四川省泸州市2014届高三第三次诊断性考试数学理试题

泸州市2011级高三第三次教学质量诊断性考试
数 学（理工类） 2014.4.10
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

第一部分 （选择题 共50分）
注意事项：
用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1、若{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则=⋂)(N M C U （ ） 【答案】：C
【解析】：本题考查集合的基本概念；显然{}2=⋂N M ，∴{}{}4,3,12=U C .选C. A 、{1,2,3} B 、{2} C 、{1,3,4} D 、{4}
2、如图，向量OZ 对应的复数为z ，则4
z z
+对应的复数是（ ）
【答案】：D.
【解析】：本题考查复数的基本概率和综合应用；由图得)1,1(-z ，既i z -=1.
∴i i i i i i i i z z +=+=+-++-=-+-=
+32
6
2)1)(1()1)(42(14)1(42.选D. A 、13i + B 、3i -- C 、3i - D 、3i + 3、命题p ：(,0]x ∀∈-∞，21x
≤，则（ ）
A 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x
> B 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x
≥ C 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x
> D 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x
≥ 【答案】：C .
【解析】：本题考查命题的四种基本形式；显然命题p 是真命题，排除A 、B ；只有C 满足. 4、已知α
为锐角，sin()4
π
α+
=
，则sin α的值是（ ） A 、
35 B
C
、 D 、4
5
【答案】：A .
【解析】：本题考查三角函数的基本公式；计算时不要马虎.
531027*********
sin -=⨯-⨯=
⎪⎭⎫
⎝
⎛-
+
ππα，而⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,0πα.选A. 5、在区间[0,1]上任取三个数x ，y ，z ，若向量(,,)m x y z =，则事件||1m ≥发生的概率是（ ） A 、
12
π
B 、16
π
-
C 、112
π
-
D 、
6
π
【答案】：B .
【解析】：本题考查综合度较大，中档题 .设),,(z y x m OM ==，则),,(z y x M =，由题意得：
]1,0[,,∈z y x ，故点M 对应的基本事件(反面）℘是一个棱长为1的正方体，故它的体积为1.
对应事件为P 1得12
22＜z y x ++,即事件P 对应的基
本事件空间是以
坐标原点为球心，半径为1的球体在第一象限内的部分，其体积为球体体积的8
1
.
∴6134812ππ=⨯⨯=
P V .∴6
1)111π
-=-=.选B. 6、用0，1，2，3，…，9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A 、324 B 、328 C 、360 D 、648
【答案】：B 【解析】：本题考查事件分类. ①当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百
位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256②当
尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结
果，共有9×8×1=72种，根据分类计数原理知共有256+72=328种.故选B.
7、某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每单位需A 种原料8克，B 种原料24克，每单位利润60元；生产乙种
80产品每单位需A 种原料和B 种原料各16克，每单位利润
元。

