第三讲、第四讲：坐标变换和张量
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X
X ' a11 a12 矩阵形式 Y ' a21 a22 Z' a 31 a32
a13 X 张量形式 ' Z i aij Z j aij Z j a23 Y j a33 Z
6
相比于矩阵乘法，张量在进行内积时，两个张量可以调换位置！
13
1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换 一阶张量，即矢量。
D1' a11 a12 a13 D1 ' D2 a21 a22 a23 D2 D' a D a a 33 3 3 31 32
• 对于第二类对称操作，即镜面和中心反演，矩阵模为 -1。
20
aik kl a jl aik a jl kl
' ij
15
1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换 三阶、四阶张量，如介电常数、应变张量。
' ijk
d
aip a jqakr d pqr
' sijkl aip a jqakr alt d pqrt ' Tijkl aip a jq akr als Tpqrs
i j
12
1.4.2 张量的运算
张量的运算
• 张量的微分
[Tpqr ( x j )] x j
一个m阶张量的微分是一个（m+1）阶张量
• 张量的内积与矩阵乘积
a b c cij aik bkj bkj aik b a dij bik a jk
2
1.3.1 为什么要进行坐标变换
有助于我们分析材料物理性能 • • • 通过坐标变换，可以掌握晶体物理性质的各向异性； 可以对材料物理性质进行几何表示，有助于问题的分析； 是有限元方法分析多晶材料性能的基础； Z
Z’
面对角线方向
O
Y’ X
Y
3
1.3.2 坐标变换
坐标变换方法
空间中某点A在新坐标轴上的坐标 （投影），可以由该点在原坐标系中的 坐标表示：
Y O
2 β 2
A
X’ α X B
1’ 1
X ' X cos Y cos
数学解释1
1 特殊点：该点在新坐 1
X X ' cos Y X ' cos
X
X ' X cos Y cos
4
1.3.2 坐标变换
数学解释1
2. 一般点：该点在新1’坐标轴上坐标仍为X ’
该点在原坐标系中1轴和2轴的坐标分别为X和Y：
X X ' cos l cos Y X ' cos l cos
Y O
2 β
C l α X
1’ X’ 1
X ' X cos Y cos
数学解释2 Y O 2 X’ α X 1’ 1
P Z Y O X
O X Z
Y
坐标变换A
Z Y
坐标变换A
轴张量： O X
Y O X
坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！ 18
1.4.3 张量的分类
张量的分类 Z 极张量： P
1 0 0 0 1 0 0 0 1
-P
Y
O X Z
Y
坐标变换B
O X
Z
Y O Y
D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D E 3 31 32 33 3
ij
张量形式（Tensor）
11
1.4.2 张量的运算
张量的运算
1.3.2 坐标变换
坐标变换方法：推广到三维情况
矩阵形式
X ' a11 a12 Y ' a21 a22 Z' a 31 a32
a13 X 张量形式 ' Z i aij Z j aij Z j a23 Y j a33 Z
a21 a22 a23
a31 a11 a32 a21 a a33 31
1 0 0 0 1 0 0 0 1
a12 a22 a32
a13 X a23 Y Z a33
9
第一章：晶体物理学基础
本章内容
β
5
1.3.2 坐标变换
坐标变换方法：推广到三维情况
X ' X cos Y cos Z cos
Z’
Z
a13 a11
Y’ X’ a12 Y
X ' a11X a12Y a13Z
O
Y ' a21 X a22Y a23Z Z ' a31X a32Y a33Z
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
10
1.4.1 张量及其用途
描述晶体物理性质 介电性质、压电性质、热点效应、光电效应……
X a11 Y a21 Z a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
T
X ' Y' Z'
X a11 Y a12 Z a 13
晶体物理学第一章
晶体物理学基础
主讲人：李飞
电信学院电子系
1
第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
aij
为关联新旧坐标系的方向余弦
Di' aij D j
14
1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换 二阶张量，如介电常数、应变张量。
