解析几何简明教程答案

2 2 2 2 2 cos 0 00 1 ） 和 （0， 0， 1） ， 则： ,0, 2 2 2 2 2

4
14 14 2 14 2 5 5 , , ）和（ ） ，则： ,0, 14 7 14 5 5
2）方向余弦为（
cos
14 2 5 14 3 14 5 70 70 ( )0 arccos 14 5 7 14 5 70 70
0, b, c 点 N a, b, c 在平面 XOY，XOZ，YOZ 上的垂足分别为： a, b,0，a， 0, c ，
0， 在 X，Y，Z 轴上的垂足分别为： a， 0， 0，0，b，0， 0，c

3. 给定点 M 1,2,3 和 N a, b, c ，求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。 解： 关于 XOY 对称 M（1，-2，3） N（a, b, c） （1，-2，-3） （a, b, -c） 关于 X 轴对称 M（1，-2，3） N（a, b, c） （1，2，-3） （a, -b, -c） 关于 XOZ 对称 （1，2，3） （a, -b, c） 关于 Y 轴对称 （-1，-2，-3） （-a, b, -c） 关于 YOZ 对称 （-1，-2，3） （-a, b, c） 关于 Z 轴对称 （-1，2，3） （-a, -b, c） 关于原点对称 （-1，2，-3） （-a, -b, -c）
ABC是Rt
又： AB BC
A C

4
, B

2
故各边长为： AB BC 7, AC 7 2 ; 各内角为： A C

4
, B

2
3) 3 y 2 0;
11．在给定的坐标系中画出下列平面： 1） 2 x 3 y z 6 0; 4) 4 x 3z 2 0; 12.求下列平面的方程： 1）过点（0，-1，4） ，法向的方向数为（2，-1，0） ； 解：1）设所求方程为： 2 x y D 0 ，又点（0，-1，4）在平面上 2) x 2 y 2 z 1 0; 5) 3x y 4 z 0.
2 2 1 , , ) 。 3 3 3
3 1 , ,0), (2,1,4) 。 2 2
8．求下列方向的方向角： （0,0,-1）,(
解： （0，0，-1）的方向余弦为：0，0，-1，则方向角为：

, , 2 2
（
3 1 3 1 , ,0) 的方向余弦为： , ,0 ，则方向角为： , , 6 3 2 2 2 2 2
2 21 21 4 21 , , ，则方向角为： 21 21 21
（-2，-1，-4）的方向余弦为：
arccos
2 21 21 4 21 , arccos , arccos 21 21 21
9．求下列各对方向之间的夹角： 1） （1，0，1）和（0，0，1） ；2） （-1，-2，3）和（2，0，1） ；3） （01，-4，-5）和（2， 3，4） 。 解： 1） 方向余弦为 （ 而 (0, ) 故
3
所求平面方程为： 34 x 18 y 11z 35 0
4）过点（3，-1，4）和（1，0，-3） ，垂直于平面 2 x 5 y z 1 0; 解：设平面方程为： Ax By Cz D 0 ，则由题可得：
3 A B 4C D 0 A 3C A 3 B C 令C 1， 则 B 1 A 3C D 0 2 A 5B C 0 D 6C D 6
1 2 2
（ 0， (0， 2， 2) ，即：
（0，2，-2）的方向余弦为：
2 2 ， ) 2 2
（-1，-2，-5）的方向余弦为：
1 30 30 30 （ ， ， ) (1， 2， 5) ，即： 30 15 6 30
7．求从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数和方向余弦。 解：从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数为（-1-1，0-2，-1+2） ，即（-2， -2，1） ；方向余弦为（
2 2 2
6．求下列方向余弦： （1，2，-2） ， （2，0，0） ， （0，2，-2） ， （-1，-2，-5） 。 解： （1，2，-2）的方向余弦为： (1,2,2) ，即： （ ， ，
1 3
1 2 3 3
2 ） 3
1
（2，0，0）的方向余弦为：
1 （ 1， (2,0， 0) ，即： 0， 0） 2
D 7
所求平面方程为：3x 2 y 7 0
3）过点（1，3，5） ， （-1，-2，3） ， （2，0，-3） ； 解：设平面方程为： Ax By (Cz D 0 ，则由题可得：
34 A 35 D A 3B 5C D 0 A 34 18 D 令D 35， 则 B 18 A 2 B 3C D 0 B 35 2 A 3C D 0 C 11 11 C 35 D
17．求下列直线在各坐标平面上的投影；并画图： 1）
x 1 y 3 z 1 1 2 1
x 1 y 3 解：由 1 2 得直线在 XOY 平面上的投影为： 2 x y 1 z 0 z 0 x 1 z 1 由 1 1 得直线在 XOZ 平面上的投影为： x z 2 y 0 y 0 y 3 z 1 由 2 1 得直线在 YOZ 平面上的投影为： y 2 z 5 x 0 x 0
2）法式方程为：
2 0 3 4 3 2 4）法式方程为： x z 0 5 5 5
3）法式方程为： y 5）法式方程为：
3 26 26 2 26 x y z0 26 26 13
14．在给定的直角坐标系中画出下列直线： 1）
x 1 y 2 x 4 ； 1 1 1
x 2 y 3 z 5 1 3 4
2）过点（0，3，1）和（-1，2，7） ； 解：直线的方向数为： （-1，-1，6） ，则直线方程为： 3）过点（-1，2，9） ，垂直于平面 3x+2y-z+5=0; 解：由题可知直线的方向数为： （3，2，-1） ，则直线方程为： 4）过点（2，4，-1） ，与三个坐标轴成等角。 解：由于直线与三个坐标轴成等角，则（1，1，1）为其一个方向数，则：直线方程为：
x 1 y 2 z 7 1 1 6
x 1 y 2 z 9 3 2 1
x 1 y 4 z 1 1 1 1 x 1 y 1 z 2 16．给定直线 l : ，求 2 1 3
1）过 l 平行于 Z 轴的平面； 解：由题可设平面方程为： Ax By D 0 ，则：
2
42 0 0 4 ，
点 M 在 X，Y，Z 轴上的垂足分别为 A(4,0,0) ，B（0，-3，0） ，C（0，0，5）则距离为：
MA (3) 2 52 34 ， MB 42 52 41 ， MC 32 42 5
5．求点（1，2，-2）和（-1，0，-2）之间的距离。 解：所求距离为： d (1 1) 2 1 3
所求平面方程为： 3x y z 6 0
5）过点（0，-1，3）和 Y 轴； 解：设平面方程为： Ax Cz 0 ，则：
0 A 3C 0
C 0
而A 0
所求平面方程为： x 0
6）过点（-2，-1，3）和（0，-1，2） ，平行于 Z 轴。 解：设平面方程为： Ax By D 0 ，则由题可得：
5
2）
x 1 y 1 z 2 ； 0 1 2

