天津市河北区2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析

天津市河北区2021届新高考第二次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；
③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的1 4 .
其中正确的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.
【详解】
使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；
使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，8130
0.14
56290
≈，故超过10%的大学生
使用app主要玩游戏，所以②错误；
使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401
562904
>，所以③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.
2．已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的一条渐近线方程为
4
3
y x
=，则双曲线的离心率为（）
A ．
43
B ．
53
C ．
54
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得出22b a 的值，进而利用离心率公式e =可求得该双曲线的离心率. 【详解】
双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得2
22416
39
b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
因此，该双曲线的离心率为5
3
c e a ====. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算
能力，属于基础题.
3． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
画出“11x y -≤+≤,11x y -≤-≤,22
1x y +≤,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P ，“22
1x y +≤”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q ，
显然P 是Q 的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:A .
【点睛】
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
4．已知函数()x
f x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）
A 2
B ．
14
C ．
1
16
2 D ．
1
4
或4 【答案】C 【解析】 【分析】
对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】
分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a m
a m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以2a =01a <<时，
22m m
a m a m
⎧=⎨=⎩，所以12m
a =，14m =，所以116a =.综上，116a =或2a = C. 【点睛】
本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.
5．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x+my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则正实数m 的最小值是( ) A ．
1
3
B ．3
C 3
D 3
【答案】D 【解析】 【分析】
设点()1,P my y -，由2PA PB =，得关于y 的方程.由题意，该方程有解，则0∆≥，求出正实数m 的取值范围，即求正实数m 的最小值. 【详解】
由题意，设点()1,P my y -.
22
2,4PA PB PA PB =∴=Q ，
即()()2222
11414my y my y ⎡⎤--+=--+⎣⎦
，
整理得(
)
2
2
18120m y my +++=，
则()()
2
2
841120m m ∆=-+⨯≥，解得m ≥
或m ≤.
min 0,m m m >∴∴=Q .
故选：D . 【点睛】
本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题. 6．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
解：a Q ，b ，c 为正数，
∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，
若222a b c +>，则22
()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，
a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．
7．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．()2
112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭
B ．(2)0()f f t ->>
C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】
由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=
∴函数()f x 关于直线1x =-对称；
()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；
又(2)(0)f f -=Q
()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；
22311
2()0224t t t ++-
=++>Q ，21t t ∴++比12
离对称轴远， ∴可得21
(1)()2
f t t f ++>，∴选项A 成立；
22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；
20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ
=->>，将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()
g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π
=，则ω的最小值为
A ．
1
6
B ．
23
C ．53
D ．
56
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ
=+
-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6
x π=
，所以sin(
)16
3
3ωωπππ+
-=±，即,6332
k k ωωππππ
+-=+π∈Z ，所以
52,3
k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为
5
3
．故选C ．
9．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【答案】B 【解析】 【分析】
通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】
解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题. 10．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】
解不等式327x <可得3x <，
解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，
据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.
11．过直线0x y +=上一点P 作圆()()2
2
152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，
2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】C 【解析】 【分析】
判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线
0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从
而得APB ∠． 【详解】
如图，设圆22
(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -，半径为2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直
线1l ，2l 关于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴15222
PC -+=
=，
设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21
sin 2
22AC PC
θ==
=，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒． 故选：C ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．
12．设复数z 满足z i
i z i
-=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1
C ．1i -
D ．1i +
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 由
()(1)11z i
i z i i z i i z i z z i
-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【点睛】
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有010
1101
2n
n
a n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】
利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果。

【详解】
由01
1101
011(2)102121
2n n n n n n
a a a S n n S n
n S -=-=++=---，令1n =，
得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

【点睛】
本题主要考查行列式定义的应用。

14．已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是__．
1． 【解析】 【分析】 因为1132(2)5x y x y y x ⎛⎫
+=
++ ⎪⎝⎭
，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.
由35x y xy +=，得
13
5y x
+=，
所以1131612(2)5(51555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当x =，取等号.
1 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，则数列{}n S 的前10项的和为______. 【答案】1 【解析】 【分析】
由1n n S a +=得2n ≥时，1n n S a -=，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和． 【详解】
解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，① 当2n ≥时，1n n S a -=，② ①-②得：1n n n a a a +=-，
整理得：1
2n n
a a +=（常数）， 故数列{}n a 是以21a =为首项，2为公比的等比数列，
所以2
12n n a -=⋅（首项不符合通项），
故2
112
2
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，
所以：()910121151221
S -=+=-，
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前n 项和的公式，属于基础题．
16．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.
【解析】 【分析】
按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可． 【详解】
9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，
200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：
200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知()ln f x x x =与y a =有两个不同的交点A B ，，其横坐标分别为12x x ，（12x x <）. （1）求实数a 的取值范围；
（2）求证：3
213212a e ae x x -+++<-<
. 【答案】（1）10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，；（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）利用导数研究()ln f x x x =的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；
（2）构造函数ln g x x x x =--（
），1
1ln 1
h x x x x e =---（）（）可证得：ln x x x ->，()111ln 11x x x x e e ⎛⎫⎛⎫->∈ ⎪
⎪-⎝⎭⎝
⎭，，分析直线y x =-，()111y x e =--与y a =。