【数学】北京市朝阳区2018届高三3月综合练习(一模)数学(文)考试 含解析.doc

2018年北京市朝阳区高三一模数学（文）考试解析 第I 卷
（选择题共40分）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集为实数集R ,集合2
2{|30},{|log 0}A x x x B x x =-<=>,
则()A B =R ð
（A ）(,0](1,)-∞+∞ （B ）(0,1] （C ）[3,)+∞ （D ）∅
【答案】C
【解析】本题考查集合的运算. 集合2
{|30}{|(3)0}{|03}A x x
x x x x x x =-<=-<=<<,
集合222{|log 0}{|log log 1}{|1}B x x x x x x =>=>=>. 所以{|0A x x =≤R ð或3}x ≥,所以(){|3
}A B x x =≥R ð,故选C . 2. 在复平面内,复数i
1i
z =
+所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
【答案】A
【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.
i i(1i)1i
1i (1i)(1i)2
z -+=
==
++-,在复平面内对应的点为11(,)22,在第一象限,故选A . 3. 已知平面向量(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,则实数x 的值是
（A ）1-
（B ）1
（C ）2
（D ）1-或2
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的平行的坐标运算. 由(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,可以得到(1)2x x -=,
即2
2(2)(1)0x
x x x --=-+=,所以1x =-或2x =,故选D .
4. 已知直线m ⊥平面α,则“直线n m ⊥”是“//n α”的 （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】本题考查线面位置关系的判定、性质与充分必要条件. （充分性）当m
α⊥且n m ⊥时,我们可以得到//n α或n α⊂（因为直线n 与平面α的
位置关系不确定）,所以充分性不成立;
（必要性）当//n α时,过直线n 可做平面β与平面α交于直线a ,则有//n a .又有
m α⊥,则有m a ⊥,即m n ⊥.所以必要性成立,故选B .
5. 已知F 为抛物线2:
4C y x =的焦点,过点F
的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,若
||8AB =,则线段AB 的中点M
到直线10x +=的距离为
（A ）2 （B ）4
（C ）8
（D ）16
【答案】B
【解析】本题考查抛物线的定义. 如图,抛物线2
4y
x =的焦点为(1,0)F ,准线为1x =-,即10x +=.
分别过,A B 作准线的垂线,垂足为,C D , 则有|
|||||||||8AB AF BF AC BD =+=+=.
过AB 的中点M 作准线的垂线,垂足为N , 则MN 为直角梯形ABDC 中位线, 则1
||(||||)42
MN
AC BD =+=,即M 到准线1x =-的
距离为
4.故选B .
6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于
（A ）
13 （B ）
23 （C ）
12 （D ）
34
【答案】A
【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算 抠点法:在长方体1111ABCD A BC D -
中抠点,
1.由正视图可知:11C D 上没有点;
2.由侧视图可知:11B C 上没有点;
3.由俯视图可知:1CC 上没有点;
4.由正（俯）视图可知:,D E 处有点,由虚线可知,B F 处有点,A 点排除. 由上述可还原出四棱锥1A BEDF -,如右图所示,
111BEDF S =⨯=四边形,111
1133
A BEDF V -=⨯⨯=.
故选A .
7. 函数
2πsin
1
2()12x f x x x
=-
+的零点个数为 （A ）0 （B ）1
（C ）2
（D ）4
【答案】C
【解析】本题考查函数零点
.
2π
sin 1
2(),12x f x x x
=-+定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ,
通分得:
()22
π
2sin 1
22(1)
x x x f x x x --=+, 设
()1π
2sin 2
f x x x =,()221f x x =+,
()()12f x f x =时,()0f x =,
画出大致图象如下. 易发现()()12112f f ==,即()1f x 与()2f x 交于点()1,2A ,
又
()1ππ
πcos 2sin 22
f x x x x '=⋅+ ,()22f x x '=,
()()12112f f ''∴==即点A 为公切点,
∴点A 为()0,+∞内唯一交点,
又()()1
2,f x f x 均为偶函数,
∴点()1,2B -也为公切点, ∴,A B 为交点,()f x 有两个零点.
故选C
8. 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:
小张说:“甲或乙团队获得一等奖”; 小王说:“丁团队获得一等奖”;
小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;
小赵说:“甲团队获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是 （A ）甲 （B ）乙
（C ）丙
（D ）丁
【答案】D
【解析】本题考查学生的逻辑推理能力.
1. 若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2. 若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3. 若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4. 若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
故选D .
第Ⅱ卷
（非选择题共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 执行如图所示的程序框图,若输入5,m =则输出k 的值为______. 【答案】4
【解析】本题考查程序框图.
第四次时,6550>,所以4k =.
10.
双曲线2
214
x y -=的焦距为______;渐近线方程为
______.
【答案】1
2
y x =±
【解析】本题考查双曲线的基本量. 由题知224,1,
a b ==故
2225
c a b =+=,焦距
:
2c =,渐近
线:12
b y
x x a =±=±.
