于容量增量曲线峰值区间特征参数的锂离子电池健康状态估算 2285
从表7的量化指标中可以看出，当峰值区间为
reg 52.6%V Δ时，相对误差最大值不超过2%，且方均
根误差为0.24%，误差值低于另外两种情况，同时平均绝对误差为0.000 8，表明估算的SOH 接近于真实值。

此外，不同峰值区间下的估算误差也有较大差别，这说明不同峰值区间提取的IC 曲线FPs 有较大差别，进而影响SOH 估算精度。

对比表7的统计误差，除了峰值区间为reg
36.8%V Δ情况下，表8中以峰面积估算的SOH 误差值小幅增加，其他情形下的误差结果都明显增加，其中
reg 52.6%V Δ误差增加幅度最大，其平均绝对误差从
0.000 8增大至0.003。

整体来看，考虑峰面积下的3号电池SOH 误差比采用四个FPs 下的误差要大。

不同峰值区间下的估算结果变化规律不明显，但考虑四个FPs ，峰值区间为reg 52.6%V Δ时的误差最小，在估算SOH 时，能够获得较高的精度。

3.3 NASA 数据集验证
3.1节和3.2节讨论了三个峰值区间下不同FPs 作为模型输入的SOH 估算结果，结果发现，SOH 估算精度与峰值区间和IC 峰FPs 紧密相关。

为了进一步验证这一结论，本节利用美国国家宇航局（NASA ）公开的5号、6号、7号和18号电池数据进行IC 处理。

提取11个峰值区间的IC 特征参数并进行高斯过程回归模型的SOH 估算，这11个峰值区间依次
为23.1%reg V Δ、
30.8%reg V Δ、38.5%reg V Δ、46.2%reg V Δ、53.9%reg V Δ、61.5%reg V Δ、69.2%reg V Δ、76.9%reg V Δ、
84.6%reg V Δ、92.3%reg V Δ、100%reg V Δ，其中reg V Δ为130mV 。

以5号电池的FPs 作为高斯过程回归模型的训练数据，6号、7号和18号作为测试数据。

对提取到的11组峰FPs 进行SOH 估算。

考虑四个最高
关联度的FPs 下，峰值区间为61.5%reg V Δ的6号、7号和18号电池的SOH 估算结果如图7所示。

图7 NASA 电池SOH 估算结果与误差 Fig.7 The NASA batteries SOH estimation results
and error
从图7a 中可以看出，6号电池在循环次数小于
120次之前，相对误差稳定在±3%以内，这说明模型估算的SOH 较为准确；
当循环次数大于120次之后，即SOH 降低至70%之后，其相对误差值逐渐增大到11%，这表明，SOH 模型对低SOH 值下的估算精度较差。

图7b 中，7号电池的估算值整体高于真实值，相对误差在3%以内波动。

图7c 为18号电池的估算结果，其估算结果跟真实值较为吻合。

为了对11组估算结果进行分析，图8给出了6号、7号和18号电池的RMSE 误差曲线。