2019精选教育26 211合情推理.doc
教学设计3：2.1.1 合情推理
《合情推理》教学设计●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
●教学过程：学生探究过程：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；所以，B对象具有属性d。
为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。
数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b ⇒ ac=bc; (2) a ＞b ⇒ ac ＞bc;(3) a =b ⇒a 2=b 2;等等。
(3) a ＞b ⇒a 2＞b 2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。
等差数列 等比数列a n -a n -1=d(n ≥2,n ∈N) ),2(1N n n q a a n n ∈≥=-a n =a 1+(n -1)d a n =a 1⋅q n -1a n =211+-+n n a a (n ≥2,n ∈N) a n 2=11-+⋅n n a a (n ≥2,n ∈N) 设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？ 设问2：如何分析表达式结构特征？)2()2(5)4(g f f -设问3：类比对象是什么？三角形与三棱柱。
课件11：2.1.1 合情推理
类比对象较合适
()
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
【解析】从构成几何图形的几何元素的数目、位置关
系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体
的类比对象较为合适．
【答案】C
4．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规 律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．
解：方法一：图(1)中的圆圈数为12－0； 图(2)中的圆圈数为22－1， 图(3)中的圆圈数为32－2， 图(4)中的圆圈数为42－3， 图(5)中的圆圈数为52－4… 故猜测第(n)个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
小结：
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比， 找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存 在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确 是需要证明的.
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
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2.1.1 合情推理
学习目标： 1．了解合情推理的含义及合情推理在数学发现中的作用； 2．理解归纳推理与类比推理的含义及它们的异同点． 3.理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的 推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
新知识·预习探究 知识点一：归纳推理 1．概念 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推 理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中， 1
OVEE＝hh1＝＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－－VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD， ∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VVBCV＋－BVCDO－VCD＋VO－VBD＝VVVV－－BBCCDD＝1.
数学选修2-2 2.1 2.1.1 合情推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理[基础自测]1．思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．()[答案](1) ×(2)×(3)√2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]3．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．[解析]类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)．[答案]b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)4．如图2-1-1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n ＝________(n>1，n∈N*).图2-1-1[解析]依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．[答案]153n－3[合作探究·攻重难](1)12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________． (2)已知：f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式． [解析] (1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x(3)①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32， 又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34， 又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34， 解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322， a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．[规律方法]进行数、式中的归纳推理的一般规律1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式. [跟踪训练]1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________.[解析] 因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33猜测x ＝64＋1＝65. [答案] 65 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. [解析] 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．[答案] 43n (n ＋1)图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.图2-1-2(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．①②③④图2-1-3[解析](1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案](1)5n＋1(2)509[规律方法]归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：[跟踪训练]3．如图2-1-4，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：图2-1-4通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根.[解析]数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．[答案]163n＋1[探究问题]三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的积的13.(1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1n＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．[思路探究] (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解析] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以n ，即商类比成开n 次方，即在正项等比数列{b n }中，有n b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .[答案]nb 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 母题探究：1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体(如图2-1-5所示)性质的猜想．图2-1-5[解] 如图所示，在四面体P －ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立”．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．[解] 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.下面证明上述猜想成立．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．[规律方法]类比推理的一般步骤[当堂达标·固双基]1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A．r22B．l22C．lr2D．无法确定C[扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.]2．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()图2-1-611 A.B.△C.D.○A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果. ]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.[答案] b 4＋b 8>b 5＋b 74．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.[解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)25．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P - A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。
