四川省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点大全笔记

四川省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点大全笔
记
单选题
1、函数y =|lg(x +1)|的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：A 分析：由函数y =lgx 的图象与x 轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y =|lg(x +1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.
由于函数y =lg(x +1)的图象可由函数y =lgx 的图象左移一个单位而得到，函数y =lgx 的图象与x 轴的交点是(1,0)，
故函数y =lg(x +1)的图象与x 轴的交点是(0,0)，即函数y =|lg(x +1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A 选项满足.
故选：A.
2、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1
是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,5]B ．[32,5)
C ．(32,5)
D ．(1,5) 答案：B
分析：由题意得{
6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a
，解不等式组可求得答案
因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1
是定义在R 上的增函数， 所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a
，解得32≤a <5， 故选：B
3、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则1
2a +12b =（ ）
A ．12
B ．1
C ．√2
D ．2 答案：B
分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．
由|AB |=|CD |得(14)a −(14)b =(12)a −(12)b ，即[(12)a −(12)b ][(12)a +(12)b ]=(12)a −(12
)b
≠0， 所以(12)a +(12
)b =1， 故选：B ．
4、近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为r 1，第2月的口罩月消耗量增长率为r 2，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为r ，则以下关系正确的是（ ）
A ．r 2=r 1r 2
B ．r 2≤r 1r 2
C ．2r =r 1+r 2
D ．2r ≤r 1+r 2
答案：D
分析：求出r 1,r 2,r 的关系，再根据基本不等式判断．
由题意(1+r 1)(1+r 2)=(1+r)2，r 2+2r =r 1r 2+r 1+r 2，
r 1=r 2时，r 2=r 1r 2，2r =r 1+r 2，
r 1≠r 2时，r 1+r 2>2√r 1r 2，
1+r =√(1+r 1)(1+r 2)<1+r 1+1+r 22，2r <r 1+r 2，因此r 2>r 1r 2，
综上2r ≤r 1+r 2，r 2≥r 1r 2．
故选：D ．
5、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（ ）
A ．11
B ．5
C ．−8
D ．−5
答案：B
分析：利用奇函数的定义直接计算作答.
奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，
所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5.
故选：B
6、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ）
A ．12a −b
B ．12b +a
C ．12a +b
D ．12b −a
答案：C
分析：根据对数的运算性质计算即可.
解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b .
故选：C.
7、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0
若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）
A ．[0,34]
B ．(0,34
) C ．[0,916]D ．(0,916)
答案：D
分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.
函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0
的图像如下图所示：
若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，
则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点， 若直线y =12
x +m 经过原点时，m ＝0， 若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916.
故m ∈(0,916
). 故选：D ．
8、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
<0成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)
答案：C
分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1
a −2<03a ≤1
，求a 的范围即可．
∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，
∴f(x)在R 上是减函数，
∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0
，解得0<a ≤13，
∴a 的取值范围是(0,13]．
故选：C ．
9、我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）(x ∈[120,500])
之间的函数关系可近似表示为y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500] ，当处理量x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A ．120
B ．200
C ．240
D ．400
答案：D
分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x ∈[120,144)和x ∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可
由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S ={13
x 2−80x +5040,x[120,144)12
x −200+80000x ,x ∈[144,500] ， 当x ∈[120,144)时，S =13x 2−80x +5040=13(x −120)2+240，
当x =120时，S 取得最小值240，
当x ∈[144,500] 时，S =12x +
80000x −200≥2√12x ⋅80000x −200=200， 当且仅当12x =80000x ，即x =400时取等号，此时S 取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
10、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A ．甲同学和乙同学
B ．丙同学和乙同学
C ．乙同学和甲同学
D ．丙同学和甲同学
答案：C
分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.
(√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55
<√2．
又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33
>√2．
∴有√55<√2<√33．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
填空题
11、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________. 答案：(3,+∞)
分析：利用对数型复合函数性质求解即可.
由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.
令t =x 2−5x +6，则y =log 12
t 为减函数. 所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12
(x 2−5x +6)为增函数， t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12
(x 2−5x +6)为减函数. 所以函数f (x )=log 12
(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞). 所以答案是：(3,+∞)
12、设函数f (x )=
(x+1)2+2021x −2021−x x 2+1在区间[−2022,2022]上的最大值和最小值分别为M ､m ，则M +m =___________.
答案：2
分析：f (x )=(x+1)2+2021x −2021−x
x 2+1 =1+2x+2021x −2021−x
x 2+1，令g (x )=2x+2021x −2021−x
x 2+1,x ∈[−2022,2022]，易得函数
g (x )为奇函数，则g (x )max =−g (x )min ，从而可得出答案.
解：f (x )=(x+1)2+2021x −2021−x
x 2+1
=x 2+2x +1+2021x −2021−x
x 2+1
=1+2x+2021x −2021−x
x 2+1，
令g (x )=2x+2021x −2021−x x 2+1,x ∈[−2022,2022]，
因为g (−x )=−2x+2021−x −2021x x 2+1
=−g (x )，
所以函数g (x )为奇函数，
所以g (x )max =−g (x )min ，即g (x )max +g (x )min =0，
所以f (x )max +f (x )min =1+g (x )max +1+g (x )min =2，
即M +m =2.
所以答案是：2.
13、若alog 43=12，则3a +9a =___________； 答案：6
分析：首先利用换底公式表示a =log 32，再代入3a +9a 求值.
由条件得a =12log 34=log 32，所以3a +9a =3log 32+9log 32=3log 32+3log 34=2+4=6. 所以答案是：6
解答题
14、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点．
答案：证明见解析
分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可.
要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，
只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，
观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．
设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．
则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，
∴1+2y 0=3y 0，即(13
)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．
显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，
故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾，
从而知两函数图象仅有一个公共点．
15、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．
答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0
(2)(−1,0)
分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；
（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.
（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ；
当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ，
∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ；
综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0
； （2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，
f (x )−a =0有4个不相等的实数根，等价于f (x )与y =a 有4个不同的交点，
由图象可知：−1<a <0，即实数a 的取值范围为(−1,0).。