2020届江苏省天一中学高三上学期12月份调研考试数学(理)试题(word版)

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试
高三数学理科（Ⅰ）试题 2019.12
．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =U _____. 答案：{2}，
2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 ． 答案：3-
3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)
4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：23
5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为 ．
答案：200
6. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ． 答案：8
7.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线224
51x y
-
=的右焦点，则p =____． 答案为：6
8. 已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8
f π-的值为 ．
答案：2-
9. 已知数列{}n a 与2
{}n
a n
均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．
答案：20
10. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点
D 在边BC 上，若13
4
DE DF =u u u r u u u r g ，则线段BD 的长为 ．
3 11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ． 答案：292
) 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ． 答案：12ln -
13.已知函数32ln ,0
(),0
e x x
f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()
g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是
_____.
答案：(0,1){2}-U
14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111
tan tan tan A
B C
+
+
的最小值为 ． 答案：
13 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是
10
． （1）求3cos()4
πα-的值；
（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为5
-
，求αβ+的值．
分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 10
， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α= 从而cos 310
1sin 2αα-=
． （1）3cos()cos 4
πα-= cos α 3sin 4
π+ sin α 34
π，
31021025
()=
=． （2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5
，
所以cos 5
β=-
，从而sin 251cos2ββ=-=．
于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252()β=⨯-+⨯=． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2
παβ+∈，3)2
π，
从而34
παβ+=．
16. （本小题满分14分）
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．
分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC
的中点．
（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．
证明：（1）Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，
111C D CC C =Q I ，AD ∴⊥平面11BCC B ，
AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．
（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，
Q 正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，
1//OD A B ∴，
Q 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，
//EF OD ∴，
EF ⊂/Q 平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．
//EF ∴平面1ADC ．
17. （本小题满分14分）
某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其
中上层是半径为(1)r r …
（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.
分析:（1）由图可知帐篷体积
=半球体积+
圆柱体积，即322543
r r h πππ+=，表示出h ，则
22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+
；再由254203
r r ->，则3
133r <„义域为3
{|133}r r <„，
（2）254()f r r r
=+，3133r <„
解：（1）由题意可得322543
r r h πππ+=，所以2
542
3
h r r
=-， 所以2222542(222323)1010060()3
y r r rh r r r r
πππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-g ，即25460()y r r
π=⨯+；
因为1r …，0h >，所以2
54203
r r ->，则3
133r <„3{|133}r r <„， （2）设254()f r r r
=+，3133r <„2
54()2f r r r
'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；
当(3r ∈，3
33)时，()0f r '>，()f r 单调递增，
所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元．
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆
22
22
:1(
0)
x y
C a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
1
F，
2
F，若椭圆C经过点(0,3)，离心率为1
2
，
直线l过点
2
F与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N为△
12
F AF的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△
12
F NF与△
12
F AF面积的比值；
（3）设点A，
2
F，B在直线4
x=上的射影依次为点D，G，E．连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．
分析：（1）由题意知3
b1
2
c
a
=，可得
3
b
a
=，解得a即可得出椭圆C的方程．
（2）由点N为△
12
F AF的内心，可得点N为△
12
F AF的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，可得
12
12
12
1212
1
||
2
1
(||||||)
2
F NF
F AF
F F r
S
S AF AF F F r
=
++
V
V
g
g
．
（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于
2
F G的中点5(,0)
2
．下面证明：
当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点5(,0)
2
T．
设直线l的方程为(1)
y k x
=-，与椭圆方程联立化简得2222
(34)84120
k x k x k
+-+-=．设1(A x，1)y，2
(
B x，
2
)
y，由题意，得
1
(4,)
D y，
2
(4,)
E y，则直线AE的方程为21
2
1
(4)
4
y y
y y x
x
-
-=-
-
．令5
2
x=，此时
21
2
1
5
(4)
42
y y
y y
x
-
=+-
-
，把根与系数关系代入可得0
y=，因此点5(,0)
2
T在直线AE上．同理可证，点
5
(,0)
2
T在直线BD上．即可得出结论．
解：（1）由题意知3
b=1
2
c
a
=，所以
3
b
a
=，解得2
a=，
所以椭圆C的方程为：
22
1
43
x y
+=．
（2）因为点N为△
12
F AF的内心，
所以点N为△
12
F AF的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，
则
1212
1212121
||21
2
1
223
(||||||)2
F NF F AF F F r S c c S a c a c AF AF F F r =
=
==++++V V g g ．
（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2
．
下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2
T ．
设直线l 的方程为(1)y k x =-，
联立22(1)14
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．
因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，2122
412
34k x x k -=+．
由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121
(4)4y y
y y x x --=--．
令52
x =，此时2112212112(4)3()
5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--
22
22
1412882534342(4)
k k k k k k k x -+-++=-g g 3332124328244002(4)(34)
k k k k k x k ++--==-+，
所以点5(,0)2
T 在直线AE 上．
同理可证，点5(,0)2
T 在直线BD 上．
所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2
T ．
19. （本小题满分16分）
设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；
（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值. （3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （1）解：设{}n b 的公比为q ，
则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=；
解得2q =-；
∴1(2)3
n
n S --=；
（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d
=，则n a n =
数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，
2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b
设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2
111+=b b q ，2
1110b q
b --=
∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍） 即11b =-
（3）解：Q 11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①
112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②
∴①-②，得2(2)n n n a b n n =g …；
112a b =Q ；
∴*2()n n n a b n n N =∈⋯g ③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④
令③÷④，得
12(2)1
n n a n
q n a n -=⋯-g …⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴
122(1)
(3)2
n n a n q n a n ---=⋯-g …⑥ 令⑤÷⑥，得
222
1
(2)
(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴
31234a a a =，即1121(2)3
()4
a d a a d +=+； 解得1a d =或13a d =-；
若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；
1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2n
n b d
=； 20. （本小题满分16分）
设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；
（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …
及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，
（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，
（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；
当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．
（2）由2()2f x x bx +…，得22x
axe x bx +…
，由于0x >， 所以2x ae x b +…对任意的1a …
及任意的0x >恒成立． 由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，
所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增， 所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2， 所以22b ln -„2．
（3）由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)
()(1)1x
x
x axe g x a x e x x
++'=+++=，其中0x >．
①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；
②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a
=->．
由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--… 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．
所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，
且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，
所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．
设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x x
ϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．
由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >．
又由①式，得001x ex a
=-．
由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a
->，
即1(a e
∈-，0)．
()i 由于111()(1)0e
ae g e e e =
+-<，所以01
()()0g g x e
<g ． 因为011x e
<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，
所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；
()ii 由于1111()()g e ln a
a
a
a
-=---+-，令1t e a
=->，
设()t F t e t ln =-++t ，t e >，
由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a
-<．
由①式，得当01x >时，0001x ex x a
-=>，且01()()0g g x a
-<g ，
同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e
∈-，0)．
2019年江苏省天一中学十二月份调研考试
高三数学理（Ⅱ）试题 2019.12
21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（1）求矩阵A ；
（2）设直线l 在矩阵1
A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．
分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
即可求出a ，b ； （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据
122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q ，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩
解得2,4,a b =⎧⎨=⎩ 故1214A ⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦；
（2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦Q ，1213
31
166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 则2
1213
3331
1116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩
∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩ 4x y -=Q ，23
y ∴'=， ∴直线l 的方程为23
y =． B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4
R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩
为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案． 解：直线l 的直角坐标方程为y x =．
由方程4cos ,1cos 2x y αα
=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===， 又1cos 1α-Q 剟
，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8
y x x =-剟． 将直线l 的方程代入曲线方程中，得218
x x =，解得0x =，或8x =（舍去）． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．
第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3
ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．
（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；
（2）点M 在线段1A D
上，11A M A D
λ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．
分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；
（2）点M 在线段1A D 上，
11A M A D
λ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值．
解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，
所以1A A ⊥平面ABCD ．
又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．
在菱形ABCD 中3ABC π∠=，则ABC ∆是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．
因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．
建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，3C 1，0)，(0D ，2，0)，
1(0A ，0，2)，(3E 0，0)，3(F ，12
，1)． （1）(0AD =uuu r ，2，0)，3(EF =u u u r 12，1)， 所以异面直线EF ，AD 24
211=+． （2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D λ=，
则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．
则(0M ，2λ，22)λ-，(3CM =-u u u u r ，21λ-，22)λ-．
设平面AEF 的法向量为0(n x =r ，0y ，0)z ．
因为3AE =u u u r 0，0)，3(AF =u u u r ，12
，1)， 由0000303102
x y z =++=，得00x =，00102y z +=．
取02y =，则01z =-，
则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．
由于//CM 平面AEF ，则0n CM =u u u u r r g ，即2(21)(22)0λλ---=，解得2
3
λ=．
23．（本小题满分10分）
已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．
（1）求在一局游戏中得3分的概率；
（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．
分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；
（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，
求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．
解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ， 则P （A ）1112213525
C C C C ==g g ； （2）由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4；
且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310
C C C C C +=g g ； 则2122351(1)5
C C P X C ===g ， 436(2)51025P X ==⨯=， 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， 43342(4)(1)5105125
P X ==⨯-⨯=，
X
∴的分布列为：
162842337 ()1234
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．
525125125125。