现有A 种原料2400克，B 种原料2880克，如果企业合理搭配甲、乙两产品的生产单位，工厂可获得最大利润为（ ）
A 、12600元
B 、12630元
C 、12680元
D 、13600元 【答案】：A . 【解析】：本题着重考查线性规划的基本概念及应用.
设生产甲、乙两种产品分别为x 单位、y 单位，所获利润为z 元，则z=60x+80y.
依题意，有⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≤+≤+⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+0
036023300200288016242400168＞＞＞＞y x y x y x y x y x y x 线性规划如右图所示：
得到)135,30(M 时使得利润最大化.
∴126001358060308060=⨯+⨯=+=y x Z 元.故选A.
8、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>
，双曲线221x y -=的渐近线
与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程（ ）
A 、22182x y +=
B 、221126x y +=
C 、221164x y +=
D 、22
1205
x y +=
【答案】：D. 【解析】：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，要正确应用双曲线的性质是关键.
由题意得：双曲线12
2
=-y x 的渐近线方程为x y ±=，根据以这四个交点为顶点的四边形面积为16.
在椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x C =+利用2
3
=e 转化方程.∵点)2,2(在椭圆C 上，∴
14
42
2=+b a . ∵a b a e 2223-==，∴224b a =故202=a ，∴椭圆方程为221205
x y +=.选D. 9、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A
、28+ B
、30+ C
、56+ D 、
60+ 【答案】：B.
【解析】：本题考查考生的空间构建发散思维.
结合主视图、左视图和俯视图不难推出这个几何体是个底面为直角 边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4， 底边长为5,如图所示：10545.0=⨯⨯=底S ，10545.0=⨯⨯=后S ，
34
24
正（主）视图侧（左）视图
侧视图
10545.0=⨯⨯=右S ，()
565-41525.02
=⨯⨯=左S .
∴5630+=+=侧底S S S .故选B.
10、已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，'()f x 是()f x 的导函数，若对(0,)x ∀∈+∞，都有[()2]3x
f f x -=，则方程4
'()0f x x
-
=的解所在的区间是（ ） A 、1
(0,)2 B 、1(,1)2
C 、(1,2)
D 、(2,3) 【答案】：C. 【解析】：本题考查函数的单调性，要巧妙应用定值思想和二分法以及特殊值法. 根据题意：对任意的),0(+∞∈x ，都有[()2]3x
f f x -=.
则x
x f 2)(-为定值.设x
x f t 2)(-=，则t x f x +=2)(.又由3)(=t f ，即32=+t t . 可
解
得
1
=t .则
1
2)(+=x x f ，∴
2
ln 2)(x x f ='.∴
242ln 22ln 24)(=-==-'x
x x x f x x
.
令x
x h x 4
2ln 2)(-
=，分析得042ln 2)1(＜-=h ，022ln 4)2(＞-=h . 故)(x h 的零点在)2,1(之间.则方程4
'()0f x x
-=在)2,1(之间.选C.
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、二次函数22()(2log )f x x m x m =+-+是偶函数，则实数m =_________。

【答案】：4.
【解析】：本题考查偶函数的基本性质.令)1()1(-=f f 解出4=m . 12、在面积为24cm 的扇形中，扇形周长的最小值为____________cm 。

【答案】：8.
【解析】：本题考查扇形的周长和面积计算公式以及不等式性质延伸. 设圆心角为α（不是度数），扇形半径为r ，则4212==
r S α.得28
r
=α
而扇形周长88
22≥+=+=r
r ra r C （均值不等式）. 且仅当r
r 8
2=
时满足上述条件，故2=r ，圆心角为2.∴周长最小为8. 13、已知b 为如图所示的程序框图输出的结果，则在(1)b y -的展开式中19y 的系数为____________（用具体数字作答）。

【答案】：-20
【解析】：程序框图和二项式的考查；简单题.
根据程序框图的走向，发现输出的20=b .故19y 的系数为201920-=-C .
14、抛物线C ：28y x =的准线与x 轴相交于点P ，过点P 斜率k 为正的直线交C 于两点
A 、
B ，F 为
C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =____________。

【答案】：
3
3
. 【解析】：略.
15、在ABC ∆中，O 是其外接圆的圆心，其两边中线的交点是G ，两条高线的交点是H ，给出下列结论或命题： （1）动点P 满足(
)||||
AB AC
AP AB AC λ=+(0)λ≠，则动点P 的轨迹一定过点H ； （2）动点P 在ABC ∆所在平面内，则点G 与P 重合时，使222PA PB PC ++的值最小； （3）动点P 满足()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+(0)λ≠，则点P 的轨迹一定过点O ；
（4）2GH OG =。

其中正确结论或命题的序号是____________。

（填上所有正确结论或命题的序号） 【答案】：①②③. 【解析】：略.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分)
已知函数2()cos(
2)2cos 22
f x x x π
=-++。

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）在面积为
的ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos a B A =，)3
(π
f b =，求a 的值。

【解析】：本题考查三角函数的基本变形能力和正、余弦定理的巧妙利用. 【
答
案
】
：
∵
)6
2sin(212cos 2sin 32cos 2)22cos(3)(2π
π+=++=++-=x x x x x x f .
因为2=w ，故最小正周期ππ
==
w
T 2. 由上面得1)3
(==π
f b .在ABC ∆
中，sin cos a B A =.
由正玄定理得：A B B A cos sin 3sin sin =. ∵0sin ≠B ，∴6
33tan π=⇒=A A . 而343sin 2
1
=⇒=⨯=
c A bc S ABC △. 又由余弦定理得：bc
a c
b A 2cos 2
22-+=，带入相关数据解出37=a .
17、(本小题满分12分
)
某市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为体质优秀；在[75,85)之间为体质良好；在[60,75)之间为体质合格；在[0,60)之间为体质不合格。

