广东省湛江市第十一中学2020年高三数学理月考试卷含解析

广东省湛江市第十一中学2020年高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3=10，且，则a2=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
A
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由数列{a n}是等差数列，，可得a1a3=5，利用a1a2a3=10，即可求出a2的值．
解答：解：∵数列{a n}是等差数列，
∴S1=a1，S5=5a3，
又∵，
∴a1a3=5
又∵a1a2a3=10
∴a2=2
故选A．
点评：本题考查的知识点是等差数列的前n项和，及等差数列的性质，在等差数列中：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；在等比数列中：若m+n=p+q，则a m?a n=a p?a q；这是等差数列和等比数列最重要的性质之一，大家一定要熟练掌握．
2. 设复数，若为纯虚数，则实数（）
A． B. C． D．
参考答案：
D
3. 已知双曲线右支上的一点到左焦点距离与到右焦点的距离之差为
，且到两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
参考答案：
D
4. 已知函数，若数列的前n项和为Sn，且，则=
（）
A．895 B．896 C．897 D．898参考答案：
A
略
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )
A.
B.
C.
D.
参考答案：
D
由几何体的三视图知该几何体是一个边长为正方体与一个半径为半球的组合体,所以其体积为,选D.
6. =（）
A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．
【解答】解：．
故选C．
【点评】本题考查复数代数形式的运算，是基础题．
7. 函数(其中A>0,)的部分图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：
A
略
8. 如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
A
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，相加可得答案．
【解答】解：三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；
三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；
故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，
故选：A
9. 设函数,若对于任意的,都有,则的最小值为( )
A.4
B.2
C.1
D.
参考答案：
B
10. 已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．参考答案：
A
【考点定位】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 . 参考答案：
略
12. 如图，圆内的正弦曲线
与轴围成的区域记为 (图中阴影部分)，随机往圆内投一个点，则点落在区域
内的概率是
．
参考答案：
阴影部分的面积为，圆的面积为，所以点落在区域内的概率是。

13. 对于二次函数，有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
其中一定正确的命题是______________.（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
②③
14. 已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是
参考答案：
15. 已知三棱锥的三视图如右图，则它的体积为__________
参考答案：
16. 在半径为5的球面上有不同的四点
A 、
B 、
C 、
D ，若，则平面BCD 被球所截
面图形的面积为 .
参考答案：
考点：球的截面问题.
17. 甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有道选择题，每题均有个选项，答对得分，答错或
不答得分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有道题的选项不同，如果甲最终的得分为
分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．
参考答案：
【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.
【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.
【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所
以乙的所有可能的得分值组成的集合为，故答案为.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=|x+1|﹣2|x|． （1）求不等式f （x ）≤﹣6的解集；
（2）若存在实数x 满足f （x ）=log 2a ，求实数a 的取值范围．
参考答案：
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最大值，问题转化为
≤1，解出即可．
【解答】解：（1）x≥0时，f （x ）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6， 解得：x≥7，
﹣1＜x ＜0时，f （x ）=x+1+2x≤﹣6，无解， x≤﹣1时，f （x ）=﹣x ﹣1+2x≤﹣6，
解得：x≤﹣7，
故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；
（2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，
﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，
x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，
故f（x）的最大值是1，
若存在实数x满足f（x）=log2a，
只需≤1即可，解得：0＜a≤2．
19. 已知定义在上的函数，其中为大于零的常数．
（Ⅰ）当时，令，求证：当时，（为自然对数的底数）；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
参考答案：
（Ⅱ），
（*），令有-----------9分设方程（*）的两根为则，设----10分
当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或；
当时，在上单调递减，最大值为，
所以在上的最大值只能为或；又已知在处取得最大值，所以即解得，所以
略
20. （本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是菱形，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若平面平面，且，求点到平面的距离．
参考答案：
(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .
则，
又∵是中点，
∴．…………………………………………………………………………………………………
…6分
考点：空间线
面的位置关系及等积法求距离的方法的运用．
21. 如图，在平面直角坐标系中，A、B分别是椭圆：的左、右顶点， P(2,t)（t∈R,且
t≠0）为直线x＝2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和
AC、AD连线交于E、F。

（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；
（2）若t＝-1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：定值；
（3）求证：四边形AFBE为平行四边形。

参考答案：
（1）由题意：上顶点C(0，1)，右焦点E(-，0)，
所以l：y＝-x+1，令x＝2，得t＝1-……………………………………………2分
(2)直线AC：y＝k1(x+2)，与联立
得：C:，同理得D: …………………………………4分由C，D，P三点共线得：k CP＝k DP，得+＝-4（定值）…………………………8分
(3)要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，
设点P(2,t)，则OP：y＝x，分别与直线AC：y＝k1(x+2) 与AD：y＝k2(x+2)联立得：
x E＝，x F＝，下证：x E+x F＝0，即+＝0
化简得：t(k1+k2)-4k1k2＝0………………………………………………………………12分
由(2)可知C:，D:
由C，D，P三点共线得：k CP＝k DP，得t(k1+k2)-4k1k2＝0（得证）………………16分
22. （本题满分14分）
已知数列和满足.若为等比数列，且
（1）求与；（2）设。

记数列的前项和为.（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有.
参考答案：
（1）
（2）。