教学设计7：2.1.1合情推理
2.1.1合情推理教学目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识链接1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．教学导入1．归纳推理和类比推理(1)归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，归纳是从特殊到一般的过程．(2)类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．合情推理(1)定义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想教学案例要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 11 14 11 5 (5)…………记第n (n ＞1)行的第2个数为a n (n ≥2，n ∈N ＋)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a 2、a 3、a 4、a 5； (3)归纳出a n ＋1与a n 的关系式．解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6 16 25 25 16 6 (2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11. (3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4， 由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2，n ∈N ＋)．规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N ＋，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N ＋. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N ＋)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N ＋，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N ＋)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形四面体跟踪演练2 已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．【答案】2x －y －2＝0【解析】将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：解球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③【答案】C【解析】由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.当堂检测1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 【答案】B【解析】根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大【答案】A【解析】由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 【答案】n 2－n ＋62【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 【答案】1 000【解析】由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.。
高中数学 2、211合情推理课件 新人教A版选修12
2．1 合情推理与演绎推理
1．知识与技能 了解合情推理的含义． 2．过程与方法 能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理． 体会并认识合情推理在教学发现中的作用．
本节重点：合情推理的定义及归纳推理和类比推理的 定义．
本节难点：归纳和类比推理的基本方法．
1．对归纳推理的理解 归纳推理是从个别事实中概括出一般结论的一种推理 模式．归纳推理的前提是特殊的情况，立足于观察、试验 或经验的基础上，归纳推理的结论具有猜测的性质． 2．归纳推理的一般步骤 (1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质． (2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一 个明确表述的一般性命题． (3)猜测一般性结论：在一般情况下，如果归纳的个别 情况越多，越具有代表性，那么猜测出的一般性结论也就 越可靠．
[解析] 设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割 成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
方法一：(1)f(1)＝1＝12， g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22， g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32
g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42， g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16. (2)根据题意猜测： 圆内两两相交的 n(n≥2)条线段，彼此最多分割为 f(n) ＝n2 条线段，将圆最多分割为 g(n)＝n2＋2n＋2部分．
(5)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证 法的思考过程、特点．
2．情感目标 (1)结合已学过的数学实例和日常生活中的实例，让学 生体会数学与其他学科以及实际生活的联系． (2)通过合理推理与演绎推理的学习，让学生了解数学 不单是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要 内容，从而形成对数学较为完整的认识，学习合情推理有 助于培养学生进行归纳时的严谨作风，从而形成实事求是、 力戒浮夸的思维习惯．
课件3：2.1 .1合情推理
2
60°) ＝
2
2
(sin α＋cos α)＝
＝右边．
完全归纳法
不完全归纳法
2．归纳推理包括_____________和_____________．
两类对象具有某些类似特征
3．由____________________________________________，推出
约的，等差数列与等比数列之间有着很多类似的性质，利用类比
可得等比数列的性质．
解析：在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和Sn.
(1)通项公式bn＝bm·qn－m；
(2)若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N*)；
(3)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am ·an ＝ a2p ；
______________________________________________________．
解析：原问题的解法为等面积法，即S＝
比问题的解法应为等体积法，V＝
内切球的半径是高的
Sh＝4×
ah＝3×
Sr⇒
r＝
ar⇒
r＝
h，类
h，即正四面体的
.
联想
类比推理
归纳类比
f(5)＝1＋2＋3＋4＋5＋1，类比f(n)＝(1＋2＋…＋n)＋1.
答案：16
n2＋n＋2
2
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为
2019-2020年人教B版选修2-2高中数学2.1.1《合情推理》word教案(1)
2019-2020年人教B 版选修2-2高中数学2.1.1《合情推理》word 教案（1）【教学目标】：1、结合已经学过的教学实例和生活实例，了解推理的含义；2、了解归纳推理的含义，并能用归纳的方法进行简单的推理。
【教学过程】：一、 案例引入： 在日常生活中，我们常常遇到这样一些问题：1、看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，你能得出什么判断？2、张三今天没来上学，我们会有什么判断？3、八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；4、朝霞不出门，晚霞行千里；5、瑞雪兆丰年。
问：这些实例具有什么样的共同特征？二、新授：1、推理： （1）定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理（2）结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么。
（3）一般形式： 注：推理也可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接。
常用的连接有： “因为…所以…”、“如果…那么…”、“根据…可知…”等等形式。