现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：
（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人，记ξ为选出的3名学生中体质为良好的人数，求ξ的分布列及数学期望。

【解析】：本题着重考查茎叶图的基本概念以及概概率事件、期望的总额和应用.
【答案】：（I ）根据抽样再结合茎叶图，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有
10030030
10
=⨯人. （II ）依照题意：体质为良好和优秀的学生人数之比为15:10=3:2.
∴体制为良好的学生中抽取的人数为355
3
=⨯人，故随机变量ξ的所有取值为1,2,3.
∴103)1(352213===C C C P ξ；106)2(351223===C C C P ξ；10
1
)1(3
533===C C P ξ. 所以，随机变量ξ的分布列为：
∴期望5
103102101)(=⨯+⨯+⨯
=ξE .
18、(本小题满分12分)
已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若868S =，716a =。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在等比数列{}n b 中，13b a =，21b a =，32b a =，设123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+，
1
n n n
r T T =-
()n N *∈，求数列{}n r 的最大项与最小项的值。

【解析】：本题考查等差、等比数列的基本性质和综合应用.考生要留意数列求前n 项和的非常规套路.
【答案】：由题意得：在等差数列{}n a 中，682
)
7(8118=++=
d a a S ；16617=+=d a a .
联立求解得出：3165,122=⇒=+=d d a a ， ∴数列{}n a 的通项公式为533)1(2-=-+-=n n a n . （II ）由（I ）得1,2,4231231==-====a b a b a b ，
∴数列{}n b 的通项公式为)(,)2
1(),)21(431*∈-=*∈-⨯=--N n N n b n n n . ∴
数
列
{}
n b 的前
n
项和
)2
1(...)21()21()21(
...3012321----+++-+=++++=n n n b b b b T . ∴()n n n T 2138382
11)]21(1[4-⨯-=+-
-=
.∴()()]12[8231---⨯=n
n
n T .
∴令t n
=-)2(，且t 在n 为奇数时，单调递减，n 为偶数单调递增. ∴8
8338381--
-=-
t t
t T T n n ，在这里着重对88338---t t t 讨论，当n 为偶数，单调递减，故当2=n 时 88338381---=-
t t t T T n n 取得最小值为2
3
122=-T T .
n 为奇数时，88338--
-
t t t 单调递减，故1=n 时取得最大值4
15
111=-T T ∴综上所述，最大值为415；最小值为2
3
.
19、(本小题满分12分)
已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，
2AD DE AB ==，F 在线段CD 上。

（Ⅰ）若FC FD =，试判断直线AF 与平面BCE 的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）当二面角B AF E --
时，求CF CD
的值。

【解析】：本题考查线面关系和二面角的综合应用，中档题. 【答案】：证明：取CE 的中点G ，连接FG 、BG . ∵FC FD 2=中点，∴DE GF 3
1
//.∵⊥AB 平面ACD ，DE ⊥平面ACD .∴DE AB // 故AB GE //，又∵DE AB 2
1
=
,∴AB GF =，∴四边形GFAB 为平行四边形，则BG AF //.
∵⊄AF 平面BCE ，⊂BG 平面BCE .∴//AF 平面BCE .
（II ）建立如右图所示的空间直角坐标系.
设a AB DE AD 22===，则)0,0,0(A ,)0,0,2(a C ),0,0(a B .)0,3,(a a D ,)2,3,(a a a E . 设tFD CF =；∴)
,13,13(
t
a t a F ++ 而平面BAF 的法向量为)0,0,2(a AB =，设平面AFE 的法向量为n .
则满足?)?,(?,0
=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=∙=∙n n AE n AF （过程自己算） 故25
5
2=⇒=
t ，∴2/==t FD CF . 20、(本小题满分13分)
已知函数2,[ln 2,0]
()ln ,(0,)x x e me x f x x x ⎧+∈-=⎨∈+∞⎩
（e 为自然对数的底数），
21
()2
g x ax bx =+。

