平面向量的概念及表示-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

N
格边长为1)．
E
B
解： = 、 = 、
M
T
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙A
= 、 = 、
= 、
= ��、
= 、
=
H
L
Z
C
D
Q
向量与向量之间有怎样的关系呢？
F
K
P
G
03
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
相等向量与共线向量
动脑思考 再探新知
平面向量及其应用
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
章前语
➢ 向量是近代数学中重要和基本概念之一，向量理论具有丰富
的物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象，也
是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习
和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
重要作用。
N
E
B
观察例5中的向量，它们有什么异同点：
M
T
A
H
图中的向量、所在的直线平行，方向相同。
L
向量 ，所在的直线平行，方向相反。
Z
Q
C
D
F
K
P
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
IV. 平行向量：
1. 定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
2. 表示：如图，用有向线段表示与 是两个平行向量
1.如图所示，是正六边形的中心，且 = 。
(1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
解：(1)与的长度相等、方向相反的向量有，，，.
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(2)与共线的向量有，，，，，，，，.
向 量 以位移为例：
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小船以为起点，为终点，我们可以用连接，
两点的线段长度
代表小船行进的距离，并在终点处加上箭头表示小船行驶的方向．
于是，这条“带有方向的线段”可以表示位移。
受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量
在线段的两个端点中，规定一个顺序，
假设是起点,是终点，我们就说线段具有方向（如图）
时间
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观察对比 归纳共性
观察下列各“量”的共同特点：
• 位移:小船由A地向东南方向航行15 到达B地
大小: 方向:东南方向
解：(1)，，，是共线向量；
(2) = =；
，，，是共线向量；
= = ；
，，，是共线向量.
= = = .
04
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
小结与随堂练习
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
典型例题 巩固新知
表示同一个向量，因为向量完全由它的模与方向确定。
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如图，、、 是一组平行向量，任作一条与
所在直线平行的直线，
在上任取一点，则可在上分别做出 = , = , =
这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一直线上
因此，平行向量也叫做共线向量
2.零向量的长度为0，方向不确定，它的方向是任意的；
3.单位向量长度为1，每个单位向量的方向是确定的（由题设规定）
牛刀小试 运用新知
例3：任取不共线的三个点，观察能构成哪些向量？分别用有向线段
和字母表示这些向量
Ԧ
=

