第3章 圆的基本性质 单元检测(解析卷)

圆的基本性质单元检测
一、单选题
1．已知⊙O的半径为3，若点A在⊙O外，则OA的长度可能是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据d＞r，点在圆外，判断选择即可．
【详解】∵点A在⊙O外，
∴OA＞3，
故选D．
2．亮亮想用一块铁皮制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为12cm，底面圆的半径为5cm．那么，这个圆锥模型的侧面展开扇形铁皮的圆心角度数应为（）
A．90°B．120°C．150°D．240°
【答案】C
【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
=10π，
【详解】解：由题意可得：nπ⋅12
180
解得：n=150°．
故选C．
【点睛】本题考查弧长公式及圆锥的侧面展开图.圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
3．如图，在⊙O中，若∠BOC=50°，则∠BAC的度数是（）
A．50°B．30°C．25°D．20°
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，据此作答即可．
∠BOC=25°；
【详解】解：由图可知：∠BAC=1
2
故选C．
4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则
△ABC的外心是（）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段AB、BC的垂直平分线，即可求解．
【详解】解：作线段AB、BC的垂直平分线，如图所示：
∴△ABC的外心是点D，
故选：A．
5．如图，在⊙O中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
故选B
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半
圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
6．如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为3．若∠C=30°，则AB的长为（）
A．3B．1.5C．6D．3
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠C=60°，即可得出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
，∵∠C=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=OA=OB=3，
故选：D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=AP=8，则⊙O的半径为（ ）
A．10B．8C．5D．3
【答案】C
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【详解】解：如下图，连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD=8，
∴CP=DP=4，
设⊙O的半径为R，
∵AP=8，
∴OP=8−R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2=OC2，
即(8−R)2+42=R2，
解得：R=5，
∴⊙O的半径为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．
8．如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
A．30°B．29°C．28°D．20°
【答案】A
【分析】利用圆周角定理得到∠BAC=40°，根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD，然后结合等腰三角形的性质来求∠ABD、∠ABC的度数，从而得到∠DBC．本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】解：∵∠BFC=20°，
∴∠BAC=2∠BFC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC =∠ACB =180°−40° 2=70°．
又EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD =BD ，
∴∠A =∠ABD =40°，
∴∠DBC =∠ABC−∠ABD =70°−40°=30°．
故选A ．
9．如图，正方形ABCD 与等边ΔPRQ 内接于⊙O ，RQ ∥BC ，则∠AOR 等于（ ）
A ．45°
B ．50°
C ．60°
D ．75°
【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得∠AOB =∠BOC =90°，∠ROQ =120°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠OBC =45°，∠ORQ =30°，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得∠BOR =15°，即可求出∠AOR ．
【详解】解：连接OB ，OC ，OQ ，
∵正方形ABCD 与等边△PRQ 内接于⊙O ，
∴∠AOB =∠BOC =360°4=90°，∠ROQ =360°3=120°，
∵OB =OC ，OR =OQ ，
∴∠OBC =∠OCB =12(180°−∠BOC)=45°，∠ORQ =∠OQR =12(180°−∠ROQ)=30°，
∵RQ ∥BC ，
∴∠OHQ =∠OBC =45°，
∵∠OHQ =∠ORH +∠BOR ，
∴∠BOR =∠OHQ−∠ORH =45°−30°=15°，
∴∠AOR =∠AOB−∠BOR =90°−15°=75°，
故选：D