下面是三个推理案例：（1）前提 当0=n 时，11112=+-n n （2）前提 矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和 当1=n 时，11112=+-n n 结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和 当2=n 时，13112=+-n n （3）前提 所有的树都是植物，当3=n 时，17112=+-n n 梧桐是树当4=n 时，23112=+-n n 结论 梧桐是植物当5=n 时，31112=+-n n31,23,17,13,11,11都是质数结论 对于所有的自然数11,2+-n n n 的值都是质数（4）分类：推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。
问题引入：分析下列几个推理，寻找它们的共同特征：（1）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、 海龟、蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
高中数学教案选修2-2《2.1.1 合情推理(1)》
教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．教学难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学过程：一、创设情境从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：案例1 前提 当0n ＝时， 21111n n －＋＝； 当1n ＝时，21111n n －＋＝； 当2n ＝时，21113n n －＋＝； 当3n ＝时，21117n n －＋＝；当4n ＝时，21123n n －＋＝； 当5n ＝时，21131n n －＋＝．11，11，13，17，23， 31都是质数． 结论 对于所有的自然数n ，211n n －＋的值都是质数．案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．结论 铜能导电．三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、构建新知在案例1中，由“对自然数n 的几个特殊值，211n n －＋都是质数”，推出“对所有自然数n ，211n n －＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．归纳推理的思维过程：三、数学运用例1 已知数列{a n }的每一项均为正数，221111(12)n n a a a n ＋＝，＝＋＝，，，试归纳出数列{a n }的一个通项公式．分析 学生通过具体的：当1n ＝时，11a ＝，当2n ＝时，2a ，当3n ＝时，2a 由此我们猜想{a n }的一个通项公式为n a ．例2 已知数列{a n }的通项公式21()(1)n a n n +N ＝∈＋， 12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－．试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值．分析 学生讨论结果预测如下：113(1)1144f a ＝－＝－＝ 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936f a a f ⋅⋅＝－－＝－＝＝＝ 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f ⋅⋅＝－－－＝－＝＝ 由此猜想，2()2(1)n f n n ＋＝＋ 四、学生探究 1．已知111()1()23f n n n +⋅⋅⋅N ＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2f ＝，(4)2f ＞，5(8)2f ＞，(16)3f ＞，7(32)2f ＞，推测当2n ≥时，有_______________________． 2．已知：2223sin 30sin 90sin 1502＋＋＝，2223sin 5sin 65sin 1252＋＋＝． 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101＋＋＝． （2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51＋＋＝． 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．五、课堂总结1．归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性．（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上． 提出带有规律性的结论．（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．2．归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质．（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题．。
2019-2020年高中数学《2.1.1合情推理》教案 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学《2.1.1合情推理》教案 新人教A 版选修2-2 掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时●教学过程：一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
课件9：2.1.1 合情推理
答 1.归纳推理 特殊 一般 2.类似特征 已知特征 这些特征 特殊
案 3.事实 比较 联想 归纳 类比
名师讲解
1. 归纳推理 (1) 归纳推理的分类 ①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然 该结论一定正确． ②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．该 结论不一定正确．
(2) 归纳推理的一般步骤 第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的 点、线的个数、位置关系，数列中项的变化规律，一系 列式子的运算特点等． 第二步：把第一步观察到的共性进行推广，形成一般化 的结论． 如数列的通项公式，式子的运算结果等等．
2.1.1 合情推理
自学引导
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的 推理.
课前热身
1. 归纳推理． 由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这种特征的推理，称为 ________．概括为由________到________的推理．
2. 类比推理． 由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些 ________，推出另一类对象也具有________的推理称为类 比推理，其特征是由________到特殊的推理． 3. 合情推理． 根据已有的________，经过观察、分析、________、 ________，再进行________、________，然后提出猜想的 推理，统称为合情推理.
规律技巧 利用直角三角形的有关性质，通过观察四面 体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类 比出四面体的相似命题提出猜想.结论中 S2＝S21＋S22＋S23 为真命题.
变式训练2 通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …… (n＋1)2－n2＝2n＋1，
课件4：2.1.1 合情推理
点评：以上归纳推出一般性结论的方法称作不完 全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正 确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．
命题方向：归纳推理在几何问题中的应用
例2：数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱 数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
【解析】仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出 三者之间的关系． 解：各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.
所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故选A. 【答案】A
2．由170>58，191>180，1235>291，…若 a>b>0，m>0，则ba＋ ＋mm
与ba之间的大小关系为
()
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
【解析】∵170＝58＋＋22>58，191＝180＋＋11>180， 1235＝291＋＋44>291，…都成立， ∴猜想：若 a>b>0，m>0，则ab＋＋mm>ba，下面证明 ∵ba＋＋mm－ba＝ab＋aam(a－＋amb)－bm＝ma((aa＋－mb))>0， ∴ba＋＋mm>ba，故应选 B.
多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 正方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
面数(F) 4 5 5 6 6 8 7 7 9
顶点数(V) 4 5 6 6 8 6 10 10 9
棱数(E) 6 8 9 10 12 12 15 15 16
观察其数字特征：
4＋4－6＝2；
5＋5－8＝2；
5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2；
个别事实 概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理 (简称归纳)．简言之，归纳推理是由 部分 到 整体、由 个别 到一般 的推理．归纳推理包括 不完全归纳法 和 完全归纳法．
211类比推理优秀课件
归纳、 类比
提出 猜想
归纳推理 合情推理
类比推理
通俗地说，合情推理是指“ 合乎情理 ”的推理 .
