山东省济南市台北市立成功高级中学2020-2021学年高一数学理模拟试题含解析

山东省济南市台北市立成功高级中学2020-2021学年高一数学
理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得
参考答案：
C
略
3. 函数y=log3|x|的图象大致形状是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：y=log3|x|=，
当x＞0时，y=log3x的图象为
当x＜0时，y=log3（﹣x）的图象为：
∴函数y=log3|x|的图象大致形状是
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函的性质的合理运用．
4. 若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
参考答案：
C
略
5. 在，已知，则（▲）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
6. 若全集U=R，A=[1，3]，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（?U B）=（）
A．[1，2] B．（﹣∞，0）∪（2，3] C．[0，1）D．（2，3]
参考答案：
D
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】求解一元二次不等式化简集合B，进一步求出?U B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2﹣2x≤0，得0≤x≤2，
∴B={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，
∴?U B=（﹣∞，0）∪（2，+∞），
又A=[1，3]，
∴A∩（?U B）=（2，3]．
故选：D．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
7. 设，那么
A、B、C、D、
参考答案：
B
8. 如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
参考答案：
B 【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定﹣=，判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项．
【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，
又∵可得到﹣==λ（+）
∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，
∴一定通过△ABC的内心
故选B．
9. （4分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
参考答案：
A
考点：对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．
分析：易知a＜0 0＜b＜1 c＞1 故 a＜b＜c
解答：解析：∵由指、对函数的性质可知：，，
∴有a＜b＜c
故选A．
点评：本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．
10. 的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案：
C
；故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x>0，则函数
的最小值是________．
参考答案：
2
12. （5分）函数
的定义域为 ．
参考答案：
（2k ，2k
π），k∈Z
考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 要使函数有意义，则需﹣2cosx ＞0，由余弦函数的图象和性质，即可得到定义域．
解答： 要使函数有意义，则需
﹣2cosx ＞0，即有cosx ＜，
则有2k ＜x ＜2k π，k∈Z
则定义域为（2k ，2k π），k∈Z
故答案为：（2k ，2k π），k∈Z
点评： 本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0，考查余弦函数的图象和性质，属于基
础题．
13. tan(-)＝________.
参考答案：
14. 集合
, 且, 则实数的取值范围是
________________.
参考答案：
略
15. 在10000张有奖明信片中，设有一等奖5个，二等奖10个，三等奖100个，从中随意买1张． （1）P （一等奖）= P （二等奖）= P （三等奖）= ；
（2）P （中奖）= ，P （不中奖）= ．
参考答案：
（1），，，（2），
考点： 互斥事件的概率加法公式． 专题： 概率与统计．
分析： （1）记获得一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为P 1、P 2、P 3，则直接利用条件求得它们的值．
（2）由（1）可得中奖的概率等于P 1+P 2+P 3，不中奖等于1﹣中奖的概率，运算求得结果．
解答： 解：（1）记获得一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为P 1、P 2、P 3，则P 1=
=
，
P 2==，P 3==．
（2）由（1）可得P（中奖）=P1+P2+P3=++=．
P（不中奖）=1﹣P（中奖）=1﹣=，
故答案为：（1），，，（2），
点评：本题主要考查等可能事件的概率，属于基础题
16. 已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过
点 .
参考答案：
解析：f(3)=－1 y=f(x)的图象经过点(3,－1) y=g(x)的图象经过点(－1,3) g(－1)=3 g(0－1)=3 y=g(x)的图象经过点(0,3).
17. 若数列满足（d为常数），则称为调和数列，已知数列为调和数列，且，则。

参考答案：
20
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，
（1）请在给定的同一个坐标系中画出和函数的图像；
（2）设函数，求出的零点；
（3）若，求出x的取值范围。

参考答案：
（1）图象如图所示………………………4分
（2）令，得，即，
解得，
故的零点是…………8分
（3）的定义域为……9分
由得，即，即
因为在定义域内单调递增，故得……………12分19. 一个容量为M的样本数据，其频率分布表如下。

（1）求a,b的值，并画出频率分布直方图；（答案写在答题卡上）
（2）用频率分布直方图，求出总体的众数、中位数及平均数的估计值。

参考答案：
略
20. 已知函数f（x）=+x，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用单调性定义证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据函数单调性定义证明f（x）的单调性；
（2）根据函数的增减性来求特定区间上的最值问题；
【解答】解：（1）证明：设任意变量x1，x2且3＜x1＜x2＜5
f（x1）﹣f（x2）=
=
=；
∵3＜x1＜x2＜5 ∴x1x2＞0，x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＜0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）为x∈[3，5]增函数．
（2）由（1）知函数f（x）为x∈[3，5]增函数；
∴
21. 已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．
参考答案：
解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
22. 已知，且
（1）求的值
（2）判断函数的奇偶性
（3）判断函数在上的单调性，并加以证明参考答案：
（1）
（2）
为奇函数
（3）设任意的，且
则
因为
所以当时，，即，
此时，为减函数
当时，，即
此时，为增函数
所以函数在上为减函数，在上是增函数。