10．如图，正方形ABCD 中，E 、H 分别为边AD 、CD 上的点，连接BE 、BH 、EH ，在BH 的延长线上取一点
F ，连接EF ，△BEF 是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①EH =AE +CH ；②∠DEF +∠DFE =45°；③DF =2AE ；④当BE =BH 时，EH ∥DF ．其中正确结论有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】A 【分析】将△BCH 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BAP ，证明△PBE≌△HBE(SAS)，即可得出
EH =PE =PA +AE =CH +AE ，可判断①正确；过点F 作FM ⊥AD ，交AD 延长线于M ，证明
△ABE≌△MEF(AAS)，得AE =MF ，AB =ME ，从而可证明△MDF 是等腰直角三角形，得∠MDF =45°，则∠DEF +∠DFE =∠MDF =45°，可判断②正确；由勾股定理，得DF =MD 2+MF 2=2MF =2AE ，可判断③正确；求得∠AEH =∠EDF =135°，得出EH ∥DF ，可判断④正确．
【详解】解：∵正方形ABCD ，
∴∠ABC =∠C =∠ADC =∠BAD =90°，AD =CD =BC =AB ，
将△BCH 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BAP ，如图，
由旋转可得：BH =BP ，CH =AP ，∠CBH =∠PBA ，∠BAP =∠C =90°，
∴∠PAE =∠BAP +∠BAD =180°，
∴P 、A 、E 三点共线，即PE =PA +AE ，
∵△BEF 是等腰直角三角形，
∴∠EBH =45°，
∴∠PBE =∠PBA +∠ABE =∠ABE +∠CBH =45°，
∴∠PBE =∠EBH ，
在△PBE 和△HBE 中，
{PB =BH ∠PBE =∠EBH BE =BE
，∴△PBE≌△HBE(SAS)，
∴EH =PE =PA +AE =CH +AE
，
故①正确；
过点F 作FM ⊥AD ，交AD 延长线于M ，如图，
∴∠M =90°，
∴∠MEF +∠MFE =90°，
∵△BEF 是等腰直角三角形，
∴∠BEF =90°，BE =EF ，
∴∠AEB +∠MEF =90°，
∴∠AEB =∠MFE ，
在△ABE 与△MEF 中，
{∠AEB =∠MFE ∠A =∠M =90°BE =EF
，∴△ABE≌△MEF(AAS)，
∴AE =MF ，AB =ME ，
∴AE +ED =MD +EF ，即AE =MD ，
∴MD =MF ，
∴△MDF 是等腰直角三角形，
∴∠MDF =45°，
∴∠DEF +∠DFE =∠MDF =45°，
故②正确；
∵△MDF 是等腰直角三角形，
∴MD =MF ，
由勾股定理，得DF =MD 2+MF 2=2MF =2AE ，
故③正确；
∵∠MDF =45°，
∴∠ADF =135°，
∵BE =BH ，
∴∠BEH =∠BHE ，
∵∠EBF =45°，
∴∠BEH =67.5°，
∵△PBE≌△HBE
，
∴∠PEB=∠BEH=67.5°，
∴∠AEH=135°，
∴∠AEH=∠EDF，
∴EH∥DF，
故④正确．
∴正确结论有①②③④，共4个．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
11．圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为．
【答案】120°/120度
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇
，然后
形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2=nπ×6
180
解方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
，
根据题意得2π×2=nπ×6
180
解得n=120，
所以侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为：120°．
12．在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE=2BE，EF=4，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为．
【答案】234−4
【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=4，再利用勾股定理求出GE的长．最后在△GPE中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，
∴∠FAE=∠PAG．
又∵AG=AE，
∴△AEF≌△AGP(SAS)，
∴PG=EF=4．
∵CE+BE=BC=6，CE=2BE，
∴BE=2．
∴在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=217．
∵AG=AE，∠GAE=90°，
∴GE=2AE=234．
∵PE≥GE−PG，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴PE的最小值为GE−PG=234−4．
故答案为：234−4．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
13．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D=35°，则∠C=°
【答案】55
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂径定理得到AB⊥CD，由BC=BC得到∠A=∠D=35°，故∠C=90°−35°=55°．
【详解】解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥CD，
∵BC=BC，
∴∠A=∠D=35°，
