2021年四川省成都市中考数学试卷(附答案详解)

2021年四川省成都市中考数学试卷1.(2021·甘肃省庆阳市·历年真题)−7的倒数是()
A. −1
7B. 1
7
C. −7
D. 7
2.(2021·四川省成都市·历年真题)如图所示的几何体是由
6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是()
A.
B.
C.
D.
3.(2021·广东省·单元测试)2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距
离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展.将数据3亿用科学记数法表示为()
A. 3×105
B. 3×106
C. 3×107
D. 3×108
4.(2021·四川省成都市·历年真题)在平面直角坐标系xOy中，点M(−4,2)关于x轴对称
的点的坐标是()
A. (−4,2)
B. (4,2)
C. (−4,−2)
D. (4,−2)
5.(2021·广东省·单元测试)下列计算正确的是()
A. 3mn−2mn=1
B. (m2n3)2=m4n6
C. (−m)3⋅m=m4
D. (m+n)2=m2+n2
6.(2021·四川省成都市·历年真题)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，
DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是()
A. BE =DF
B. ∠BAE =∠DAF
C. AE =AD
D. ∠AEB =∠AFD
7. (2021·四川省成都市·历年真题)菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数
学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄(单位：岁)分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是( )
A. 34
B. 35
C. 36
D. 40
8. (2021·四川省成都市·历年真题)分式方程2−x
x−3+1
3−x =1的解为( )
A. x =2
B. x =−2
C. x =1
D. x =−1
9. (2021·广东省·单元测试)《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人
持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的2
3，那么乙也共有钱50.问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为( ) A. {x +1
2y =50
y +2
3x =50 B. {x −1
2y =50
y −2
3x =50
C. {2x +y =50x +23
y =50
D. {2x −y =50
x −23
y =50
10. (2021·广东省·单元测试)如图，正六边形ABCDEF 的边长
为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 12π
11. (2018·浙江省宁波市·期末考试)因式分解：x 2−
4=______．
12. (2021·四川省成都市·历年真题)如图，数字代表所在正
方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为______ ．
13. (2021·四川省成都市·历年真题)在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y =x 2+2x +k
与x 轴只有一个交点，则k = ______ ．
14. (2021·广东省·单元测试)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，按以下步骤
作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于1
2MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D.若点D 到AB 的距离为1，则BC 的长为______ ．
15. (2021·广东省·单元测试)(1)计算：√4+(1+π)0−2cos45°+|1−√2|.
(2)解不等式组：{5x −2>3(x +1)①
12x −1≤7−3
2x②．
16. (2021·广东省·单元测试)先化简，再求值：(1+
2
a+1
)÷a 2+6a+9a+1
，其中a =√3−3．
17.(2021·广东省·单元测试)为有效推进儿童青少年近视
防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童
青少年近视防控光明行动工作方案(2021−2025年
)》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户
外活动和体育锻炼.我市各校积极落实方案精神，某学
校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、
足球、排球、乒乓球.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查(要求必须选择且只能选择其中一门课程)，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程人数
篮球m
足球21
排球30
乒乓球n
根据图表信息，解答下列问题：
(1)分别求出表中m，n的值；
(2)求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
(3)该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
18.(2021·广东省·单元测试)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是
我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M
的仰角∠MEC=45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长.(结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)
19.(2021·广东省·单元测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3
4x+3
2
的图
象与反比例函数y=k
x
(x>0)的图象相交于点A(a,3)，与x轴相交于点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD 是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
20.(2021·广东省·单元测试)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，
D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD=∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为√5，△ABC的面积为2√5，求CD的长；
(3)在(2)的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若EF
CF =1
2
，求BF
的长．
21.(2021·四川省成都市·历年真题)在正比例函数y=kx中，y的值随着x值的增大而增
大，则点P(3,k)在第______ 象限．
22.(2021·四川省成都市·历年真题)若m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数
根，则m2+4m+2n的值是______ ．
23.(2021·四川省成都市·历年真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=√3
3x+2√3
3
与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为______ ．
24.(2021·四川省成都市·历年真题)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，
F分别在边AD，BC上，且AE=3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为______ ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______ ．