（Ⅰ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞内是增函数，求b 的取值范围；
（Ⅱ）当[ln 2,0]x ∈-时，求函数()f x 的最小值；
（Ⅲ）当0x >时，设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】：（I ）依据题意：bx x x x h -+=2
ln )(，∵)(x h 在(0,)+∞内是增函数，
∴021
)(≥-+=
'b x x x h 对),0(+∞∈x 恒成立. ∴x x b 21+≤，∵0＞x ，则2221
≥+x x
，∴b 的取值范围是(]
22,∞-.
（II ）设x e t =，则函数化为,2
mt t y +=[]1,2-∈t .
∵4)2(22m m t y -+=，∴当22
-≤-b
时，函数y 在[]1,2-上为增函数.
当2-=t 时，m y 24min -=，∴当12-2＜＜m -，即42＜＜m -时，当2m
t -=时，
42
min m y -=. 当12
≥-m
，即2-≤m 时，函数y 在[]1,2-时减函数，当1=t 时，m y +=1min .
综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+--=2
-,142,4)(2m m m m
x f ＜＜...
（III ）设点Q P ,的坐标依次是),(),,(2211y x y x ，且210x x ＜＜. 则点N M ,的横坐标为221x x x +=
，1C 在点M 处的切线斜率为2
112
1x x x k +==. 2C 在点N 处的切线斜率为b x x a b ax k ++=
+=2
)
(212. 假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行，则21k k =. 即
b x x a x x ++=+2
)
(22121，变形整理：
1
212122
12
22112ln )(2)()(2x x y y x x b x x a x x x x =-=-+-=+-.
∴1
212
2112121)
1(
2)(2ln x x x x x x x x x x +-=+-=，设112＞x x u =，则u u u +-=1)1(2ln ，1＞u .....①
令1,1)
1(2ln )(＞u u
u u u r +--=，则2
22)1()1()1(41)(+-=+-='u u u u u u r , ∵1＞u ，∴0)(＞u r '，∴)(u r 在[)+∞,1上单调递增，故0)1()(=r u r ＞，则1
)1(2ln +-u u u ＞与①矛盾.
假设不成立！！！ 故不存在点R ，使1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行.
21、(本小题满分14分)
已知点1A
，1B ，(2,1)M ，直线l
：x =
C 上的动点P 到
点1B 的距离等于P 到直线l 的距离的a 倍且曲线C 过点1A 。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设平行于OM （O 为坐标原点）的直线1l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，且1l 交曲线
C 于两点A 、B 。

（ⅰ）求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形；
（ⅱ）若点A 、B 均位于y 轴的右侧，求直线MA 的斜率1k 的取值范围。

【解析】：本题考查椭圆的基本定义以及综合应用；难度系数：★★★☆若曲线C 上的动点
P 到点1B 的距离等于P 到直线l 的距离的a 倍且曲线C 过点1A 。

抓住这句话：显然动点P
的运动轨迹是椭圆（曲线C ）
【答案】：（I ）由题意得：曲线C ：椭圆方程12
822=+y x （具体过程同学详写）
（II ）（i ）由题意得)1,2(M ，设直线l 的方程为m x y +=5.0.
由⎩⎨⎧=++=1
45.02
2y x m x y 可得042222=-++m mx x 设直线MB MA ,的斜率分别为21,k k .
设),(),,(2211y x B y x A ，则2
1
,2122
2111--=--=
x y k x y k . 由042222=-++m mx x ，可得2
1
21221121--+
--=+x y x y k k . 故)
2)(2()
2)(1()2)(1(211221----+--=x x x y x y
)2)(2()
2)(15.0()2)(15.0(211221----++--+=x x x m x x m x
)
2)(2()
1(4))(2(212121----+-+=
x x m x x m x x
)2)(2()1(4)2)(2(42212------+-=x x m m m m
0)
2)(2(4
442422122=--+-+--=
x x m m m m . 即021=+k k ，故直线MB MA ,与x 轴围成一个等腰三角形.
(ii)同学可参照（i ）的思路求解；注意化简过程不可粗心大意.。