苏教版 定积分优秀课件1

（1）分割
T t t t t t T 1 0 1 2 n 1 n 2
t t t i i i 1
部分路程值
s v ( ) t i i i
某时刻的速度
（2）求和
（3）取极限
s v(i ) ti
n
max{ t , t , , t }
y
在每个小区间 [x i 1, x i] 上任取一点 ， i
o ax
1
x i 1 ixi
以 [ x ,x 为底， f( 为高的小矩形面积 i 1 i] i)
x n 1 b
x
A f ( ) x i i i
曲边梯形面积的近似值为
A f (i )xi
i1
ห้องสมุดไป่ตู้
n
当分割无限加 细 , 即小区 间小区间的最 λ max{ x Δx 1,Δx 2, n} 趋近于零 (λ 0) 时，
曲边梯形面积为
A lim f( x i) i
0 i 1
n
2 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ，求物 体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作 不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值， 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi 1 , x i ]上
0时， 和 S 总趋于 确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分， 记为
积分上限
点 i 怎样的取法， 只要当
lim f ( ) x f ( x ) dx I i i a 0 i 1
12 n
n i 1
i1
v ( i ) ti 路程的精确值 slim 0
二、定积分的定义
在[a , b]中任意插入 定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界，
若干个分点
a x x x x x b
0 1 2 n 1 n
各小区间的长度依次为 把区间[a , b]分成n 个小区间，
定积分
定积分
一、定积分问题举例 二、定积分的定义 三、定积分的性质
一、定积分问题举例
1 曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
y
y f( x )
x 轴与两条直线 x a 、
和 y 0 所围成 x b
A ?
o
a b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
在各小区间上任取 xi xi xi 1 ，( i 1,2,) ， 作乘积 f ( i )xi ( i 1,2,) 一点 i （ i xi ），
并作和 S
f ( i )x i ，
i 1
n
记
max{x1 , x2 ,, xn }， 如果不论对[a , b]
称
f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
存在定理
定理1
当函数
称
f ( x ) 在区间[a , b]上连续时，
f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
且只有有限个间断点， 则
f ( x)在
区间[a , b]上可积.
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯 形面积．
[a ,b ]内插入若干个分点， 曲边梯形如图在区间 a x x , nb 0 x 1 x 2 n 1 x
把区间 [a, b] 分成n 个小区间 [ xi1, xi ] ， 长度为 xi xi xi1;
b
n
积分和
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a, b] 积分区间
注：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
（2）定义中区间的分法和
b
b
i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分存在时，