《标准智商测试题》
1、水果：苹果 A.香梨：黄梨 B.树木：树枝 C.经济适用房：奔驰 D.山：高山
【解答】该题题干中水果与苹果两个词之间是一般和特殊的 关系，所以答案为选项D。选项B的两个词之间的关系是整 体与部分的关系。
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间相似形或一致性； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，
从而得出一个命题 (猜想)；
问题 : 类比三角形的性质，列出四面体的有关特征。
错误（可能相交）
利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 an ? an?1 ? d（n ? 2) an : an?1 ? q（n ? 2)
an ? a1 ? (n ? 1)d
通项公式
an ? am ? (nm? )d
an ? a1qn?1 an ? am qn? m
前n项和
Sn
?
n(a1 ? 2
这几 个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳 推理有什么区别？
2.1.1 类比推理
日照一中 葛国友
什么是类比呢？
根据两类不同事物之间具有某些类似 (一致)性,推测其中一类事物具 有与另一类事物类似(相同)的性质的推理, 叫做类比推理.(简称类比)
类比推理的几个特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性 ,推测正在研究 的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
211合情推理
部分 个别
整体 一般
合概作念探究认一：知：
归纳推理的定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或 者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳 推理（简称归纳）
思考1：你能举出归纳推理的例子吗？
思考2：归纳推理的结论是否一定正确？
费马猜想： 1640年底，法国数学家费马观察到：
221 1 5
222 1 17
223 1 257 224 1 65537
都是质数
于是他归纳推理提出猜想： 形如 22n 1的数都是质数
1732年，欧拉发现： 225 1 4294967297 641 6700417
例题解析：
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且an1
2n p1 p2 (n N , n 3)
22=5+17 24=7+17 26=13+13 28=5+23 …… 1000=29+971 1002=159+863 至今没发现反例
哥德巴赫猜想
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于 1966年证明的，成为陈氏定理“任何充分 大的偶数都是一个质数与另一个自然数之 和，而这另一个自然数可以表示为最多两 个质数的乘积。
概念认知：
推理
根据一个或几个已知的判断来 确定一个新的判断的思维过程
合作探究一： 思考1：根据这些等式你能得出什么结论？ 2=？
4=？ 6=3+3
偶数 = 奇质数 + 奇质数
8=3+5 10=3+7=5+5思考2：其他偶数是否有同样的结论？
12=5+7
猜想：
课件7：2.1.1 合情推理
2．统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总 体，是否属归纳推理？ 【提示】 属于归纳推理．它符合归纳推理的定义特征， 即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理．
知识点2 类比推理 问题导思 1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似 的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2) 有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时 间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．请问：科学 家由此猜想到什么？他们使用了什么样的推理？
种性质的推理，叫做 _同__)_的__性__质__的推理，叫做
归纳推理(简称归纳)． 类比推理(简称类比)．
名称
归纳推理
类比推理
由__部__分___到___整__体____， 由__特__殊__到_特__殊__的
特征
由_特__殊___到_一__般__的推理．
推理.
课堂探究 类型1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …… 照此规律，第n个等式可为________．
又∵fn(x)＝f(fn－1(x))， x
∴f2(x)＝f(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x.
x f3(x)＝f(f2(x))＝1－1－1－2xx2x＝1－x3x，
x f4(x)＝f(f3(x))＝1－1－1－3xx3x＝1－x4x.
因此，可以猜想出 fn(x)＝1－xnx.
类型2 几何图形中的勾股定理，猜想出四 面体P－DEF四个面的面积之间的关系． 我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2. 于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P－DEF 中， 我们猜想 S2＝S21＋S22＋S23成立．
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2.类比推理的一般思路：
类比推理的一般原则是根据当前问题的需要选择恰当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量关系，数式的运算符号、运算结构入手得出相应的结论.
例2.如图所示，在 中，射影定理可表示为 ，其中 分别为角 的对边.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.
A. B. C. D.
2.如图①所示的图形有面积关系： ，则图②所示的图形有体积关系： .
课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）
1．课堂互学
1.归纳推理的特点
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊情况，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围.
（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验.在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论就越可靠.
2.归纳推理是由到、由到的推理.
3.类比推理
由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知特征，推出的推理称为类比推理.
4.类比推理是由到的推理.
5.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据，经过、、、，再进行、，然后的推理，我们把它们统称为合情推理.
预习评价
（学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）
1.由集合 的子集个数归纳出集合 的子集个数为（）
当堂检测
1.数列3,5,9,17,33， 的通项公式 等于（）
A. B. C. D.
2.已知函数 的定义域为正实数集， ，对任意正实数 等差数列 的前 项和为 ，则 成等差数列.类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ，，， 成等比数列.
2.1.1合情推理
班级：姓名：小组：
学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.
2.明确归纳推理和类比推理的特征，掌握合情推理的方法和步骤.
学习重点
难点
重点：归纳推理.
难点：类比推理.
学法指导
通过课前自主预习，让学生学会合情推理的思想.
课前预习
1.归纳推理
由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由概括出一般结论的推理，称为归纳推理.
4.对任意正整数 ，猜想 与 的大小关系.
学后反思