25.(2021·四川省成都市·历年真题)我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，
并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和.如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是______ ．
26.(2021·广东省·单元测试)为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》(以下
简称《条例》)于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾
920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
(2)由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活
垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
27.(2021·广东省·单元测试)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将ABC
绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
(1)如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
(2)如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
(3)如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在
旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
28.(2021·广东省·单元测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x−ℎ)2+k
与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为(2,−1).点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC=∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C
的坐标；
(3)若点B的横坐标为t，∠ABC=90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并
求出当t<0时，点C的横坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【知识点】倒数
)=1，
【解析】解：∵−7×(−1
7
∴−7的倒数是：−1
．
7
故选：A．
根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐．故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】D
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：3亿=300000000=3×108．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】C
【知识点】轴对称中的坐标变化
【解析】解：点M(−4,2)关于x轴对称的点的坐标是(−4,−2)．
故选：C．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．5.【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、完全平方公式
【解析】解：A.3mn−2mn=mn，故本选项不合题意；
B.(m2n3)2=m4n6，故本选项符合题意；
C.(−m)3⋅m=−m4，故本选项不合题意；
D.(m+n)2=m2+2mn+n2，故本选项不合题意；
故选：B．
分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】C
【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定
【解析】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB=AD，∠B=∠D，
A、添加BE=DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE=∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE=AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB=∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C．
由四边形ABCD是菱形可得：AB=AD，∠B=∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．7.【答案】B
【知识点】中位数
【解析】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为30，34，36，40，
∴中位数为(34+36)÷2=35．
故选：B．
把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
8.【答案】A
【知识点】分式方程的一般解法
【解析】解：分式方程整理得：2−x x−3−1x−3=1，
去分母得：2−x −1=x −3，
解得：x =2，
检验：当x =2时，x −3≠0，
∴分式方程的解为x =2．
故选：A ．
分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9.【答案】A
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【解析】解：设甲需持钱x ，乙持钱y ，
根据题意，得：{x +12y =50y +23x =50， 故选：A ．
设甲需持钱x ，乙持钱y ，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的23=50，据此列方程组可得．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 10.【答案】D
【知识点】扇形面积的计算、正多边形与圆的关系
【解析】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6=60°，
∴正六边形的每个内角为180°−60°=120°，∵正六边形的边长为6，
∴S
阴影=120π×62
360
=12π，
故选：D．
首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
11.【答案】(x+2)(x−2)
【知识点】因式分解-运用公式法
【解析】解：x2−4=(x+2)(x−2)．
故答案为：(x+2)(x−2)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12.【答案】100
【知识点】勾股定理
【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64=100．
故答案为100．
三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．
本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
13.【答案】1
【知识点】二次函数与一元二次方程
【解析】解：由题意得：△=b2−4ac=4−4k=0，
解得k=1，
故答案为1．
由题意得：△=b2−4ac=4−4k=0，即可求解．
本题考查的是抛物线和x轴的交点，△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点，△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没
有交点．
14.【答案】1+√2
【知识点】角平分线的性质、等腰直角三角形、尺规作图与一般作图
【解析】解：过点D作DH⊥AB，则DH=1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD=DH=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B=45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD=√2HD=√2，
则BC=CD+BD=1+√2，
故答案为：1+√2。

