“两角和与差的正切”课堂实录及片段点评

“两角和与差的正切”课堂实录及片段点评
作者：王立斌
来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2007年第02期
[本课选自人教版义务教育课程标准教材《代数》（必修）九年级下册.]
师：前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式，请大家回忆有关公式(学生口答，教师板书公式).
sin(α±β)与cos(α±β)是讨论复角α±β与单角α、β的正、余弦函数间的关系，且此关系对任意角α、β均成立.今天我们要讨论tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系.大家想想，能用tanα、tanβ来表示tan(α±β)吗？
[以旧引新，创设问题的情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动.]
师：可以看出，以上推导是把两角和(或差)的正切转化为两角和(或差)的正、余弦；把两角差的正切转化为两角和的正切，即都采用了“转化”的思想方法.这种思想方法是研究数学问题的基本思想方法.在上面推导过程中，是否还有其他值得注意的地方？
(稍加停顿，启发学生回答)分子、分母同时除以cosαcosβ，有没有条件限制？
生：cosα≠0，cosβ≠0.
师：还有什么限制？
生：cos(α±β)≠0.
[片段点评：明确定理、公式成立的条件并从公式推导中提炼思想方法，使学生的认识完整化.]
师：用什么方法能记住公式Tα±β呢？(让学生议论.)
生：这两个公式不必硬记，记住其推导过程，公式就自然记住了.
生：这两个公式的形式相同，区别仅在于符号上，我觉得只要记住两点：一是右边分子里中间的符号与左边α±β中间的符号相同；二是分母中间的符号与分子中间的符号相反.
[片段点评：理解记忆和对比记忆都是记忆的有效方法.]
师：我们通过以下的例题来看看如何运用公式.
例1：不查表，求值：
（让学生互相讨论解决，教师巡视指导，并做小结.)
师：通过上例，有以下几个方面值得我们注意：
(1)将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值.
(2)运用公式时，不能仅局限在从左到右的使用，还要善于从右到左的逆用.
(3)单角和复角是相对的，60°+α与30°+α也均可看成单角，那么30°角就是它们的差角，因此例1(3)直接逆用公式Tα-β即可，没有必要将tan(60°+α)、tan(30°+α)用公式Tα+β展开后计算.
(4)掌握变形技巧，灵活进行“1”的代换.如例1(4).
通过例1(1)的解法暗示1可用tan45°来代换.
[片段点评：恰当地使用暗示，达到启发学生思维的良好效果.]
师：下面我们讨论例2.
例2：不查表，求值：
(1)tan15°+tan30°+tan15°tan30°；
(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°tan30°.
(让学生思考和讨论，教师进行必要的启发诱导.)
生：第(1)题可以仿照求tan75°的方法求出tan15°，再求出整个式子的值.
师：实际上大家都已注意到，15°和30°两角的和是特殊角45°，能否直接运用公式Tα-β？如果能用，怎么用法？tan15°+tan30°相当于公式中的tanα+tanβ，那么这一部分怎样表示呢？(教师配之以手的形象动作，启发学生进行公式变形.)
生：可将公式Tα+β变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)(*)
师：例2(1)能用(*)式来解吗？请你继续说下去.
生：tan15°+tan30°+tan15°tan30°
=tan(15°+30°)(1-tan15°tan30°)+
tan15°tan30°
=1.
[片段点评：通过具体例子显示出灵活运用公式的优越性，必将给学生留下深刻的印象，有利于学生解题技巧的形成.]
师：这里说明，对于公式我们不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用.大家能否用这样的思想自己完成例2(2).(让一学生板书演示.)
例3：已知tanα与tanβ是一元二次方程3x2+5x-2=0的两个根，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，(1)求α+β的值；(2)求cot(α-β).
师：求α+β的值，一般是通过求它的某个三角函数值而得到.求哪一个三角函数值较方便？求值的条件具备了吗？
师：上面解法，有没有问题？(略停顿，引导学生观察、思考.)由tan(α+β)=-1能肯定
α+β=135°吗？其依据是什么？
生：∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180°.
∴90°＜α+β＜270°，在90°与 270°之间，只有135°的正切值为-1，∴α+β=135°.
[片段点评：特别提醒学生，这种忽略讨论角度范围的错误，在学习中是常见的，要引起足够的重视，以培养学生思维的严密性.]
师：不求方程的根，tanα-tanβ如何求呢？
(引导观察tanα-tanβ，tanα+tanβ，tanαtanβ三者之间的关系，进而启发学生得到下面方法.) ∵（tanα-tanβ）2=（tanα+tanβ）2-4tanαtanβ
[片段点评：根据代数知识，创造运用公式的条件，以使学生灵活地综合运用学过的知识，培养分析与解决问题的能力.]
师：请小结一下本课所讲的内容.
生：主要内容有推导公式，讨论公式中，α、β、α±β的取值范围，如何运用公式？做到三会：正用、逆用、变形用.
师：课外做如下作业：
阅读课文有关内容(略).
课本习题(略).
研究题：
1.若tanα与tanβ是方程x2-4x+1=0的两个根，且α、β均为锐角，求α+β的值.
2.不查表，求(1+tan1°)(1+tan2°)……(1+tan43°)(1+tan44°)的值.
3.求证：tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A).
（作者单位：讷河市第2中学）
编辑/张烨
E-mail:hit790205@
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