福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题

闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中、长乐二中
2016—2017学年第一学期高二年段期中考数学（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）
1. 已知数列，则是它的（）
A. 第22项
B. 第23项
C. 第24项
D. 第28项
【答案】B
【解析】分析：根据通项公式求项数.
详解：因为，所以,
选B.
点睛：本题考查数列通项公式的含义，考查基本运算能力.
2. 下列选项中错误的是（）
A. 若，则
B. 若b<a<0，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】分析：根据不等式性质判断真假.
详解：因为若，则，所以A对，
因为若，则，所以B对，
因为，则，所以C错，
因为若，则，所以D对，
因此选C.
点睛：本题考查不等式性质，考查对基本概念、性质的理解与应用.
3. 的内角的对边分别为，已知，则c边长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据正弦定理求c.
详解：因为，所以
选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
4. 不等式解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：解分式不等式即得结果.
详解：因为，所以
因此选A.
点睛：本题考查解分式不等式，考查基本运算能力.
5. 已知等差数列的前n项和为,若=184，则+=（）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
【答案】C
【解析】分析：先根据等差数列求和公式表示，再根据等差数列性质求+.
详解：因为=184，所以,
因此，
选C.
6. 在中，已知，则此三角形是（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 直角或等腰三角形
【答案】A
【解析】分析：先根据正弦定理化角，再化简得角的关系，进而确定三角形形状.
详解：因为，所以
因此选A.
点睛：(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
7. 已知等比数列中,，为方程的两根，则的值为（）
A. 16
B. 8
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：先根据韦达定理得，再根据等比数列性质得的值.
详解：因为，为方程的两根，所以,且,
因此，
选B.
点睛：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则
a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．
8. 在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为( )
A. m
B. m
C. m
D. m
【答案】D
【解析】分析：先根据直角三角形得到塔的距离，再根据直角三角形求塔在观测点上面的高度，最后加20得结果.
详解：因为塔底俯角为，所以观测点到塔的距离为20，
所以塔在观测点上面的高度为
因此这座塔的高为，
选D.
点睛：本题考查俯角、仰角等基本概念，考查基本运算能力.
9. 已知不等式组表示的平面区域面积为2，则的值为（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】分析：先作可行域，根据直角三角形面积求a的值.
详解：作可行域，因为不等式组表示的平面区域为直角三角形，所以
选C.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
10. 已知，则的最小值是（）
A. B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据1的代换将式子变形，再根据基本不等式求最值.
详解：因为，
当且仅当时取等号，
因此选D.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，
否则会出现错误.
11. 函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则等于( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】分析：先根据定义计算，找出规律，根据周期求结果.
详解：因为，所以周期为3，所以，
选B.
点睛：本题考查函数表示方法，根据图表揭示解析式的规律，考查发现问题解决问题的能力.
12. 在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥-1对任意实数x恒成立，则实数a 的最大值为( )
A. －
B. －1
C.
D. 2
【答案】D
【解析】分析：先根据定义化简不等式，再根据一元二次不等式恒成立得a的条件，解不等式可得a的最大值.
详解：因为＝ad－bc，所以对任意实数x恒成立,
所以,即实数a的最大值为2，
因此选D.
点睛：考查一元二次不等式恒成立问题，考查数形结合与等价转化数学思想方法.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，最大边和最小边边长是方程的两实根，则边长等于______。

【答案】5.
【解析】分析：先根据韦达定理得，再根据余弦定理求边长.
详解：因为最大边和最小边边长是方程的两实根，所以
因为，所以
因此BC=5.
点睛：运用余弦定理时，要注意整体思想的运用：
如,
或.
14. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为___
【答案】3.
【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图像，确定最大值的取法.
详解：作可行域，所以目标函数过点A(3,0)时取最大值3.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15. 数列的通项公式，若前n项的和为11，则n=________.
【答案】143.
【解析】分析：先分母有理化，再根据裂项相消法得前n项的和，解方程可得n.
详解：因为，所以，
所以
因此，
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，
常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
16. 下列命题中，正确命题的序号是____________。