由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则CD=DH=1，进而求解。

本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中。

15.【答案】解：(1)原式=2+1−2×√2
+√2−1
2
=2+1−√2+√2−1
=2；
(2)由①得：x>2.5，
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为2.5<x≤4．
【知识点】特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的运算、一元一次不等式组的解法【解析】(1)原式第一项开平方化简，第二项利用零指数幂的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，然后计算即可得到结果；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握零指数幂、三角函数值、绝对值的性质及不等式的性质．
16.【答案】解：原式=a+1+2
a+1⋅a+1 (a+3)2
=1
a+3
，
当a=√3−3时，原式=
√3−3+3=√3
3
．
【知识点】分式的化简求值
【解析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
17.【答案】解：(1)30÷90
360
=120(人)，
即参加这次调查的学生有120人，
选择篮球的学生m=120×30%=36，
选择乒乓球的学生n=120−36−21−30=33；
(2)360°×21
120
=63°，
即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；
(3)2000×33
120
=550(人)，
答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．
【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、统计表
【解析】(1)根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计算出m、n的值；
(2)用360°乘以样本中“足球”所占的百分比即可；
(3)用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可．
本题考查统计表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：延长BC交MN于点H，CD=BE=3.5，
设MH=x，
∵∠MEC=45°，故EH=x，
在Rt△MHB中，tan∠MBH=MH
HE+EB =x
x+3.5
≈0.65，解得x=6.5，
则MN=1.6+6.5=8.1≈8(米)，
∴电池板离地面的高度MN的长约为8米。

【知识点】解直角三角形的应用
【解析】设MH=x，∠MEC=45°，故EH=x，则tan∠MBH=MH
HE+EB =x
x+3.5
≈0.65，
进而求解。

本题是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
19.【答案】(1)∵一次函数y=3
4x+3
2
的图象经过点A(a,3)，
∴3
4a+3
2
=3，
解得：a=2，
∴A(2,3)，
将A(2,3)代入y=k
x
(x>0)，
得：3=k
2
，
∴k=6，
∴反比例函数的表达式为y=6
x
；(2)如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y=3
4x+3
2
中，令y=0，得3
4
x+3
2
=0，
解得：x=−2，
∴B(−2,0)，
∵E(2,0)，
∴BE =2−(−2)=4，
∵△ABD 是以BD 为底边的等腰三角形，
∴AB =AD ，
∵AE ⊥BD ，
∴DE =BE =4，
∴D(6,0)，
设直线AD 的函数表达式为y =mx +n ，
∵A(2,3)，D(6,0)，
∴{2m +n =36m +n =0
， 解得：{m =−34n =92
， ∴直线AD 的函数表达式为y =−34x +92，
联立方程组：{y =6x y =−34x +92
， 解得：{x 1=2y 1=3(舍去)，{x 2=4y 2=32， ∴点C 的坐标为(4,32).
【知识点】反比例函数综合
【解析】(1)根据一次函数y =34x +32的图象经过点A(a,3)，求出点A 的坐标，再代入y =k x ，即可求得答案；
(2)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，先求出点B 的坐标，再根据△ABD 是以BD 为底边的等腰三角形，可求出点D 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD 的解析式，联立直线AD 解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点C 的坐标．
本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图像的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握待定系数法和等腰三角形性质等相关知识是解题关键． 20.【答案】(1)证明：连接OC ，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠A+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠BCO，
又∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠ACB=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：
∵⊙O的半径为√5，
∴AB=2√5，
∵△ABC的面积为2√5，
∴1
2AB⋅CM=2√5，即1
2
×2√5⋅CM=2√5，
∴CM=2，
Rt△BCM中，∠BCM=90°−∠CBA，Rt△ABC中，∠A=90°−∠CBA，
∴∠BCM=∠A，
∴tan∠BCM=tanA，即BM
CM =CM
AM
，
∴BM
2=
2√5−BM
，
解得BM=√5−1，(BM=√5+1已舍去)，∵∠BCD=∠A，∠BCM=∠A，
∴∠BCD=∠BCM，
而∠BMC=∠BNC=90°，BC=BC，∴△BCM≌△BCN(AAS)，
∴CN=CM=2，BN=BM=√5−1，∵∠DNB=∠DMC=90°，∠D=∠D，∴△DBN∽△DCM，
∴BD
CD =BN
CM
=DN
DM
，
即BD
DN+2=√5−1
2
=DN
BD+√5−1
，
解得DN=2√5−2，
∴CD=DN+CN=2√5;
(3)过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴EF
CF =HE
CM
=HF
MF
，
∵EF
CF =1
2
，
∴HE
CM =HF
MF
=1
2
，
由(2)知CM=2，BM=√5−1，
∴HE=1，MF=2HF，
Rt△OEH中，OH=√OE2−HE2=√(√5)2−12=2，∴AH=OA−OH=√5−2，
设HF=x，则MF=2x，
由AB=2√5可得：BM+MF+HF+AH=2√5，
∴(√5−1)+2x+x+(√5−2)=2√5，
解得：x=1，
∴HF=1，MF=2，
∴BF=BM+MF=(√5−1)+2=√5+1．
【知识点】圆的综合
【解析】(1)连接OC，由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC=90°，再证明∠ABC=∠BCO，结合已知∠BCD=∠A，可得∠ACB=90°，从而证明CD是⊙O的切线；
(2)过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，由△ABC的面积为2√5，可得CM=2，
由∠BCM=∠A得BM
CM =CM
AM
，可解得BM=√5−1，根据△BCM≌△BCN，可得CN=CM=
2，再由△DBN∽△DCM，得BD
CD =BN
CM
=DN
DM
即BD
DN+2
=√5−1
2
=
BD+√5−1
，解DN=2√5−2，
故CD=DN+CN=2√5;
(3)过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，由CM⊥AB，EH⊥AB，可
得EF
CF =HE
CM
=HF
MF
，而EF
CF
=1
2
，故HE=1，MF=2HF，Rt△OEH中，OH=2，可得AH=
OA−OH=√5−2，设HF=x，则MF=2x，则(√5−1)+2x+x+(√5−2)=2√5，可解得HF=1，MF=2，从而BF=BM+MF=(√5−1)+2=√5+1．
本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形。

