广东省江门市2019-2020学年高三下学期4月模拟数学(文)试题(学生版)

数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，P ＝A ∩B ，则P 的子集共有（ ） A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
2.i 是虚数单位，复平面内表示i （1+2i ）的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（ ） A.
12
B.
13
C.
14
D.
16
4.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，∀n ∈N +，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2020＝（ ） A. 1
B. 5
C. ﹣2
D. ﹣3
5.执行如图的程序框图，如果输出的y 的值是1，则输入的x 的值是（ ）
A.
23
B. 2
C.
2
3
或2 D. 以上都不是
6.若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =-上，则cos(2)2
π
α+的值等于（ ）
A. 45
-
B.
45
C. 35
- D.
35
7.已知a ＝ln 3，b ＝sin 3，13
c e -=，则（ ）
A. a ＜b ＜c
B. c ＜a ＜b
C. c ＜b ＜a
D. b ＜c ＜a
8.ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝（ ）
223
39.经过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点且倾斜角为
4
π
的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若|AB |＝1，则p ＝
（）
A. 1
B. 1
2
C.
1
3
D.
1
4
10.给出下列结论：
（1）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．
（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲．
（3）若两个变量
的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1．（4）对A、B、C三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
11.直角坐标系xOy中，双曲线
22
1
412
x y
-=的左焦点为F，A（1，4），P是右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值是（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
12.已知函数()|ln|
f x x
=，若0a b
<<.且()()
f a f b
=，则2a b
+的取值范围是（）
A. )
+∞ B. )
⎡+∞
⎣ C.
(3,)
+∞ D. [)
3,+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.{a n}是等比数列，若a1＝2，a2＝1，则数列{a n}的前n项和S n＝_____.
14.ABCD是边长为1的正方形，E、F分别是BC、CD的中点，则AE AF
⋅=
u u u r u u u r
_____.
15.设x，y满足
225
1
0.
x y
x
y
⎧+≤
⎪
≥
⎨
⎪≥
⎩
，
，则z＝2x+y的取值范围是_____.（用区间表示）
16.函数()
()2
2
21
x sinx cosx
f x
x
++
=
+
的最大值为M，最小值为m，则M+m＝_____.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，
从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：
万元）.
（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？
（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的
频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；
（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？ 超过2万元 不超过2万元
总计 平原地区 山区 5 总计
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
P （K 2≥k 0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 0
2.706
3.
841
6.635
10.828
18.△ABC 的角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等差数列，7
8
cosA =. （1）若a ＝1，求c ；
（2）若△ABC 的周长为18，求△ABC 的面积S .
19.如图，四棱锥O ﹣ABCD 的底面是边长为1的菱形，OA ＝2，∠ABC ＝60°，OA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是
OA 、BC 的中点.
（1）求证：直线MN ∥平面OCD ； （2）求点M 到平面OCD 的距离.
20.直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的短轴长为226
.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P 1、P 2两点，P 是椭圆上任意一点，若12
OP OP OP λμ=+u u u r u u u r u u u r
（λ，μ∈R ），证明：λ2+μ2为定值. 21.已知函数f （x ）＝lnx ﹣e
x ﹣2
，x ＞0.
（1）求函数y ＝f （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程； （2）求证：f （x ）＜0.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.已知曲线C 1
的
参数方程为112.
x t t y t t ⎧
=+⎪⎪
⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝16cosθ.
（1）把曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求C 1与C 2交点的直角坐标. 23.已知函数()2
f x x x a a
=+
+-，a 是非零常数. （1）若a ＝1，求不等式f （x ）≤5的解集； （2）若a ＜0，求证：()22f x ≥。