11. 已知圆2
2:2410C x
y x y +--+=内有一点(2,1),P 经过点P 的直线l 与圆C 交
于,A B 两点,当弦AB 恰被点P 平分时,直线l 的方程为______. 【答案】1y x =
-
【解析】本题考查直线与圆的位置关系. 圆2
2:(1)
(2)4C x y -+-=,
弦AB 被P 平分,故PC
AB ⊥,
由(2,1),(1,2)P C 得1pc l k k ⋅=-即1l k =,所以直线
方程为1y x =
-.
12. 已知实数,x y 满足10
10,1x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无
数多个,则m 的值为______. 【答案】1
【解析】本题考查线性规划.
:l y mx z =-+,0m -< ,z 取得最小值,则直
线l 的截距最小,最优解有无数个,即l 与边界重合,故1m =. 13. 函
数
()sin()f x A x ωϕ=+π
(0,0,)
2
A ωϕ>><的部分图象如图所示,则
______;ϕ=______.ω=
【答案】4
;
63π-
【解析】本题考查三角函数的图象与性质.
由图可知,0,6
,22
x x x x πωϕππ
ωϕ⎧
=+=-⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩解得4,63πϕω=-=.
14. 许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些
正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有k 块砖板拼在一起,则k 的所有可能取值为______. 【答案】3,4,5,6
【解析】本题考查逻辑推理与多边形的性质. 由题意知只需这k 块砖板的角度之和为360︒
即可. 显然3k
≥,因为任意正多边形内角小于180︒;
且6k ≤,因为角度最小的正多边形为正三角形,360660
︒
︒
=. 当3k =时,3个正六边形满足题意; 当4k =时,4个正方形满足题意;
当5k =时,3个正三角形与2个正方形满足题意; 当6k
=时,6个正三角形满足题意.
综上,所以k 可能为3,4,5,6.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n
n S a =-*()n ∈N .
（Ⅰ）求123,,a a a 的值; （Ⅱ）若数列{}n b 满足112,n n n b b a b +==+,求数列{}n b 的通项公式.
【解析】（Ⅰ）由题知1
1121,S a a ==-得11a =,
221221,S a a a =-=+得2112,a a =+=
3312321,S a a a a =-=++得31214a a a =++=,
（Ⅱ）当2n ≥时,1121,21,n n n n S a S a --=-=-
所以1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---,
得122n
n n a a a -=-,即12n n a a -=,
{}n a 是以11a =为首项,2为公比的等比数列,则12n n a -=.
当2n ≥时,1211()()n
n n b b b b b b -=+-++-
1212n a a a -=++++ ,
111(12)22112
n n a ---=+=+-,
经验证:111221b -==+,
综上:121n n
b -=+.
16. （本小题满分13分）
在ABC !中,
已知sin 5
A =,2cos b a A =.
（Ⅰ）若5ac
=,求ABC !的面积;
（Ⅱ）若B 为锐角,求sin C 的值.
解:（Ⅰ）由正弦定理得
sin sin A a
B b
=,因为2cos b a A =, 所以sin 2sin cos B A A =,cos =
02b
A a
>,
因为sin 5
A =
,所以cos 5
A =
,
所以4sin 2555
B =⨯
⨯=, 114
sin 52225ABC S ac B ==⨯⨯=!.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知4
sin 5
B =,
因为B 为锐角,所以3cos 5
B =
. sin =sin(π)sin()C A B A B --=+
sin cos cos sin A B A B =+
345555=
⨯+⨯
=
25
17. （本小题满分13分）
某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果） （Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率. 【解析】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为,x 因为在选考方案确定的学生的人中,
选生物的频率为
3+63
=,8+6+10+610
所以选择生物的概率约为
3,10
所以选择生物的人数约为3
420=12610
x =⨯
人. （Ⅱ）2人.
（Ⅲ）设选择物理、生物、化学的学生分别为123,,,A A A 选择物理、化学、历史的学生为1B ,
选择物理、化学、地理的学生分别为12,,C C
所以任取2名男生的基本事件有
1223311112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A B B C C C
13213212(,),(,),(,),(,)A A A B A C B C
112131(,),(,),(,)A B A C A C
1122(,),(,)A C A C
12(,)A C
所以两名男生所学科目相同的基本事件共有四个,
分别为12231213(,),(,),(,),(,),A A A A C C A A 概率为4.15
18. （本小题满分14分）
如图1,在梯形ABCD 中,//,1,3,BC AD BC AD BE AD ==⊥于E ,1BE AE ==.将ABE !沿BE 折起至A BE '!,使得平面A BE '⊥平面 BCDE （如图2）,M
为线段A D '上一点. （Ⅰ）求证:A E CD '⊥;
（Ⅱ）若M 为线段A D '中点,求多面体A BCME '与多面体MCDE 的体积之比; （Ⅲ）是否存在一点M ,使得//A B
'平面MCE ?若存在,求A M '的长.若不存在,请说明理
由.