21.【答案】一
【知识点】一次函数图象与系数的关系
【解析】解：∵在正比例函数y=kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k>0，
∴点P(3,k)在第一象限．
故答案为：一．
因为在正比例函数y=kx中，y的值随着x值的增大而增大，所以k>0，所以点P(3,k)在第一象限．
本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．22.【答案】−3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系*
【解析】解：∵m是一元二次方程x2+2x−1=0的根，
∴m2+2m−1=0，
∴m2+2m=1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，
∴m+n=−2，
∴m 2+4m +2n =m 2+2m +2m +2n =1+2×(−2)=−3． 故答案为：−3．
先根据一元二次方程的解的定义得到m 2+2m −1=0，则m 2+2m =1，根据根与系数的关系得出m +n =−2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b
a ，x 1x 2=c
a .也考查了一元二次方程的解．
23.【答案】2√3
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、垂径定理 【解析】解：设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，如图：
在y =√3
3x +
2√3
3
中，令x =0得y =
2√3
3
， ∴C(0,
2√3
3)，OC =
2√3
3
， 在y =√3
3x +
2√3
3中令y =0得√3
3
x +
2√33
=0，
解得x =−2， ∴A(−2,0)，OA =2， Rt △AOC 中，tan∠CAO =OC
OA
=2√3
3
2
=
√33
， ∴∠CAO =30°，
Rt △AOD 中，AD =OA ⋅cos30°=2×√3
2=√3，
∵OD ⊥AB ， ∴AD =BD =√3， ∴AB =2√3， 故答案为：2√3．
设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，先求出A 、C 坐标，得到OA 、OC 长度，可得∠CAO =30°，Rt △AOD 中求出AD 长度，从而根据垂径定理可得答案。