Ԧ
=



A
C
= Ԧ
=
B
= Ԧ
–忘机鸥鹭立汀沙
By黄婷婷
理解新知 牛刀小试
辨析：①共线向量也就是平行向量，向量“共线”的含义不同于几何中“共线”含义；
② 相等向量一定是共线 (平行) 向量，而共线 (平行) 向量不一定是相等向量
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例6.如图，设是正六边形的中心.
(1)写出图中的共线向量；
(2)分别写出图中与，，相等的向量.
向量与 平行，记作 //
3. 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 //
G
动脑思考 再探新知
N
E
B
观察例5中的向量，它们有什么异同点：
图中的向量、 平行，方向相同，模相等。
向量 、平行，方向相反，模相等。
M
T
A
H
L
Z
C
D
Q
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
III. 向量的模：
1. 定义：向量的大小称为向量的长度，或向量的模
2. 表示：在向量符号的两端加上短竖：
By黄婷婷
–忘机鸥鹭立汀沙
如：向量的长度表示成
，读作向量的模
3. 特殊向量： ①零向量：模为零的向量叫做零向量，记作
②单位向量：模为1的向量叫做单位向量
注意
1.向量不能比较大小，但向量的模可以比大小；
V. 相等向量：
1. 定义：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量
2. 表示：如图，用有向线段表示向量与 相等，记作 =
F
K
P
G
动脑思考 再探新知
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与
有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段
大小: = 方向:竖直向上
共同特点:“既有大小”、“又有方向”的量
抽象概括 探索新知
一本书、一棵树、一支笔…
位移、速度、重力、浮力…
定
义
只有大小的数量“1”
选题的背景
既有大小又有方向
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
只有大小没有方向的量叫做数量
既有大小又有方向的量叫做向量
注意
1.我们所学的向量是自由向量，即只有大小和方向，而没有特定
2.判断下列结论是否正确，并说明理由
(1)若与都是单位向量，则 = 。
(2) 方向为南偏西°的向量与北偏东°的向量是共线向量．
(3)单位向量都相等．
(4)若与是平行向量，则 = .
(5)若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点 与 不重合
(6)海拔、温度、角度都不是向量
➢ 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算，
学习向量的运算及性质，建立向量的运算体系。在此基础上，
用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的
一些问题。
本章知识结构
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
§6.1 平面向量的概念
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向量的实际背景与概念
向量的几何表示
典型例题 巩固新知
3.如图，在矩形中， = = ，，分别为边
，的中点，在以、、、、、为起点和终点的
所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
解：长度为1的向量共有18对，其中与同向的有6对，反向的也有6对
By黄婷婷
–忘机鸥鹭立汀沙
与同向的有3对，反向的也有3对
的位置，这样的向量可以任意进行平移
2.数量⟷标量（物理）
向量⟷矢量（物理）
数量
向量
举例辨析 理解新知
例1.举例：根据向量与数量的定义，将学过的 量 进行分类
数量：路程、面积、身高、体重、功、功率……
向量：位移、速度、重力、……
例2.判断下列说法是否正确,并说明理由:
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
①.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,
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相等向量与共线向量
小结及随堂练习
01
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
向量的实际背景与概念
创设情境 兴趣导入
路程
长
度
选题的背景 变
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙 化
位
amet sem vulputate venenatis bibendum orci pulvinar.
置
变
化
所以温度是向量.
错误,因为温度没有方向。
②.坐标平面上的x轴和y轴是向量.
错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小。
数量可由数轴上的点表示，那如何表示一个向量呢？
02
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
向量的几何表示
理解识记 向量表示
数量
用实数表示：如0、3、 − 3.2、 2……；
实数
一一对应
数轴上点
几何表示：
(终点)
具有方向的线段叫做有向线段
线段的长度也就是有向线段的大小
(起点)

理解识记 向量表示
I.
向量的几何表示：
向量常用一条有向线段来表示
a) 有向线段的长度表示向量的大小.
b) 箭头所指的方向表示向量的方向
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注意
有向线段三要素：起点、方向、长度
II.
向量的符号表示：
= Ԧ
例4：如图，分别用向量表示地至、两地的位移，并根据图中的
比例尺求出地至、两地的实际距离（精确到 ）
解： 表示地至地的位移,且 ≈ ___________;
表示地至地的位移, 且 ≈ ___________.
牛刀小试 运用新知
例5：说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方
长度为 的向量共有4对；
长度为的向量共有2对。
4.已知为平行四边形两条对角线的交点，则

.

.


.1
.2


的值为（
C
）
✓ 课时达标检测1（必做）
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
✓ 课本P6《阅读与思考》(选做)
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(起点)
Ԧ

(终点)
① 向量可以用有向线段的起点和终点字母表示
比如：以点A为起点，点B为终点的向量记作，读作向量AB
② 在印刷时,常用粗黑体小写字母, , … .表示;
③ 手写时，则可用带箭头的小写字母,,
Ԧ 来表示.
Ԧ
注意
符号表示向量时，起点必须写在终点的前面。
理解识记 相关概念
• 速度:小船航行的速度是10 /ℎ,速度方向是东南方向
大小: / 方向:东南方向
By黄婷婷 –忘机鸥鹭立汀沙
• 重力:物体受到的重力是竖直向下的
物体质量越大，它受到的重力也越大。
大小: = 方向:竖直向下
• 浮力:物体在液体中受到的浮力是竖直向上的
物体寝在液体的体积越大，它受到的浮力也越大。