【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中,因为BE AE ⊥,所以'A E BE ⊥, 平面'A BE ⊥平面BCDE ,BE =平面'A BE 平面BCDE , 'A E ⊂ 平面'A BE ,
'A E ∴⊥平面BCDE ,
CD ⊂ 平面BCDE ,
'A E CD ∴⊥.
（Ⅱ）M 为'A D 中点,
M ∴到底面BCDE 的距离为1'2
A E , 在梯形ABCD 中,1121122
DCE S DE BE =⋅=⨯⨯=!, 111'326
M DCE DCE V A E S -=⋅⋅=!, '11'36
A BCE BCE V A E S -=⋅⋅=!. 'A E DE ⊥ ,
∴在'Rt A DE !中,'12
A EM S =!, 'A E ⊥ 平面BCDE ,'A E ⊂平面'A DE ,
∴平面'A DE ⊥平面BCDE ,
,BE ED ⊥ 平面'A DE 平面BCDE ED =,
//BC AD ,
C ∴到平面'A DE 的距离为1BE =.
''1136C A EM A EM V BE S -∴=⋅⋅=!,'''13A BCME CA EM A BCE V V V =+=多面体多面体多面体. ':2:1A BCME MCDE V V ∴=多面体多面体.
（Ⅲ）连结BD 交CE 于O ,连结OM ,
在四边形BCDE 中,
//BC DE ,
BOC DOE ∴!!∽,
23
OD BD ∴=, '//A B 平面CME ,平面'A BD 平面CEM OM =,
'//A B OM
∴, 在'A BD !中,//'OM A B ,
'1'3
A M BO A D BD ∴==, '1,2,'A E DE A E ED ==⊥ ,
∴在'Rt A ED !中,'A D =
'3
A M ∴=.
19. （本小题满分14分） 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为2,且过点(1,)2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点,直线2l 过坐标原点且直线1l 与2
l 的斜率互为相反数,直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合,设直线AE 的斜率为1k ,直线BF 的斜率为2k ,证明:12k k +为定值.
【解析】
（Ⅰ）由题可得2222222121c a
a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪
⎪=+⎩
,
解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）由题知直线1l 斜率存在,
设11122:(1),(,),(,)l y k x A x y B x y =+.
联立22(1)22
y k x x y =+⎧⎨+=⎩, 消去y 得2222(12)4220k x k x k +++-=,
由题易知0∆>恒成立, 由韦达定理得22121222422,1212k k x x x x k k
-+=-=++,
因为2l 与1l 斜率相反且过原点,
设
2:l y kx =-,
3333(,),(,)E x y F x y --,
联立2222
y kx x y =-⎧⎨+=⎩, 消去y 得22(12)20k x +-=,
由题易知0∆>恒成立, 由韦达定理得232212x k
--=+, 则1323121323
y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323
(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 132323131323(1)()(1)()()()
x x x x x x x x k x x x x ++++-+-=⋅-+ 212312132322()()
x x x x x k x x x x +++=⋅-+ 22
22213232(22)224121212()()
k k k k k k x x x x -⨯-+++++=⋅-+
0=
所以12k k +为定值0.
20. （本小题满分13分）
已知函数ln 1()()x f x ax a x
-=-∈R . （Ⅰ）若0a =,求曲线()y f x =
在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若1a <-,求函数()f x 的单调区间;
（Ⅲ）若12a <<,求证:()1f x <-.
解:（Ⅰ）若0a =,则(1)1f =-,22ln (),(1)2x f x f x
-''==, 所以()f x 在点(1,1)-处的切线方程为230x y --=. （Ⅱ）222ln (0,),().ax x x f x x
--'∈+∞= 令2
()2ln g x ax x =--,则221()ax g x x --'=.
令()0g x '=,得x =依题意102a
->)
由()0g x '>,得x >由()0g x '<,得0x <<
所以,()g x 在区间上单调递减,在区间)+∞上单调递增
所以,min 5()2g x g ==-
因为1a <-,所以110,022a <-
<<. 所以()0g x >,即
()0f x '>. 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.
（Ⅲ）由0,()1x f x ><-,等价于ln 11x ax x
--<-,
等价于21ln 0ax x x -+->.
设2()1ln h x ax x x =-+-,只须证()0h x >成立. 因为2121()21,12,ax x h x ax a x x
--'=--=<< 由()0h x '=,得2210ax x --=有异号两根.
令其正根为0x ,则200210ax x --=.
在0(0,)x 上()0h x '<,在0(,)x +∞上()0h x '> 则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-
0000011ln 23ln .2
x x x x x +=-+--=- 又13(1)220,()2()30,222
a h a h a ''=->=-=-< 所以01 1.2
x << 则0030,ln 0.2
x x ->-> 因此003ln 0,2
x x -->即0()0.h x >所以()0h x >. 所以()1f x <-.。