【优化方案】2012高中数学 第2章2.3.2知能优化训练 苏教版选修2-1

1．(2011年高考湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a >0)的渐近线方程3x ±2y ＝0，则a
的值为________．
解析：渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32
)2
，解得a ＝
±2，由题意知a >0，∴a ＝2.
答案：2
2．若双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．
解析：由x 2a 2－y 23＝1可知b ＝3，而e ＝c a ＝a 2＋3a
＝2，所以a 2＋3＝4a 2
，故a ＝1.
答案：1
3．双曲线x 24－y 2
12
＝1的焦点到渐近线的距离为________． 解析：双曲线x 24－y 2
12＝1的焦点(4,0)到渐近线y ＝3x 的距离为d ＝|3×4－0|
2＝2 3.
答案：2 3
4．双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4
x ，则双曲线的离心率为________．
解析：由e ＝c a 及c 2＝a 2＋b 2
得e ＝1＋b 2a
2，
故当双曲线焦点在x 轴上时，b a ＝3
4
，
∴e ＝
1＋916＝54
. 当双曲线焦点在y 轴上时，a b ＝3
4，
b a ＝4
3
，∴e ＝1＋169＝53
.
答案：54或53
一、填空题
1．(2011年高考北京卷)已知双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b
＝________.
解析：∵双曲线的焦点在x 轴上，
∴b a ＝2，
∴b 2a
2＝4.∵a 2＝1，∴b 2
＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.
答案：2
2．若双曲线mx 2＋y 2
＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________．
解析：双曲线的方程可化为y 2－x 2－
1m
＝1，则a 2＝1，b 2
＝－1m .由已知得b ＝2a ，解得m ＝
－14
. 答案：－1
4
3．与双曲线x 2
－y 2
4＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．
解析：依题意设双曲线的方程为x 2
－y 2
4＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 2
12＝1.
答案：x 23－y 2
12
＝1
4．如图所示，F 1和F 2是双曲线x 2
a
2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心、|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．
解析：|AF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，|AF 1|＝|F 1F 2|·sin30°＝c .由双曲线的定义得
|AF 2|－|AF 1|＝2a .即2a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝2
3－1
＝3＋1.
答案：3＋1
5．已知双曲线x 212－y 2
4
＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个
交点，则此直线斜率的取值范围是________．
解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3
3
x ，当过点F 的直线与渐
近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－33
，33.
答案：⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－
33，33 6．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2
＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．
解析：已知双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双
曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
答案：3
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，
且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．
解析：由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得：
|PF 2|＝2a
3
，又|PF 2≥c －a ，
所以2a 3≥c －a ，c ≤5a 3，
∴e ＝c a ≤53，即e 的最大值为53.
答案：53
8．设一个圆的圆心在双曲线y 29－x 2
16
＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，
则原点O 到该圆圆心的距离是________．
解析：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0,5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则
y 0＝3＋52＝4.代入双曲线方程得169－x 2
016＝1，所以x 20＝7×169
，故|PO |＝x 20＋y 2
0＝
7×169＋16＝163
. 答案：163
二、解答题
9．如图所示，已知F 1，F 2为双曲线x 2
a
2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
解：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.
由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a .
∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2
.
又∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴2a 2
＝b 2
.∴b a
＝ 2.
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .
10．如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2
a
2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1与双曲线的交点P 满足MP →＝3PF 1→
，试求双曲线的离心率．
解：连结PF 2，设|F 1F 2|＝2c ，
由MP →＝3PF 1→
知|PF 1| ＝1
4
|MF 1|. 又△MF 1F 2为正三角形，
∴|PF 1|＝14×2c ＝1
2
c ，
∠PF 1F 2＝60°， 由余弦定理可得：
|PF 2|＝c 2＋12c 2－2·2c ·1
2
c cos60°
＝
4c 2＋14c 2－c 2
＝132
c .
根据双曲线定义有
2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝13－1
2c ，
∴离心率e ＝c a
＝
413－1
＝
13＋1
3
. 11．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2.又∵a 2＋b
2
＝c 2，∴b 2
＝1.∴双曲线C 的方程为x 23
－y 2＝1.
(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
3
－y 2
＝1，整理得(1－3k 2)·x 2－6kmx －3m 2
－3＝0.
∵直线与双曲线C 有两个不同的交点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－3k 2
≠0，Δ＝－6km 2－－3k 2－3m 2
－，
解得m 2
>3k 2
－1.①
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
线段MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km
1－3k
2，
∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k
2.
由题意知AB ⊥MN ，
∴k AB ＝m
1－3k 2＋13km 1－3k 2
＝－1
k
(k ≠0，m ≠0)，
整理得3k 2
＝4m ＋1，②
将②代入①得m 2
－4m >0，∴m <0或m >4.
∵3k 2
＝4m ＋1>0(k ≠0)，∴m >－14
.
综上所述，－1
4<m <0或m >4.。