∴∠C=90°−35°=55°，
故答案为：55．
14．如图，菱形ABCD的边长为2，以点C为圆心，BC长为半径画弧至点D，BD恰好经过点A，再以A为圆心，AD长为半径画弧至点B，BD恰好经过点C，则图中的阴影部分的面积是（结果保留根号和π）．
【答案】8π
3
−43
【分析】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形判定和扇形的面积公式的应用先证得△ABC是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积求出即可．
【详解】解：连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，AC⊥BD，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=2，OA=1，OB=OD，
∴OB=OD=3，
∴BD=23，
∴CD=BC=2，∠BAD=120°，
∴图中阴影部分的面积为：2×(120π×22
360−1
2
×2×23)=8π3−43
故答案为：8π
3
−43．
15．中国有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为米．
【答案】20
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心O，连接OA，设半径为r米，则OD=(r−4)米，由垂径定理可得AD=BD=12米，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心O，连接OA，
，
设半径为r米，则OD=(r−4)米，
∵跨度AB为24米，OC⊥AB，
∴AD=BD=12米，
由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，
∴r2=(r−4)2+122，
解得：r=20，
∴这个弧形石拱桥设计的半径为20米，
故答案为：20．
16．如图，点O为正方形ABCD的对称中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，G为边CD上一点，且CD=4CG=8，连接PA，PG，则PA+PG的最小值
为．
【答案】229
【分析】如图，连接OA，OD，由题意知，∠OAE=∠ODF=45°，∠AOD=90°，OA=OD，由
∠AOE=∠AOD−∠DOE，∠DOF=∠EOF−∠DOE得，∠AOE=∠DOF，证明△AOE≌△DOF(ASA)，则OE=OF，
△EOF 是等腰直角三角形，由P 是EF 中点，则OP ⊥EF ，∠OPF =90°，∠PFO =45°=∠POF ，如图，过O 作OM ⊥AD 于M ，过O 作ON ⊥CD 于N ，由∠OPF +∠ONF =180°，可知O ，P ，F ，N 四点共圆，由PF =PF ，可得∠PNF =∠POF =45°，进而可得P 在线段MN 上运动，如图，延长MN ，作点A 关于MN 对称的点A ′，过A ′作A ′H ⊥CD 于H ，连接A ′G 交MN 于P ′，连接AP ′，由题意知DH =A ′H =12AB =4，A ′P ′=AP ′，且A ′P ′+P ′G =AP ′+P ′G ，可知当A ′，P ′，G 三点共线时，AP ′+P ′G 值最小，在Rt △A ′GH 中，由勾股定理得，A ′G =A ′H 2+HG 2，计算求解A ′G 的值即可．
【详解】解：如图，连接OA ，OD ，由题意知，∠OAE =∠ODF =45°，∠AOD =90°，OA =OD ，
∵OF ⊥OE ，
∴∠EOF =90°=∠AOD ，
∵∠AOE =∠AOD−∠DOE ，∠DOF =∠EOF−∠DOE ，
∴∠AOE =∠DOF ，
在△AOE 和△DOF 中，
∵{∠AOE =∠DOF OA =OD ∠OAE =∠ODF
，∴△AOE≌△DOF(ASA)，
∴OE =OF ，
∴△EOF 是等腰直角三角形，
∵P 是EF 中点，
∴OP ⊥EF ，
∴∠OPF =90°，∠PFO =45°=∠POF ，
如图，过O 作OM ⊥AD 于M ，过O 作ON ⊥CD 于N ，
∴∠ONF =90°，
∵∠OPF +∠ONF =180°，
∴O ，P ，F ，N 四点共圆，∵PF =PF ，
∴∠PNF =∠POF =45°
，
∴P在线段MN上运动，
如图，延长NM，作点A关于MN对称的点A′，过A′作A′H⊥CD于H，连接A′G交MN于P′，连接AP′，
AB=4，A′P′=AP′，
由题意知DH=A′H=1
2
∴A′P′+P′G=AP′+P′G，
∴A′，P′，G三点共线时，AP′+P′G值最小，
∵HG=DH+DG=4+6=10，
在Rt△A′GH中，由勾股定理得，A′G=A′H2+HG2=229，
∴AP+PG的最小值为229，
故答案为：229．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点P的运动轨迹．
三、解答题
17．已知：如图，点P是∠ABC的边BC上的一点．
求作：⊙O，使点O在∠ABC的角平分线上，且⊙O经过B、P两点．
【答案】见解析
【分析】作∠ABC的角平分线交BP的中垂线于一点即为O．
【详解】解：如图所示，点⊙O为所求：
【点睛】本题主要考查的是角平分线以及中垂线等综合知识，灵活掌握角平分线以及中垂线的作图是解题的关键．
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示:
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2,画出旋转后的△A2BC2．
【答案】(1)画图见解析;(−2,−4)
(2)画图见解析
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点坐标求法,画旋转图形．
（1）根据题意知A(2,4),B(1,1),C(4,3),关于原点对称点坐标均互为相反数,先求出A1(−2,−4),B1(−1,−1),C1 (−4,−3),最后连接三点即是所得图形及点A1的坐标；
（2）先求出A点绕点B旋转90°后的点A2,同理求出C2,最后连接三个点即可得到△A2BC2.