aik kl a jl aik a jl kl
' ij
证明：
' Di' ij E 'j
Di' aik Dk aik kl El aik kl a jl E 'j
坐标变换B
轴张量： O X
X
Z
19
坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！
1.4.3 张量的分类
张量的分类
轴张量的坐标变换方法：
T
' ijkl
a aip a jqakr als Tpqrs
• 坐标变换矩阵的模值为1或-1，正负与坐标系的手性是否 发生变化有关；
• 对于第一类对称操作，坐标变换矩阵模为1；
逆变换形式：
X a11 Y a12 Z a 13
a21 a22 a23
a31 X ' 张量形式 ' ' Z a Z a Z i ji j ji j a32 Y ' j a33 Z '
aij
为关联新旧坐标系的方向余弦
16
1.4.3 张量的分类
张量的分类 • 极张量（Polar tensors） • 轴张量（Axial tensors）
极张量：与坐标系的手性无关；
轴张量：与坐标系的手性有关；
17
1.4.3 张量的分类
张量的分类 Z 极张量： P
1 0 0 0 1 0 0 0 1
7
1.3.2 坐标变换
正交条件（orthogonality conditions）
2 2 2 a11 a12 a13 1 2 2 2 a21 a22 a23 1 2 2 2 a31 a32 a33 1
a11a12 a21a22 a31a32 0 a11a21 a12a22 a13a23 0 a21a11 a22a12 a23a13 0
aik a jk aki akj ij
8
1.3.2 坐标变换
正交条件（orthogonality conditions） • 如何证明？
X ' a11 a12 Y ' a21 a22 Z' a 31 a32
a13 X a23 Y Z a33
• 张量的外积
Tijk S pqr Cijkpqr
一个t阶张量与一个s阶张量的外积为一个（t+s）阶张量
• 张量的内积
Tijkl Sijpq Cklpq
T阶张量与s阶张量有n个相同的下标，则二者乘积为一个 （t+s-2n）介张量。
ckl aijkl bij aijkl bij
X ' a11 a12 矩阵形式 Y ' a21 a22 Z' a 31 a32
a13 X 张量形式 ' Z i aij Z j aij Z j a23 Y j a33 Z
6
相比于矩阵乘法，张量在进行内积时，两个张量可以调换位置！
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1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换 一阶张量，即矢量。
D1' a11 a12 a13 D1 ' D2 a21 a22 a23 D2 D' a D a a 33 3 3 31 32
• 对于第二类对称操作，即镜面和中心反演，矩阵模为 -1。
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aik kl a jl aik a jl kl
' ij
15
1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换 三阶、四阶张量，如介电常数、应变张量。
' ijk
d
aip a jqakr d pqr
' sijkl aip a jqakr alt d pqrt ' Tijkl aip a jq akr als Tpqrs
i j
12
1.4.2 张量的运算
张量的运算
• 张量的微分
[Tpqr ( x j )] x j
一个m阶张量的微分是一个（m+1）阶张量
• 张量的内积与矩阵乘积
a b c cij aik bkj bkj aik b a dij bik a jk
2
1.3.1 为什么要进行坐标变换
有助于我们分析材料物理性能 • • • 通过坐标变换，可以掌握晶体物理性质的各向异性； 可以对材料物理性质进行几何表示，有助于问题的分析； 是有限元方法分析多晶材料性能的基础； Z
Z’
面对角线方向
O
Y’ X
Y
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1.3.2 坐标变换
坐标变换方法
空间中某点A在新坐标轴上的坐标 （投影），可以由该点在原坐标系中的 坐标表示：
Y O
2 β 2
A
X’ α X B
1’ 1
X ' X cos Y cos
数学解释1
1 特殊点：该点在新坐 1
X X ' cos Y X ' cos
X
X ' X cos Y cos
4
1.3.2 坐标变换
数学解释1
2. 一般点：该点在新1’坐标轴上坐标仍为X ’
该点在原坐标系中1轴和2轴的坐标分别为X和Y：
X X ' cos l cos Y X ' cos l cos
Y O
2 β
C l α X
1’ X’ 1
X ' X cos Y cos
数学解释2 Y O 2 X’ α X 1’ 1