①数列{a n }的前n 项和，则数列{ a n }是等差数列。

②若等差数列{ a n }中，已知
,则
③函数的最小值为2。

④等差数列
的前n 项和为，若
，
，则最大时
13
⑤若数列{a n }是等比数列，其前n 项和为则常数k 的值为1．
【答案】①②④.
【解析】分析：①根据和项与通项关系求通项，再根据等差数列定义进行判断，②根据等差数列基本量的计算求
；③根据函数单调性求最小值，④根据等差数列性质确定项的符号变化的情况，根据所有正项
的和最大确定结果. ⑤根据等比数列和项特点得常数k 的值. 详解：因为，所以,数列{}是等差数列; ①正确；
因为
，所以
，②正确；
因为,t=，所以在上单调递增，当时取最小值为，③错；
因为，，所以
，因此最大时
13，④对.
若数列{a n }是等比数列，其前n 项和为,因为，所以k=3,
⑤错.
点睛：等差数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17. 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；
(2) 是{a n }的前n 项和，求的最大值。

【答案】(1) a n＝－2n＋27.
(2)169.
【解析】分析：(1)先根据a1，a11，a13成等比数列求公差，再根据等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得，再根据二次函数性质求最大值.
详解： (1)设{a n}的公差为d.
由题意，a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故a n＝－2n＋27.
（2）因为
=
当n=13时有最大值为169.
点睛：数列是特殊的函数，因此研究数列有关最值问题，可利用对应函数性质进行研究，注意自变量为正整数.
18. 在中，,
若
（1）求C角大小。

(2)若且 ,判断的形状。

【答案】(1) C= .
(2)等边三角形.
【解析】分析：(1)根据正弦定理化边的关系，再根据余弦定理求C角大小，（2）根据向量数量积得，解得a,b，再根据C角判断三角形形状.
详解：（1）
由正弦定理得
得
C C=
(2)
①
又②
联立①②解得
故是等腰三角形又C=
是等边三角形
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
19. （1）已知不等式解集为，求不等式的解集。

（2）若不等式对任意均成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (1,2).
(2).
详解：（1）由题意知：－1，2是方程ax2+bx+2＝0的两根，且
由根与系数的关系，得
解得a＝－1，b＝1，
代入不等式可得：
解得1<x<2 不等式解集为(1,2)
（2）原不等式可化为
显然a＝1时不等式化成符合题意，
当所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有，
即解得
综上所述实数a的取值范围为
点睛：利用不等式的解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数是一个常考的基本方法.
20. 在中，角A,B,C的三边长分别为a,b,c,，若A=，
（Ⅰ）若求；（Ⅱ）求周长取值范围。

【答案】(1).
(2).
【解析】分析：(1)先由余弦定理得c,b,再根据三角形面积公式求结果，（2）由正弦定理将周长表示为角B的函数，根据B范围以及正弦函数性质求周长取值范围.
详解：（Ⅰ）当时由余弦定理得
即
解得c=,
所以=2
所以=
（Ⅱ）因为=
所以，
所以周长=
因为A=，所以，
周长
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
21. 2015年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.
（I）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f(n)，求f(n)的表达式；
（II）这种汽车使用多少报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？
【答案】(1).
(2)13.
【解析】分析：（1）先根据等差数列求和公式得维修总费用，再加上购买费用、保险费、养路费、汽油费得f(n)的表达式；（2）先列年平均费用，再根据基本不等式求最值,最后根据等号取法得结果.
详解：（I）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为
（万元）
所以（万元）
（II）该辆轿车使用n年的年平均费用为
=3.7（万元）
当且仅当时取等号，此时n=13
答：这种汽车使用13年报废最合算.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
22. 数列中,满足,
（I）求的通项公式。

（II）若数列满足，且
= ,求大小
(Ⅲ).令，证明成立.
【答案】(1)（）.
(2).
（3）证明见解析.
【解析】分析：(1)先根据和项与通项关系得递推关系，再根据等比数列定义及通项公式得结果，（2）先化
简，再利用裂项相消法求和，（3）先分奇偶讨论，化简
，再根据等比数列求和公式得，即证得结论.
详解：（1）由题意知：
当且时，
两式相减得，
当时，，∴
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以（）
（2）由（1）得，所以
所以，
所以
==
（3）证明
当
=
= 对任意都成立。

故成立.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，
常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或
.。