x 1 y 1 解：由 0 1 得直线在 XOY 平面上的投影为： x 1 z 0 z 0 x 1 z 2 由 0 2 得直线在 XOZ 平面上的投影为： 2 x 2 y 0 y 0
2 A B D 0 B D 所求平面方程为： y 1 0 B D 0 A 0
13．将 11 题中的平面方程化为法式方程： 解：1）法式方程为：
14 3 14 14 3 14 x y z 0 7 14 14 7 14 14 3 14 14 x y z 0 14 7 14 14
x 2 y 3 z 1 ； 1 2 2
2）
x 1 y 2 z 3 ； 0 1 2
2 x 3 y 1 0, 4 x 3 y z 1 0.
3）
4）
15．求下列直线的方程：
4
1）过点（-2，3，5） ，方向数为（-1，3，4） ； 解：直线方程为：
10. 证明：顶点是 A（2，4，3） ，B（4，1，9） ，C（10，-1，6）的三角形是直角三形角形。 求出各边的长和各内角的大小。 证明： A(2,4,3), B(4,1,9), C (10,1,6) AB 7, AC 7 2 , BC 7 即： AB BC AC
2 2 2
2 0 (1) D 0
D 1 所求平面方程为：2 x y 1 0
2）过点（-1，-5，4） ，平行于平面 3x 2 y 5 0; 解：2）设平面方程为： 3x 2 y D 0 ，则：
3 (1) 2 (5) D 0
4．求点 M（4，-3，5）到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。 解：点 M 到原点的距离： OM
42 (3) 2 52 5 2
点 M 在 XOY，XOZ，YOZ 上的垂足分别为 A（4，-3，0） ，B（4，0，5） ，C（O，-3，5） ， 则距离为： MA 0 0 25 5 ， MB 0 (3) 0 3 ， MC
第一章
空间直角坐标，平面和直线
1．在给定坐标系中画出下列各点：
1， 0， 1， 5， 1， 4， 3 。 2， 4， 1， 2， 4，
2．自点 M 1， 2， 3 和 N a, b, c 分别引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。
1， 2， 0， 2， 解： 点 M 1， 2， XOZ， YOZ 上的垂足分别为： 3 在平面 XOY， 0，1， 0， 3， 3 0， 在 X，Y，Z 轴上的垂足分别为： 1 ， 0， 0，0， 2， 0， 0， 3
3）方向余弦为（
1 4 5 2 3 4 ） ，则： , , ）和（ , , 42 42 42 29 29 29
2
cos
1 4 2

3 4 3 5 4 17 1218 17 1218 arccos 609 609 29 42 29 42 29
2 A B 0 A B D 0
B 2 A D A
B 2 令A 1， 则： D 1
所求平面方程为： x 2 y 1 0
2）l 在 XY 平面上的投影。
解：由 2
x 1 y 1 x 2 y 1 0 1 得直线 l 在 XY 平面上的投影为： z 0 z 0