【详解】（1）解:∵A(2,4),B(1,1),C(4,3),
∴关于原点对称的点为:A1(−2,−4),B1(−1,−1),C1(−4,−3),
将A1B1C1三点连接,如下图所示:
,
∴A1(−2,−4)；
（2）解:∵A(2,4),B(1,1),C(4,3),
∴将三点绕点B旋转90°后的坐标为A2(4,0),C2(3,−2),
将A2,B,C2三点连接,如下图所示:
．
19．求下列图形中阴影部分的面积．
【答案】18.24平方厘米；3.16平方厘米
【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法：
（1）连接CD 、DB 发现ABDC 是一个正方形，根据箭头的方向将阴影部分移动到扇形里面．则阴影部分的面积=扇形EAF 面积－正方形ABDC 面积，其中扇形是一个圆心角为90°，半径为8厘米的扇形，则扇形的＝14πr 2．正方形的面积=边长×边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形看成两个直角三角形的面积和．则直角三角形ACD 面积=底×高×12=直径×半径×12，则正方形的面积=直径×半径×12×2=直径×半径．
（2）连接CO ，则阴影部分面积=平行四边形的面积－扇形AOC 面积－三角形BOC 面积．平行四边形的面积=底×高；三角形BOC 是一个等腰三角形，则两个底角都是30°，则顶角就是120°即∠BOC =120°，∠BOC 和∠AOC 合在一起是平角，为180°，则∠AOC =60°．则扇形AOC 的圆心角是60°．扇形AOC 面积=60360πr 2=16πr 2，半径是平行四边形×12底的一半．三角形BOC 面积=底×高×12，底是半径，高是平行四边形的高．
【详解】（1）连接CD 、DB ，
14
×3.14×82−8×(8÷2)=14
×3.14×64−8×4
=3.14×16−32
=50.24−32
=18.24（平方厘米）
则阴影部分的面积是18.24平方厘米．
（2）连接CO ，
4×1.75=7（平方厘米），
180°−(180°−30°×2)=180°−(180°−60°)=180°−120°=60°
60360
×3.14×(4−2)2=16×3.14×22=16×3.14×4≈2.09（平方厘米） 2×1.75×12=1.75（平方厘米）
7−(2.09+1.75)=7−3.84=3.16（平方厘米）
则阴影部分的面积是3.16平方厘米．
20．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC,BC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在劣弧BC 上取一点E ，连接BE ，且满足BC 平分∠ABE ，连接AE ，分别交CD,BC 于点F,G ．
(1)求证：AF =CF ；
(2)若CG =5，BG =35，求⊙O 的半径长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）BC 平分∠ABE 可得∠ABC =∠EBC ，所以∠ABC =∠EAC ，在Rt △ABC 中，易得∠ACD =∠ABC ，∠ACD =∠EAC ,即证AF =CF ；
（2）利用（1）中条件，易证△CAG ∼△CBA ，所以CG CA =CA CB ，求出AC 的长，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求得AB 的长，即得半径长．
【详解】（1）证明：∵BC 平分∠ABE
∴∠ABC=∠EBC
∵
⏜
CE=
⏜
CE
∴∠EBC=∠CAE
∴∠ABC=∠EAC
∵CD⊥AB
∴∠CAB+∠ACD=90°
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°
∴∠ACD=∠ABC
∴∠ACD=∠EAC
∴AF=CF
（2）由（1）得∠ABC=∠EAC ∵∠ACG=∠BCA
∴△CAG∼△CBA
∴CG
CA =CA
CB
即5
CA
=CA
45
∴CA=25
∵在Rt△ABC中，利用勾股定理得:
AB=CA2+CB2=(25)2+(45)2=10
∴OA=5，即半径为5
【点睛】题目考查了圆周角定理，直角三角形角度性质及勾股定理，三角形相似，等腰三角形判定等知识点，熟练掌握定理内容是解题的关键．
21．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关
键．
（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性质即可得证；
（2）连接OC、OA，利用垂径定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在Rt△COE中，利用勾股定理即可求出OC．
【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图，
由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，
∴AE−CE=BE−DE，
∴AC=BD；
（2）解：连接OC、OA，如图，
∵AC=3，BC=5，
∴AB=3+5=8，
∴AE=4，
∴CE=AE−AC=4−3=1，
∴在Rt△AOE中，OE2=OA2−A E2=52−42=9，
∴在Rt△COE中，OC2=CE2+OE2=12+9=10，
∴OC=10，即小圆的半径r为10
22．如图，以AB为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧AB的中点，过点C作CD∥AB且CD=OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与圆O交于点G，连接BD．
(1)求证：BD⊥AB；