本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用
tan∠CAO=OC
OA
得到∠CAO=30°．
24.【答案】1 √5
【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质
【解析】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．
∵四边形ABFT是矩形，
∴AB=FT=4，BF=AT，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=8，∠B=∠D=90°
∴AC=√AD2+CD2√82+42=4√5，
∵∠TFE+∠AEJ=90°，∠DAC+∠AEJ=90°，
∴∠TFE=∠DAC，
∵∠FTE=∠D=90°，
∴△FTE∽△ADC，
∴FT
AD =TE
CD
=EF
AC
，
∴4
8=TE
4
=
4√5
，
∴TE=2，EF=2√5，
∴BF=AT=AE−ET=3−2=1，
设A′N=x，
∵NM垂直平分线段EF，
∴NF=NE，
∴12+(4−x)2=32+x2，
∴x=1，
∴FN=√B′F2+B′N2=√12+32=√10，
∴MN=√FN2−FM2=√(√10)2−(√5)2=√5，
故答案为：1，√5。

如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J.证明△FTE∽△ADC，求出ET=2，EF=2√5，设A′N=x，根据NF=NE，可得12+ (4−x)2=32+x2，解方程求出x，可得结论。

本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题。

25.【答案】3
4
【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为(4x+2z+3y)−(3x+2y−4z)=x+y−2z，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率=9
12=3
4
．
故答案为3
4
．
先根据题意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为x+y−2z，再画树状图展示所有12种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26.【答案】解：(1)设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾(x+7)吨，根据题意可得：
12(x+7)+10x=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
(2)设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，
由(1)可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45−8=37(吨)，
《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B 型点位每天处理生活垃圾38−8=30(吨)，
根据题意可得：37(12+y)+30(10+5−y)≥920−10，
解得y≥16
，
7
∵y是正整数，
∴符合条件的y的最小值为3，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【知识点】一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用
【解析】(1)每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，根据“每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；
(2)设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A 型点位每天处理生活垃圾37吨，每个B型点位每天处理生活垃圾30吨，根据题意列出不等式：37(12+y)+30(10+5−y)≥920−10，可解得y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．
本题考查一次方程及一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系或不等关系，列方程或不等式．
27.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=√AB2−BC2=4，
∵∠ACB=90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A′CB=90°，A′B=AB=5，
Rt△A′BC中，A′C=√A′B2−BC2=4，
∴AA′=AC+A′C=8;
(2)过C作CE//A′B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′BC′， ∴∠A′BC =∠ABC ，BC′=BC =3， ∵CE//A′B ， ∴∠A′BC =∠CEB ， ∴∠CEB =∠ABC ， ∴CE =BC =3，
Rt △ABC 中，S △ABC =1
2AC ⋅BC =1
2AB ⋅CD ，AC =4，BC =3，AB =5， ∴CD =
AC⋅BC AB
=
125
，
Rt △CED 中，DE =√CE 2−CD 2=√32−(125
)2=9
5
，
同理BD =9
5， ∴BE =DE +BD =18
5
，C′E =BC′+BE =3+185
=
335
，
∵CE//A′B ， ∴BM CE =BC′C′E ，
∴
BM 3
=
3
33
5
，
∴BM =
1511
; (3)DE 存在最小值1，理由如下：
过A 作AP//A′C′交C′D 延长线于P ，连接A′C ，如图：
∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC =BC′，∠ACB =∠A′C′B =90°，AC =A′C′， ∴∠BCC′=∠BC′C ，
而∠ACP =180°−∠ACB −∠BCC′=90°−∠BCC′，
∠A′C′D=∠A′C′B−∠BC′C=90°−∠BC′C，∴∠ACP=∠A′C′D，
∵AP//A′C′，
∴∠P=∠A′C′D，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC，
∴AP=A′C′，
在△APD和△A′C′D中，
{∠P=∠A′C′D
∠PDA=∠A′DC′AP=A′C′
，
∴△APD≌△A′C′D(AAS)，
∴AD=A′D，即D是AA′中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA′C的中位线，
∴DE=1
2
A′C，
要使DE最小，只需A′C最小，此时A′、C、B共线，A′C的最小值为A′B−BC=AB−BC=2，
∴DE最小为1
2
A′C=1．
【知识点】几何变换综合
【解析】(1)先求出AC=4，再在Rt△A′BC中，求出A′C=√A′B2−BC2=4，从而可
得AA′=8;
(2)过C作CE//A′B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，先证明CE=BC=3，再根据S△ABC=
1 2AC⋅BC=1
2
AB⋅CD，求出CD，进而可得DE和BE及C′E，由CE//A′B得BM
CE
=BC′
C′E
，即
可得BM=15
11
;
(3)过A作AP//A′C′交C′D延长线于P，连接A′C，先证明∠ACP=∠A′C′D=∠P，得AP=
AC=A′C′，再证明△APD≌△A′C′D得AD=A′D，DE是△AA′C的中位线，DE=1
2
A′C，要使DE最小，只需A′C最小，此时A′、C、B共线，A′C的最小值为A′B−BC=AB−BC=2，
即可得DE最小值为1
2
A′C=1．
本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三
角形。