P Z Y O X
O X Z
Y
坐标变换A
Z Y
坐标变换A
轴张量： O X
Y O X
坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！ 18
1.4.3 张量的分类
张量的分类 Z 极张量： P
1 0 0 0 1 0 0 0 1
-P
Y
O X Z
Y
坐标变换B
O X
Z
Y O Y
D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D E 3 31 32 33 3
ij
张量形式（Tensor）
11
1.4.2 张量的运算
张量的运算
1.3.2 坐标变换
坐标变换方法：推广到三维情况
矩阵形式
X ' a11 a12 Y ' a21 a22 Z' a 31 a32
a13 X 张量形式 ' Z i aij Z j aij Z j a23 Y j a33 Z
a21 a22 a23
a31 a11 a32 a21 a a33 31
1 0 0 0 1 0 0 0 1
a12 a22 a32
a13 X a23 Y Z a33
9
第一章：晶体物理学基础
本章内容
β
5
1.3.2 坐标变换
坐标变换方法：推广到三维情况
X ' X cos Y cos Z cos
Z’
Z
a13 a11
Y’ X’ a12 Y
X ' a11X a12Y a13Z
O
Y ' a21 X a22Y a23Z Z ' a31X a32Y a33Z
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
10
1.4.1 张量及其用途
描述晶体物理性质 介电性质、压电性质、热点效应、光电效应……
X a11 Y a21 Z a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
T
X ' Y' Z'
X a11 Y a12 Z a 13
晶体物理学第一章
晶体物理学基础
主讲人：李飞
电信学院电子系
1
第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
aij
为关联新旧坐标系的方向余弦
Di' aij D j
14
1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换 二阶张量，如介电常数、应变张量。
aik kl a jl aik a jl kl
' ij
证明：
' Di' ij E 'j
Di' aik Dk aik kl El aik kl a jl E 'j
坐标变换B
轴张量： O X
X
Z
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坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！
1.4.3 张量的分类
张量的分类
轴张量的坐标变换方法：
T
' ijkl
a aip a jqakr als Tpqrs
• 坐标变换矩阵的模值为1或-1，正负与坐标系的手性是否 发生变化有关；
• 对于第一类对称操作，坐标变换矩阵模为1；
逆变换形式：
X a11 Y a12 Z a 13
a21 a22 a23
a31 X ' 张量形式 ' ' Z a Z a Z i ji j ji j a32 Y ' j a33 Z '
aij
为关联新旧坐标系的方向余弦
16
1.4.3 张量的分类
张量的分类 • 极张量（Polar tensors） • 轴张量（Axial tensors）
极张量：与坐标系的手性无关；
轴张量：与坐标系的手性有关；
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1.4.3 张量的分类
张量的分类 Z 极张量： P
1 0 0 0 1 0 0 0 1
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1.3.2 坐标变换
正交条件（orthogonality conditions）
2 2 2 a11 a12 a13 1 2 2 2 a21 a22 a23 1 2 2 2 a31 a32 a33 1
a11a12 a21a22 a31a32 0 a11a21 a12a22 a13a23 0 a21a11 a22a12 a23a13 0
aik a jk aki akj ij
8
1.3.2 坐标变换
正交条件（orthogonality conditions） • 如何证明？
X ' a11 a12 Y ' a21 a22 Z' a 31 a32
a13 X a23 Y Z a33
• 张量的外积
Tijk S pqr Cijkpqr
一个t阶张量与一个s阶张量的外积为一个（t+s）阶张量
• 张量的内积
Tijkl Sijpq Cklpq
T阶张量与s阶张量有n个相同的下标，则二者乘积为一个 （t+s-2n）介张量。
ckl aijkl bij aijkl bij