(2)连接BE，OF，求证：BE⊥OF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形OBDC为平行四边形，根据C为半圆的中点可得
∠COB=90°，根据矩形的判定可得平行四边形OBDC为矩形，即可证明；
（2）连接BE，OF，交于H，结合（1）易知四边形OBDC为正方形，可证△FOC≌△FDC，得∠COF=∠CDF，再证OC垂直平分AB，进而证明∠EBO=∠CDF=∠COF，再根据角度之间的互余关系可得∠OHB=90°，即可则证明BE⊥OF．
【详解】（1）证明：∵CD∥AB，CD=OB，
∴四边形OBDC为平行四边形，
∵C为半圆的中点，
∴CO⊥AB，即∠COB=90°，
∴平行四边形OBDC为矩形．
∴∠OBD=90°，
∴BD⊥AB．
（2）证明：连接BE，OF，交于H，
由（1）可知平行四边形OBDC为矩形，
∵OC=OB，
∴四边形OBDC为正方形，则CD=CO，∠OCB=∠DCB=45°，
∵CF=CF，
∴△FOC≌△FDC，
∴∠COF=∠CDF，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDA，
∵OA=OB，CO⊥AB，
∴OC垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA，
∴∠EBO=∠CDF=∠COF，
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EBO+∠BOF=90°，
∴∠OHB=90°，
∴BE⊥OF．
【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
23．根据背景素材，探索解决问题．
【答案】任务一：见解析；任务二：(4,0)
【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
任务一：根据操作步骤作出⊙P，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出DE=EF=AF=AB=CD，即得出DE=EF=FA=AB，最后顺次连接即可；
任务二：由旋转的性质可知DE′=OD=2，即得出OE′=DE′+OD=4，即此时点E所在位置的坐标为
(4,0)．
【详解】解：任务一：如图，正六边形ABCDEF即为所作；
任务二：如图，
由旋转可知DE ′=OD =2，
∴OE ′=DE ′+OD =4，
∴E ′(4,0)．
故答案为：(4,0)．
24．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆．
【问题原型】如图①，连结AO ，延长AO 交弦BC 于点M ，交BC 于点P ．连结PB 、PC ．求证：PA =PB +PC ；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且△ABC 为等边三角形，
∴∠BAP =12∠BAC =30°，∠ABO =12∠ABC =30°，
∴∠BOP =∠BAP +∠BAP =60°，则△OBP 为等边三角形，
同理可得：△OPC 也为等边三角形，
∴PA =AO +OP =PB +PC ．
【方法应用】如图2，若P 为BC 上任意一点，连结PA ，PB ，PC ，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若⊙O的半径为3，且P为BC上一点，且PC=7
，则四边形ABPC的面积的是______．
2
．
【答案】【方法应用】结论成立，证明见解析；【拓展提升】1673+2195
32
【分析】【方法应用】延长PC到D，使CD=BP，证明△ABP≌△ACD，AP=AD，得出△APD为等边三角形，即可解答；
【拓展提升】连接PA，由②得PA=PB+PC且四边形ABPC的面积等于以PA为边长的等边三角形的面积，作OF⊥BC于F，连接OB，作CE⊥BP的延长线于E，求出BC，利用勾股定理求出CE和BE，即可求出PB+PC，再利用等边面积公式求出以PA为边长的等边三角形的面积，即可解答此题．
【详解】【方法应用】结论成立，
延长PC到D，使CD=BP，如图②，
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵四边形ABPC为圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABP，
∴△ABP≌△ACD(SAS)，
∴AP=AD，∠BAP=∠CAD，
∵∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠CAD+∠PAC=60°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA=PD，
∴PA=PC+CD，即PA=PB+PC；
【拓展提升】如图③连接PA，由②得PA=PB+PC，且四边形ABPC的面积等于以PA为边长的等边三角形的面积，
作OF ⊥BC 于F ，
∴BF =CF ，
连接OB ，作CE ⊥BP 的延长线于E ，
∵O 为等边三角形的中心点，
∴∠OBF =30°，
∴OF =12OB =32，
∴BF =OB 2−O F 2=332，∴BC =2BF =33，
∵四边形ABPC 为圆内接四边形，
∴ ∠CPE =∠BAC =60°，
∴∠PCD =30°，
∴PE =12PC =74，
∴CE =PC 2−P E 2=734，∴BE =BC 2−C E 2=
2854，∴PB =BE−PE =
285−74，∴PB +PC =285+74=PA ，
∴以PA 为边的等边三角形的面积为：34PA 2=1673+219532，∴四边形ABPC 的面积为：
1673+219532，故答案为：1673+219532
．【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．。