28.【答案】解：(1)∵抛物线y =a(x −ℎ)2+k ，顶点P 的坐标为(2,−1)，
∴ℎ=2，k =−1，即抛物线y =a(x −ℎ)2+k 为y =a(x −2)2−1， ∵抛物线y =a(x −ℎ)2+k 经过O ，即y =a(x −2)2−1的图象过(0,0)， ∴0=a(0−2)2−1，解得a =1
4，
∴抛物线表达为y =1
4(x −2)2−1=1
4x 2−x; (2)在y =1
4x 2−x 中，令y =x 得x =1
4x 2−x ， 解得x =0或x =8， ∴B(0,0)或B(8,8)，
①当B(0,0)时，过B 作BC//AP 交抛物线于C ，此时∠ABC =∠OAP ，如图：
在y =14x 2−x 中，令y =0，得1
4x 2−x =0， 解得x =0或x =4， ∴A(4,0)，
设直线AP 解析式为y =kx +b ，将A(4,0)、P(2,−1)代入得： {0=4k +b −1=2k +b ，解得{k =1
2b =−2， ∴直线AP 解析式为y =1
2x −2， ∵BC//AP ，
∴设直线BC 解析式为y =12x +b′，将B(0,0)代入得b′=0， ∴直线BC 解析式为y =12x ，
由{y =1
2x y =14x 2−x
得{x =0y =0(此时为点O ，舍去)或{x =6
y =3，
∴C(6,3);
②当B(8,8)时，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，过B 作BH ⊥x 轴于H ，作H 关于AB 的对称点M ，作直线BM 交抛物线于C ，连接AM ，如图：
∵P(2,−1)，A(4,0)， ∴PQ =1，AQ =2，
Rt △APQ 中，tan∠OAP =PQ
AQ =1
2， ∵B(8,8)，A(4,0)， ∴AH =4，BH =8，
Rt △ABH 中，tan∠ABH =AH
BH =1
2， ∴∠OAP =∠ABH ， ∵H 关于AB 的对称点M ， ∴∠ABH =∠ABM ，
∴∠ABM =∠OAP ，即C 是满足条件的点， 设M(x,y)，
∵H 关于AB 的对称点M ， ∴AM =AH =4，BM =BH =8， ∴{(x −4)2+(y −0)2=42(x −8)2+(y −8)2=82
， 两式相减变形可得x =8−2y ，代入即可解得{x =8y =0(此时为H ，舍去)或{x =8
5
y =
165， ∴M(85,16
5)，
设直线BM 解析式为y =cx +d ，将M(85,16
5)，B(8,8)代入得;
{8=8c +d 165=85
c +
d ，解得{
c =
34d =2，。